第四节 多元复合函数求导法则.ppt

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1、第四节 多元复合函数求导法则,一、多元复合函数求导的链式法则,二、多元复合函数的全微分,一元复合函数的求导法则 (链式法则）,处也可导，且有,复习,一、链式法则,定理,且其导数可用下列公式计算,一元复合函数,求导法则,证,例1 设 而,其中 可导，求,解,1.上定理的结论可推广到,以上公式中的导数 称为全导数.,推广,中间变量多于两个的情况:,的两个偏导数存在,且可用下列公式计算:,则复合函数,在对应点,2. 有两个中间变量多元函数的情况,即,复合结构如图示,这个公式的特征：,函数,有两个自变量 x 和 y,故法则中包含,两个公式；,由于在复合过程中有两个中间变量 u 和 v,故法则中每一个公

2、式都是两项之和，这两项分别含有,每一项的构成与一元复合函数的链导法则类似，,即“函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数”,多元复合函数的求导法则简言之即：,“分线相加，连线相乘”,解,在对应点,的两个偏导数存在，且可用下列公式计算,推广3 有三个中间变量的情形,设,即,其中,两者的区别,区别类似,4.中间变量即有一元函数,也有多元函数的情形：,解,下列两个例题有助于,混合偏导数,在计算时注意合并同类项!,设,掌握这方面问题的求导技巧。,常用导数符号,例4,解,例5,求,解,f 具有二阶连续偏导数,解,令,记,于是,全微分形式不变性的实质： 无论z是自变量x,y的函数或中间变量u,v 的函数，它的全微分形式是一样的.,二、全微分形式不变性,例7 设 而,求,解,比较,例8. 设,解法一: 利用公式有,例8. 设,解法二: 利用微分形式的不变性有,1、链式法则（连线相乘，分线相加）,2、全微分形式不变性,（特别注意特殊情况：函数的复合结构的层次）,小结,思考题,设,，而,试问,与,是否相同？为什么？,等式左端的z是作为一个自变量x的函数，,写出来为,不相同.,