18刚体动力学.PPT

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1、课程主讲人：18刚体动力学电子教案普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”国家级规划教国家级规划教材材理理 论论 力力 学学朱西平朱西平 支希哲支希哲高等教育出版社 高等教育电子音像出版社 第第 18 章章 18- -2 刚体定点运动的欧拉动力学方程刚体定点运动的欧拉动力学方程第18章 刚体动力学 18- -1 刚体定点运动的运动学刚体定点运动的运动学 18- -3 陀螺近似理论陀螺近似理论 18- -4 刚体一般运动的运动学刚体一般运动的运动学 18- -5 刚体一般运动的动力学刚体一般运动的动力学18-1 刚体定点运动的运动学 刚体的定点运动方程刚体的定点运动方程 达朗贝尔达朗贝尔- -欧

2、拉定理欧拉定理 定点运动刚体的角速度和角加速度定点运动刚体的角速度和角加速度 定点运动刚体内各点的速度和加速度定点运动刚体内各点的速度和加速度 刚体运动时，若其上有一点始终保持不动，这刚体运动时，若其上有一点始终保持不动，这种运动称为种运动称为刚体定点运动刚体定点运动。刚体定点运动的工程实例刚体定点运动的工程实例18-1 刚体定点运动的运动学 刚体运动时，若其上有一点始终保持不动，这刚体运动时，若其上有一点始终保持不动，这种运动称为种运动称为刚体定点运动刚体定点运动。18-1 刚体定点运动的运动学 刚体运动时，若其上有一点始终保持不动，这刚体运动时，若其上有一点始终保持不动，这种运动称为种运动

3、称为刚体定点运动刚体定点运动。18-1 刚体定点运动的运动学 刚体运动时，若其上有一点始终保持不动，这刚体运动时，若其上有一点始终保持不动，这种运动称为种运动称为刚体定点运动刚体定点运动。18-1 刚体定点运动的运动学1 .刚体的定点运动方程 刚体运动时，若其上有一点始终保持不动，这刚体运动时，若其上有一点始终保持不动，这种运动称为种运动称为刚体定点运动刚体定点运动。18-1 刚体定点运动的运动学xyzO 确定刚体方位的方位角确定刚体方位的方位角 ， ， ，其中其中cos2 cos2 cos2 1 定点为原点的刚体的自定点为原点的刚体的自由度由度 N3。需要需要3个广义坐标确定定点运动刚体在空

4、间的位置。个广义坐标确定定点运动刚体在空间的位置。(1) 定点运动刚体的自由度（18-1）18-1 刚体定点运动的运动学（2）欧拉角18-1 刚体定点运动的运动学 ON节线：节线：O 坐标面与坐标面与Oxy坐标面的交线；坐标面的交线；、 、 三者相互独立。三者相互独立。 进动角：进动角： ON与与O 轴的轴的夹角夹角; 章动角：章动角： O 与与Oz轴的轴的夹角夹角; 自转角：自转角： ON与与Ox轴的轴的夹角夹角;18-1 刚体定点运动的运动学 刚体作定点运动时，三个刚体作定点运动时，三个欧拉角一般都随着时间的变欧拉角一般都随着时间的变化而变化化而变化 = (t) = (t) = (t)(t

5、)、 (t)、 (t) 确定了瞬时确定了瞬时t定点运动刚体在空间的位置。定点运动刚体在空间的位置。（3）刚体的定点运动方程（18-2）18-1 刚体定点运动的运动学 绕定点运动的刚体，从某一位置到另一位置的任何位绕定点运动的刚体，从某一位置到另一位置的任何位移，都可以由绕通过定点的某一轴的一次转动实现。移，都可以由绕通过定点的某一轴的一次转动实现。2.达朗贝尔-欧拉定理证明证明 用球面图形上的用球面图形上的大圆弧描述其所属的大圆弧描述其所属的刚体定点运动。刚体定点运动。18-1 刚体定点运动的运动学由于二者的对应弧长相等，故这两个球由于二者的对应弧长相等，故这两个球面三角形全等，即面三角形全等

6、，即对应的球面角亦相等，即对应的球面角亦相等，即如上式两边都加上球面角如上式两边都加上球面角BCA ，则，则得得CBAABCBCAACBBBCAAC18-1 刚体定点运动的运动学因此，在刚体绕连接因此，在刚体绕连接O，C两点所形成的有限转动轴转过角两点所形成的有限转动轴转过角后，球后，球面三角形面三角形ABC 就与就与ABC 重合，大圆弧重合，大圆弧AB 就转到位置就转到位置AB 。 假设从假设从 t 到到 t+t 的的 t 时间间时间间隔内，定点运动刚体绕通过定点隔内，定点运动刚体绕通过定点O的的OC轴转过轴转过角度角度，这时转动角速度，这时转动角速度为为 。3 3.定点运动刚体的角速度和角

7、加速度 当当t0时时，转动轴则由转动轴则由OC轴轴OC*轴。轴。OC*轴称为瞬时轴称为瞬时t的的瞬时转瞬时转轴轴或或瞬轴瞬轴。 这时的角速度这时的角速度就是定点运动刚体在就是定点运动刚体在 瞬时瞬时t的的角速度角速度。 ttlim0大小为大小为（1）角速度角速度（18-3）18-1 刚体定点运动的运动学 瞬时转轴通过定点，但瞬时转轴通过定点，但在不同的瞬时，瞬时转轴在在不同的瞬时，瞬时转轴在空间的方位以及刚体上的位空间的方位以及刚体上的位置各不相同。置各不相同。 定点运动刚体在每一瞬时的真实运动，就是绕定点运动刚体在每一瞬时的真实运动，就是绕每一瞬时的瞬轴转动；定点运动刚体的运动过程，每一瞬时

8、的瞬轴转动；定点运动刚体的运动过程，就是刚体绕一系列瞬轴的转动过程。就是刚体绕一系列瞬轴的转动过程。 18-1 刚体定点运动的运动学（2） 刚体绕相交轴转动的合成定理刚体绕相交轴转动刚体绕相交轴转动18-1 刚体定点运动的运动学 通过考察刚体内不在瞬轴通过考察刚体内不在瞬轴OC上任一点上任一点 D的速度来求刚体绕瞬的速度来求刚体绕瞬轴转动的绝对角速度轴转动的绝对角速度 。设点。设点 D的矢径为的矢径为 r，则该点的则该点的相对速度相对速度与与牵连速度牵连速度分别表示为分别表示为rv1rrv2e 故点故点D的的绝对速度绝对速度为为 rvvv)(21era另一方面，若以另一方面，若以表示刚体绕瞬轴

9、转动的表示刚体绕瞬轴转动的绝对绝对角速度角速度，则又有下列关系式，则又有下列关系式 rva将上面两式进行比较，可得将上面两式进行比较，可得 21 （18-8）（18-4）（18-5）（18-6）（18-7）18-1 刚体定点运动的运动学由上可知，由上可知，刚体同时绕两个相交轴的转动可视为绕通过相交刚体同时绕两个相交轴的转动可视为绕通过相交轴交点轴交点O的瞬轴的转动，瞬轴的位置与绕瞬轴转动的角速度的瞬轴的转动，瞬轴的位置与绕瞬轴转动的角速度都由两个转动角速度矢的合矢量来决定都由两个转动角速度矢的合矢量来决定。这就是。这就是刚体绕相交刚体绕相交轴转动的合成定理轴转动的合成定理。 上述推导也可以应用

10、于刚体绕多个上述推导也可以应用于刚体绕多个相交轴转动的合成。当刚体同时绕相交轴转动的合成。当刚体同时绕n个个汇交轴转动时，其合成运动的绝对角速汇交轴转动时，其合成运动的绝对角速度可表示为度可表示为n321a21（18-9）（18-8）18-1 刚体定点运动的运动学 应该指出，在前面讲到定转动轴时我们仅说明角速度应该指出，在前面讲到定转动轴时我们仅说明角速度可以用矢量表示，而并未证明角速度矢量是否符合矢量的可以用矢量表示，而并未证明角速度矢量是否符合矢量的合成规律（平行四边形定律）。现在通过相交轴转动合成合成规律（平行四边形定律）。现在通过相交轴转动合成的论证，使我们相信角速度矢量确实具有这种性

11、质。的论证，使我们相信角速度矢量确实具有这种性质。18-1 刚体定点运动的运动学 当刚体运动时，当刚体运动时，三个欧拉角都随时间改变三个欧拉角都随时间改变，对应的角速，对应的角速度分别为度分别为,ddt,ddtt dd 设设k、n、 k分别表示沿分别表示沿 轴轴z、节线节线N、轴、轴z的的单位矢量单位矢量，根据，根据角速度的合成表达式，刚体绕角速度的合成表达式，刚体绕瞬轴的角速度瞬轴的角速度可写为可写为knk（3）刚体定点运动的欧拉运动学方程（18-10）（18-11）18-1 刚体定点运动的运动学 将上式投影到动系将上式投影到动系 的各轴上，可得的各轴上，可得刚体定点运动的欧刚体定点运动的欧

12、拉运动学方程拉运动学方程zyxOcossinsin xsincossin ycosz（18-12）18-1 刚体定点运动的运动学（4 4）角加速度 定点运动刚体的瞬时角速度可用沿瞬轴的滑动矢定点运动刚体的瞬时角速度可用沿瞬轴的滑动矢表示，表示，角速度矢角速度矢还符合矢量加法规则。还符合矢量加法规则。 由于瞬轴的位置随时间由于瞬轴的位置随时间t 改变，因此，角速度矢量改变，因此，角速度矢量的大的大小和方向都随时间变化。角速度对时间的一阶导数，称为刚小和方向都随时间变化。角速度对时间的一阶导数，称为刚体的体的角加速度角加速度，用，用 表示，即表示，即t dd 角加速度矢角加速度矢 的方向沿角速度的

13、方向沿角速度 矢矢端曲线的切线。端曲线的切线。 O（18-13）18-1 刚体定点运动的运动学 某一刚体绕定点某一刚体绕定点O运动。而刚体在任一瞬时的运可以看运动。而刚体在任一瞬时的运可以看成是绕某一瞬轴成是绕某一瞬轴OB的瞬时转动。的瞬时转动。 设点设点A是定点运动刚体上的任意是定点运动刚体上的任意一点，该点的矢径为一点，该点的矢径为r ，根据定轴转，根据定轴转动刚体上任意一点速度的矢积表达式，动刚体上任意一点速度的矢积表达式，可以将点可以将点A的速度表达为的速度表达为rv（1） 速度速度4. 定点运动刚体上各点的速度和加速度OBrvAzyxa用用x、 y、 z，表示刚体角速度表示刚体角速度

14、 在在定系定系Oxyz各轴上的投影，各轴上的投影， x、y、z表示点表示点A的直角坐标，的直角坐标，i、j、k表示三个坐标轴单位矢。表示三个坐标轴单位矢。（18-14）18-1 刚体定点运动的运动学则式则式（19-14）可写为可写为xyvzxvyzvyxzxzyzyx将式将式（19-14）对时间对时间t求导数，得到点求导数，得到点A的加速度的加速度tttddddddrrva )(rrvra 即即上式就是定点运动刚体上任意一点上式就是定点运动刚体上任意一点加速度的矢量表达式加速度的矢量表达式。（2） 加速度加速度OBrvAzyxa（18-1518-15）（18-1618-16）（18-1718-

15、17）18-1 刚体定点运动的运动学用用ax、 ay、 az，表示刚体角加速度表示刚体角加速度 在在定系定系Oxyz各轴上的投各轴上的投影，影， 则式则式（19-17）可写为可写为)()()(kjikjikjixxxxxxzyx)()()(kjixyzxyzyxxzzykji)()( )()( )()(yzzxxyxyyzzxzxxyyzzyyxzxyxyxxzyzxzxzzyxyzy)(rrvra （18-1718-17）（18-1818-18）（18-1918-19）18-1 刚体定点运动的运动学由上式得到点由上式得到点A的加速度在定系各轴上的投影分别为的加速度在定系各轴上的投影分别为)(

16、)()()()()(yzzxxyaxyyzzxazxxyyzazyyxzxyxzyxxzyzxzyxzzyxyzyxkji)()( )()( )()(yzzxxyxyyzzxzxxyyzzyyxzxyxyxxzyzxzxzzyxyzy（18-1918-19）（18-2018-20）18-1 刚体定点运动的运动学 例题18-1 如图所示，一底面半径为如图所示，一底面半径为R，半顶角为，半顶角为 的的圆锥体在水平地平面上作纯滚动。已知圆锥体中轴线圆锥体在水平地平面上作纯滚动。已知圆锥体中轴线OO 绕铅直轴绕铅直轴Oz以匀角速度以匀角速度 转动，试求圆锥体底面圆周上任转动，试求圆锥体底面圆周上任一点

17、一点B的速度和加速度。的速度和加速度。OrBAzyxOrOB18-1 刚体定点运动的运动学 显然圆锥体的运动可看作为绕点显然圆锥体的运动可看作为绕点O的定点运动。考虑到的定点运动。考虑到圆锥体在水平地平面上作纯滚动，因此，圆锥体上同地面相圆锥体在水平地平面上作纯滚动，因此，圆锥体上同地面相接触的母线接触的母线OA即为图示瞬时时圆锥体的瞬轴，所以圆锥体的即为图示瞬时时圆锥体的瞬轴，所以圆锥体的角速度角速度 必然沿母线必然沿母线OA。点点O的速度的速度 OOrv sinOOrv故故考虑到圆锥体中轴线考虑到圆锥体中轴线OO绕铅直绕铅直轴轴Oz以角速度以角速度转动，故有转动，故有OOrv 解：OrBA

18、zyxOrOB(1)(2)(3)（1）求）求B点的速度点的速度18-1 刚体定点运动的运动学sinOr)2sin(Orcot 比较式比较式（2）和式和式（3）后，得到后，得到故故由于圆锥体绕点由于圆锥体绕点O运动，因此点运动，因此点B的速度的速度BBrvi、j、k表示三个坐标轴单位矢，则式表示三个坐标轴单位矢，则式（19-14）可写为可写为jjcot (5)(6)(7)(8)2sin(OOrv所以所以(4)18-1 刚体定点运动的运动学点点B的矢径可表示为的矢径可表示为)cos1 (cos)sin coscot (cossincos)2/sin(sin)2/sin( )2/cos()cosco

19、t cos(RRRRRRRRBOOOBkjikjikjr 将式将式（8）和和（9）代入式代入式（7）后，得到点后，得到点B的速度的速度sin)cos1 (coscot kiv RB 点点B的加速度的加速度可根据定点运动刚体上点的加速度的表达可根据定点运动刚体上点的加速度的表达式给出，即式给出，即 BBBvra (9)(10)(11)（2）求）求B点的加速度点的加速度18-1 刚体定点运动的运动学由角加速度的定义由角加速度的定义 知，知， 等于角速度矢等于角速度矢 端点的速度。端点的速度。 现在来求圆锥体的角加速度现在来求圆锥体的角加速度 。t dd 且矢量且矢量 在水平面内绕定轴在水平面内绕定

20、轴z以匀角速度以匀角速度转动转动,因此因此已知已知cot cot jkcot 2i (12)将式将式（8）、（9）、（10）和和（12）代入式代入式（11）后，得到后，得到点点B的加速度的加速度)cos cot (sincos ) 1(coscossin cot cot 2kjiaRB18-1 刚体定点运动的运动学 定点运动刚体的动量矩 定点运动刚体的欧拉动力学方程18-2 刚体定点运动的欧拉动力学方程1.定点运动刚体的动量矩 定点运动刚体对定点定点运动刚体对定点O的动量矩，等于刚体内所有质点的动量矩，等于刚体内所有质点对点对点 O的动量矩的矢量和，即的动量矩的矢量和，即）vrvMLOOmm(

21、)(将上式投影到坐标轴将上式投影到坐标轴x、y、z上，得上，得 )(yzxzmvymvL)(zxyxmvzmvL)(xyzymvxmvL (18-21) (18-22)18-2 刚体定点运动的欧拉动力学方程)(yzxzmvymvL)(zxyxmvzmvL)(xyzymvxmvL整理后得整理后得zzxyxyxxxJJJLzyzyyxxyyJJJLzzyyzxzxzJJJL 且有且有 kjiLzyxOLLL以上两式是以上两式是定点运动刚体的动量矩的一般表达式。定点运动刚体的动量矩的一般表达式。 (18-22) (18-23) (18-24)18-2 刚体定点运动的欧拉动力学方程 如果坐标轴如果坐标

22、轴x、y、z 与刚体在与刚体在O 的三个惯性主轴重合，的三个惯性主轴重合，则三个惯性积则三个惯性积 Jxy=Jyz=Jzx=0，则式则式（18-23）可简化为可简化为,xxxJL,yyyJLzzzJL (18-25)这时动量矩这时动量矩LO可写为可写为 kjiLOzzyyxxjjj的对应投影之间不成比例，因此的对应投影之间不成比例，因此LO与与不共线。如果刚体只不共线。如果刚体只绕点绕点O 的一根惯性主轴转动时，则的一根惯性主轴转动时，则 LO与与不共线。不共线。在一般情况下，刚体的三个主转动惯量在一般情况下，刚体的三个主转动惯量Jx、 Jy和和Jz 并不相等，并不相等，因此由上式可知，动量矩

23、因此由上式可知，动量矩 LO与角速度矢与角速度矢 kjizyx (18-26)18-2 刚体定点运动的欧拉动力学方程现在把对定点现在把对定点O的动量矩定理的动量矩定理2. 定点运动刚体的欧拉动力学方程OOOtFML)(dd投影到以角速度投影到以角速度 绕点绕点O转动的动坐标系转动的动坐标系Oxyz的各轴上。刚的各轴上。刚体对点体对点O的动量矩的动量矩LO、角速度、角速度 以及作用在刚体上的外力对点以及作用在刚体上的外力对点O 的主矩的主矩 MO 都可用各自在动轴都可用各自在动轴Oxyz，上的投影表示，即上的投影表示，即kjiLOzyxLLLkjizyxkjiMOzyxMMM (18-27) (

24、18-28) (18-29) (18-30)18-2 刚体定点运动的欧拉动力学方程将式将式(18-28)(18-28)和式（和式（18-3018-30）代入式（）代入式（18-2718-27），可得），可得tLtLtLtLtLtLzyxzyxddddddddddddkjikjikjizyxMMM 根据根据泊松公式泊松公式有有jiizyktddikjjzxtddijkkyxtdd (18-31) (18-32)18-2 刚体定点运动的欧拉动力学方程 将式将式(18-32)代入式代入式（18-31），可得可得xyzzyxMLLtLddyzxxzyMLLtLddzxyyxzMLLtLdd 为了使问题

25、简化，可令动坐标系为了使问题简化，可令动坐标系 固连于刚体，并使三个固连于刚体，并使三个动坐标轴分别与刚体在点动坐标轴分别与刚体在点 O的三个惯性主轴相重合。于是的三个惯性主轴相重合。于是zyxO,xxxJL,yyyJLzzzJL (18-33) (18-34)18-2 刚体定点运动的欧拉动力学方程 最后得到刚体绕定点运动的微分方程在与刚体相固连的最后得到刚体绕定点运动的微分方程在与刚体相固连的动轴系上的投影式动轴系上的投影式 yxzzxyyMJJtJ)(ddzyxxyzzMJJtJ)(dd xzyyzxxMJJtJ)(dd这一组方程称为这一组方程称为刚体定点运动的欧拉动力学方程刚体定点运动的

26、欧拉动力学方程，而式，而式（18-33） 则可称为则可称为广义欧拉动力学方程广义欧拉动力学方程。 (18-35)18-2 刚体定点运动的欧拉动力学方程 设已知外力矩，并能积分欧拉动力学方程，然后把求得的设已知外力矩，并能积分欧拉动力学方程，然后把求得的角速度角速度 的时间函数带入欧拉运动学方程的时间函数带入欧拉运动学方程zyx、 、 cossinsin xsincossin ycosz 得得 (18-36)18-2 刚体定点运动的欧拉动力学方程赖柴定理赖柴定理陀螺力矩和陀螺效应陀螺力矩和陀螺效应18-3 陀螺近似理论1. 赖柴定理 当刚体绕固定点当刚体绕固定点O运动时运动时，它对点它对点O的动

27、量矩的动量矩LO一般是变矢量。一般是变矢量。因此，由点因此，由点O 画出的动量矩矢画出的动量矩矢LO 随时间而变化，其端点随时间而变化，其端点E描出矢端描出矢端图如图所示。矢端点图如图所示。矢端点E沿矢端图运动的速度沿矢端图运动的速度u（广义的），等于该点（广义的），等于该点的矢径的矢径rE （等于（等于LO ）对时间的导数，即）对时间的导数，即ttddddOELru故动量矩定理故动量矩定理 OOMLt dd可以写成可以写成OMu 这就是说：这就是说：刚体对固定点刚体对固定点O的动量矩矢端点的动量矩矢端点E运动的速度运动的速度u ，等于，等于作用在该刚体上的外力对同一点作用在该刚体上的外力对同

28、一点O 的主矩的主矩MO 。这就是。这就是赖柴定理赖柴定理。 (18-37)18-3 陀螺近似理论2. 陀螺力矩和陀螺效应 设刚体具有对称轴设刚体具有对称轴Oz ，且绕轴上一定点，且绕轴上一定点O运动，这样的刚体称运动，这样的刚体称谓谓陀螺陀螺。 通常陀螺以角速度通常陀螺以角速度绕极轴绕极轴Oz 转动，同时极轴又以角速度转动，同时极轴又以角速度绕绕固定轴固定轴O转动。前一种运动称为转动。前一种运动称为自转自转，后一种运动称为，后一种运动称为进动进动；相应；相应地将地将称为称为自转角速度自转角速度，称为称为进动角速度进动角速度。陀螺的。陀螺的绝对角速度绝对角速度显显然是然是+ 。 在这种高速自转

29、（在这种高速自转（ 远大于远大于 ）的情形）的情形下，研究陀螺近似理论时，陀螺的动量矩下，研究陀螺近似理论时，陀螺的动量矩可近似表示为可近似表示为LOzJ (18-38)18-3 陀螺近似理论根据赖柴定理知，陀螺在这种情形下所受的外力为根据赖柴定理知，陀螺在这种情形下所受的外力为OOLuM将式将式(18-38)代入，即得代入，即得MOzJ用用 Mg 表示该反作用力矩，则由作用与反作表示该反作用力矩，则由作用与反作用定律知：用定律知：Mg=MO ，从而可得，从而可得MzJg 常将这个作用在施力体上的反作用力矩常将这个作用在施力体上的反作用力矩Mg 称为称为陀螺力矩。陀螺力矩。陀螺力矩陀螺力矩Mg

30、 的方向垂直于自转角速度矢的方向垂直于自转角速度矢 和进动角速度矢和进动角速度矢所组所组成的平面成的平面Oz，且有使自转轴，且有使自转轴z转向进动轴转向进动轴的趋向。的趋向。工程中把产生工程中把产生陀螺力矩的效应称为陀螺力矩的效应称为陀螺效应陀螺效应。 (18-39) (18-41) (18-40)18-3 陀螺近似理论48 例题18-2 喷气飞机的涡轮机转子转速为喷气飞机的涡轮机转子转速为n = 10 000 r/min，设转动惯量为设转动惯量为 ，转轴与机身纵轴一致，如，转轴与机身纵轴一致，如图所示。如飞机以速度图所示。如飞机以速度v = 950 km/h。沿半径。沿半径=1 000 m的

31、水的水平圆弧转弯，并设轴承间的距离平圆弧转弯，并设轴承间的距离 l = 60 cm，试求转子轴承上，试求转子轴承上所受的压力。所受的压力。 2 cm kg 255 2 zJzOFFLOl18-3 陀螺近似理论49 由于高速自转，转子对于对称轴由于高速自转，转子对于对称轴Oz上任一点上任一点O的动的动量矩近似为量矩近似为 LxOJM zOJ飞机在水平圆弧内转弯，设转弯飞机在水平圆弧内转弯，设转弯角速度为角速度为 ， ，引起的陀，引起的陀螺力矩近似为螺力矩近似为 解：MO的方向垂直于图面，指向朝外。的方向垂直于图面，指向朝外。zOFFLOl18-3 陀螺近似理论501 srad 0471602n1

32、srad 0.264vcmkN 623zOJMkN 4 .10lMFFO轴承压力（方向如图）为轴承压力（方向如图）为代入数据得代入数据得zOFFLOl18-3 陀螺近似理论一般运动刚体内各点的速度与加速度一般运动刚体内各点的速度与加速度刚体一般运动的运动方程刚体一般运动的运动方程18-4 刚体一般运动的运动学 刚体的一般运动，可以分解为跟随任选基点的平移刚体的一般运动，可以分解为跟随任选基点的平移和相对于基点的定点转动。和相对于基点的定点转动。基点基点 O点点定系定系 O x y z平移系平移系 O动系动系 Oxyz绝对运动绝对运动 一般运动一般运动牵连运动牵连运动 基点基点O的平移的平移相对

33、运动相对运动 绕绕O点的定点运动点的定点运动zxyOOzxy1. 刚体一般运动的运动方程18-4 刚体一般运动的运动学 不受任何约束的一般运动刚体不受任何约束的一般运动刚体的自由度为的自由度为N336q =(xO , yO , zO , , , )(, )(, )()(, )(, )(654321tftftftfztfytfxOOO自由度自由度广义坐标广义坐标运动方程运动方程zxyOOzxy (18-42)18-4 刚体一般运动的运动学zxyOOzxyvOCPvO 基点的绝对速度，基点的绝对速度， 其余点的牵连速度其余点的牵连速度 刚体绕相对瞬轴转刚体绕相对瞬轴转 动的角速度动的角速度rPve

34、= vOvrva vr 刚体绕相对瞬轴转刚体绕相对瞬轴转 动时，相对于动动时，相对于动 系系 的速度：的速度： vr r Pva 绝对速度：绝对速度：va ve+ vrvO rP2.一般运动刚体上任意一点的速度与加速度 速度速度 (18-43) (18-44)18-4 刚体一般运动的运动学zxyOOCaOPrP aRaNae=aOaO 基点的绝对加速度，其基点的绝对加速度，其 余点的牵连加速度；余点的牵连加速度； 刚体绕相对瞬轴转动的刚体绕相对瞬轴转动的 角速度；角速度； ar 刚体绕相对瞬轴转动时，刚体绕相对瞬轴转动时，相对于动系的加速度：相对于动系的加速度： ar aR+ aN vr+ r

35、Paa绝对加速度：绝对加速度： 刚体绕相对瞬轴转动时的刚体绕相对瞬轴转动时的角加速度；角加速度； aa ae ar aO+ aR+ aN aO+ vr+ rP 加加速度速度 (18-45) (18-46)18-4 刚体一般运动的运动学18-5 刚体一般运动的动力学 在工程中，通常选刚体的质心为基点，则自由刚体在空在工程中，通常选刚体的质心为基点，则自由刚体在空间的一般运动，可以分解为随同其质心的平移以及相对于质间的一般运动，可以分解为随同其质心的平移以及相对于质心的定点运动。根据质心运动定理心的定点运动。根据质心运动定理RRFFaCm和相对于质心的动量矩定理和相对于质心的动量矩定理CCOMFM

36、L)(ddt可以写出刚体的质心运动以及相对于质心的转动的运动微分可以写出刚体的质心运动以及相对于质心的转动的运动微分方程。方程。 (18-47) (18-48)18-5 刚体一般运动的动力学 由刚体的质心由刚体的质心C 画出动坐标系画出动坐标系Cxyz，以，以 表示动坐标系表示动坐标系 Cxyz绕质心绕质心C 转动的角速度。角速度转动的角速度。角速度 、质心、质心C 的速度的速度vC 、刚体、刚体对质心对质心C 的动量矩的动量矩LC ，以及作用在刚体上的外力的主矢，以及作用在刚体上的外力的主矢FR和对质和对质心心C 的主矩的主矩MC 可用各自沿动轴可用各自沿动轴Cxyz上的投影分别表示为上的投

37、影分别表示为kjizyxkjivCzCyCxCvvvkjiLCzCyCxCLLLkjiFzyxFFFRRRRkjiMCzCyCxCMMM (18-49) (18-53) (18-50) (18-51) (18-52)18-5 刚体一般运动的动力学 在动坐标系在动坐标系Cxyz中可分别表示为中可分别表示为tvtvtvtvtvtvtzCyCxCzCyCxCddddddddddddddkjikjivaCCtLtLtLtLtLtLtzCyCxCzCyCxCddddddddddddddkjikjiLC 考虑到式（考虑到式（18-32），将上述表达式带入质心运动定理），将上述表达式带入质心运动定理(18-

38、47)和相对于质和相对于质心的动量矩定理心的动量矩定理(18-48)。可以分别得到他们的投影表达式。可以分别得到他们的投影表达式xyCzCyxCFvvtvmRzR-ddyzCxxCzyCFvvtvmRR-ddzxCyyCxzCFvvtvmRR-dd t ddCL质心加速度质心加速度 aC和和 (18-54) (18-55) (18-56)18-5 刚体一般运动的动力学xyCzzCyxCMLLtLddyzCxxCzyCMLLtLddzxCyyCxzCMLLtLdd 式式（18-56）和式和式（18-57）共同组成共同组成自由刚体一般运动的微自由刚体一般运动的微分方程分方程。在飞行力学中，应用这组方程可以具体研究飞行器。在飞行力学中，应用这组方程可以具体研究飞行器在空中的运动规律。如果取动坐标系在空中的运动规律。如果取动坐标系Cxyz固连于刚体，这固连于刚体，这时时 就是刚体本身的角速度。就是刚体本身的角速度。(18-57)18-5 刚体一般运动的动力学谢谢 谢谢