九年级数学下册第三章圆2圆的对称性第1课时习题课件北师大版20200320422.ppt

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1、2 圆的对称性第1课时 1.1.利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理.(.(重点重点) )2.(1)2.(1)和圆有关的相关概念的辨析理解和圆有关的相关概念的辨析理解. .(2)(2)垂径定理及其逆定理的应用垂径定理及其逆定理的应用.(.(重点、难点重点、难点) ) 1.1.圆的轴对称性圆的轴对称性圆是轴对称图形，其对称轴是圆是轴对称图形，其对称轴是_._.2.2.和圆相关的概念和圆相关的概念(1)(1)弦和直径：弦是连接圆上任意两点间的弦和直径：弦是连接圆上任意两点间的_，直径是经过，直径是经过_的弦的弦. .(2)(2)弧：弧：_任意两点间的部分叫做

2、圆弧，简称任意两点间的部分叫做圆弧，简称_._.(3)(3)等圆和等弧：等圆和等弧：_相等的圆叫等圆，在相等的圆叫等圆，在_中，中，能够完全能够完全_的弧叫做等弧的弧叫做等弧. . 任意一条过圆心的直线任意一条过圆心的直线线段线段圆心圆心圆上圆上弧弧半径半径同圆或等圆同圆或等圆重合重合3.3.垂径定理及其推论垂径定理及其推论如图，如图，CDCD为为O O的直径，的直径，ABAB为弦为弦. .【思考思考1 1】(1)(1)当当CDABCDAB，垂足为，垂足为E E时，将圆沿直线时，将圆沿直线CDCD对折，点对折，点A A与与点点B B重合吗？你会发现哪些相等的线段和相等的弧？重合吗？你会发现哪些

3、相等的线段和相等的弧？提示：提示：重合重合. .(2)(2)你能证明你能证明AE=BEAE=BE吗？吗？提示：提示：连接连接OAOA，OBOB，则，则OA=OB.OA=OB.CDABCDAB，OAEOAE和和OBEOBE都是直角三角形都是直角三角形. .又又OEOE为公共边，为公共边，两个直角三角形全等，则两个直角三角形全等，则AE=BE.AE=BE.AEBE ADBD,ACBC.，(3)(3)当当AE=BEAE=BE时，将圆沿直线时，将圆沿直线CDCD对折，对折， 相等吗？相等吗？提示：提示：连接连接OAOA，OBOB，则，则OEOE为等腰为等腰AOBAOB底边上的中线，底边上的中线，CDA

4、BCDAB，对折后点对折后点A A与点与点B B重合，重合，(4)(4)上述证明是在上述证明是在AOBAOB存在即存在即ABAB为非直径的弦的条件下得到的为非直径的弦的条件下得到的结论，那么当结论，那么当ABAB为直径时是否成立呢？你能画出图形吗？为直径时是否成立呢？你能画出图形吗？提示：提示：成立成立. .如图所示如图所示. .ADBD ACBC与， 与ADBD,ACBC.【总结总结】垂径定理：垂直于弦的直径垂径定理：垂直于弦的直径_，并且，并且_弦所弦所对的弧对的弧. .平分弦平分弦平分平分【思考思考2 2】(1)AB(1)AB是是O O的弦的弦( (不是直径不是直径) )，作一条平分，作

5、一条平分ABAB的直径的直径CDCD，交，交ABAB于点于点E E，那么，那么CDCD会垂直于会垂直于ABAB吗？还会平分弦所对的两吗？还会平分弦所对的两条弧吗？条弧吗？提示：提示：连接连接OAOA，OBOB，则，则OA=OBOA=OB，AOBAOB为等腰三角形为等腰三角形. .直径直径CDCD平分平分ABAB，底边底边ABAB上的中线上的中线OEOE所在的直线所在的直线CDAB.CDCDAB.CD为直径，为直径，ADBD ACBC.，(2)(2)当弦当弦ABAB为直径时，作一条平分为直径时，作一条平分ABAB的直径的直径CDCD，那么，那么CDCD还垂直还垂直于于ABAB吗？还平分弦所对的两

6、条弧吗？请画图说明吗？还平分弦所对的两条弧吗？请画图说明. .提示：提示：不一定不一定. .如图，如图，CDCD平分平分ABAB，但是，但是CDCD不垂直于不垂直于ABAB，不平分，不平分弦所对的两条弧弦所对的两条弧. . 【总结总结】垂径定理的推论垂径定理的推论: :平分弦平分弦( (不是直径不是直径) )的直径的直径_于弦于弦, ,并且并且_弦所对的弧弦所对的弧. .垂直垂直平分平分 ( (打打“”“”或或“”)”)(1)(1)任意一条直径都是圆的对称轴任意一条直径都是圆的对称轴.( ).( )(2)(2)半径是一个圆中最短的弦半径是一个圆中最短的弦.( ).( )(3)(3)平分弦的直径

7、垂直于弦，并且平分弦所对的弧平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.( ).( )(4)(4)等弧一定出现在等圆或同圆中等弧一定出现在等圆或同圆中.( ).( ) 知识点知识点 1 1 垂径定理垂径定理【例例1 1】如图，如图，O O的半径为的半径为2 2，弦，弦 点点C C在弦在弦ABAB上，上， 则则OCOC的长为的长为( )( )AB2 3，1ACAB4，2 37A. 2B. 3C.D.32【思路点拨思路点拨】作作ODABODAB于点于点DD构造两个直角三角形，应用勾构造两个直角三角形，应用勾股定理和垂径定理股定理和垂径定理求出求出OCOC的长度的长度. .【自主解答自主解答】选选D.

8、D.如图，作如图，作ODABODAB于点于点D D，则，则 由勾股定理，得由勾股定理，得1BDAB3.2113ACABCDAB.442又，22222222237OCCDODCDOBBD()23247OC.2，【总结提升总结提升】垂径定理运用中的垂径定理运用中的“两注意两注意”1.1.两条辅助线：一是过圆心作弦的垂线，二是连接圆心和弦的两条辅助线：一是过圆心作弦的垂线，二是连接圆心和弦的一端一端( (即半径即半径) )，这样把半径、圆心到弦的距离、弦的一半构建，这样把半径、圆心到弦的距离、弦的一半构建在一个直角三角形中，运用勾股定理求解在一个直角三角形中，运用勾股定理求解. .2.2.方程的思想

9、：在直接运用垂径定理求线段的长度时，常常将方程的思想：在直接运用垂径定理求线段的长度时，常常将未知的一条线段设为未知的一条线段设为x,x,利用勾股定理构造关于利用勾股定理构造关于x x的方程解决问的方程解决问题题. .这是一种用代数方法解决几何问题的解题思路这是一种用代数方法解决几何问题的解题思路. . 知识点知识点 2 2 垂径定理的应用垂径定理的应用【例例2 2】如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O O为圆心的为圆心的圆的一部分，路面圆的一部分，路面AB=10AB=10米，净高米，净高CD=7CD=7米，则此圆的半径米，则此圆的半径OAOA是是多少

10、米？多少米？【解题探究解题探究】1.1.根据题意及图示，你能用数学符号语言表述垂根据题意及图示，你能用数学符号语言表述垂径定理吗径定理吗( (假设假设CECE为为O O的直径的直径) )？提示：提示：CECE为为O O的直径，的直径，CEABCEAB，ADBD ACBC AEBE.，2.2.如何根据垂径定理求如何根据垂径定理求ADAD的长？的长？提示：提示：在在O O中，中，AB=10AB=10米，米，ODABODAB，3 3设设O O的半径的半径OAOA为为x x米，请用代数式表示线段米，请用代数式表示线段ODOD的长的长. .提示：提示：ODOD可表示为可表示为(7-x)(7-x)米米.

11、.ABAD5.2 米4 4应用垂径定理计算的关键是寻找以弦的一半、半径和弦到应用垂径定理计算的关键是寻找以弦的一半、半径和弦到圆心的垂线段为边的直角三角形圆心的垂线段为边的直角三角形. .利用勾股定理列方程求解，利用勾股定理列方程求解，请你找出此直角三角形，并求解请你找出此直角三角形，并求解. .提示：提示：此直角三角形是此直角三角形是RtRtAOD.AOD.在在RtRtAODAOD中，中，OAOA2 2=OD=OD2 2+AD+AD2 2，即即x x2 2=(7-x)=(7-x)2 2+5+52 2，解得，解得37x.7【总结提升总结提升】垂径定理基本图形的四变量、两关系垂径定理基本图形的四

12、变量、两关系1.1.四变量：如图，弦长四变量：如图，弦长a a，圆心到弦的距离，圆心到弦的距离d,d,半径半径r,r,弧的中点弧的中点到弦的距离到弦的距离( (弓形高弓形高)h,)h,这四个变量知任意两个可求其他两个这四个变量知任意两个可求其他两个. .2.2.两关系：两关系：222a( )drhdr.2；题组一：题组一：垂径定理垂径定理1.(20131.(2013广安中考广安中考) )如图，已知半径如图，已知半径ODOD与弦与弦ABAB互相垂直，垂足互相垂直，垂足为点为点C C，若，若AB=8 cmAB=8 cm，CD=3 cmCD=3 cm，则圆，则圆O O的半径为的半径为( )( )【解

13、析解析】选选A.A.连接连接AOAO，设圆，设圆O O的半径是的半径是r cm,r cm,则则AO=r cm,CO=(r-AO=r cm,CO=(r-3)cm.3)cm.由垂径定理得由垂径定理得 在在RtRtAOCAOC中，由勾股定理中，由勾股定理得得4 42 2+(r-3)+(r-3)2 2=r=r2 2，解得，解得25A. cmB.5 cm619C.4 cmD. cm61ACAB4 cm.225r cm.62.(20132.(2013潍坊中考潍坊中考) )如图，如图，O O的直径的直径AB=12AB=12，CDCD是是O O的弦，的弦，CDABCDAB，垂足为，垂足为P P，且，且BPAP

14、=BPAP=15,15,则则CDCD的长为的长为( )( )【解析解析】选选D.D.连接连接OCOC，OP=4.APCDOP=4.APCD，CP=DP.CP=DP.在在RtRtOCPOCP中，中，A.4 2B.8 2C.2 5D.4 51BPAB2OCOB6,6，2222CPOCOP642 5CD2CP4 5.，3.3.如图，如图，ABAB为为O O的直径，弦的直径，弦CDABCDAB于于E E，已知，已知CDCD1212，BEBE2 2，则，则O O的直径为的直径为( )( )A.8 B.10A.8 B.10C.16 D.20C.16 D.20【解析解析】选选D.D.连接连接OCOC，设，设

15、OCOC的长为的长为r r，CDCD1212，由垂径定理，由垂径定理可得可得CECE6 6，OECOEC是直角三角形，是直角三角形，BEBE2 2，OEOEr r2 2， 由勾股定理可得由勾股定理可得OCOC2 2OEOE2 2+CE+CE2 2，即即r r2 2(r(r2)2)2 2+6+62 2，解得，解得r r1010，O O的直径为的直径为10102=20.2=20. 4.4.如图，在半径为如图，在半径为1010的的O O中，如果弦心距中，如果弦心距OC=6OC=6，那么弦，那么弦ABAB的的长等于长等于_._.【解析解析】连接连接OAOA，在，在RtRtOACOAC中，中，OA=10

16、OA=10，OC=6OC=6，根据勾股定理，根据勾股定理得到得到 因而因而AB=2AC=16AB=2AC=16，弦，弦ABAB的长等于的长等于1616答案：答案：161622AC1068 ，5.5.如图如图, ,在在O O中中,AB,AB为为O O的弦的弦,C,D,C,D是直线是直线ABAB上的两点上的两点, ,且且AC=BD,AC=BD,求证：求证：OCDOCD是等腰三角形是等腰三角形. .【证明证明】过过O O点作点作OMAB,OMAB,垂足为垂足为M.OMAB,AM=BM.M.OMAB,AM=BM.AC=BD,CM=DM.AC=BD,CM=DM.又又OMAB,OMAB,OC=OD.OC=

17、OD.OCDOCD是等腰三角形是等腰三角形. . 6.6.已知：如图，已知：如图，PAC=30PAC=30，在射线，在射线ACAC上顺次截取上顺次截取AD=3 cmAD=3 cm，DB=10 cmDB=10 cm，以，以DBDB为直径作为直径作O O交射线交射线APAP于于E E，F F两点，求圆心两点，求圆心O O到到APAP的距离及的距离及EFEF的长的长. .【解析解析】过点过点O O作作OGAPOGAP于点于点G G，连接，连接OFOF，DB=10 cmDB=10 cm，OD=5 cmOD=5 cm，AO=AD+OD=3+5=8(cm)AO=AD+OD=3+5=8(cm)，PAC=30

18、PAC=30，OGEFOGEF，EG=GFEG=GF，EF=2GF=6(cm)EF=2GF=6(cm)，圆心圆心O O到到APAP的距离为的距离为4 cm,EF4 cm,EF的长为的长为6 cm.6 cm.11OGAO84 cm22，2222GFOFOG543 cm，【解题技巧解题技巧】解决有关弦的问题解决有关弦的问题, ,常常需要作辅助线：弦心距常常需要作辅助线：弦心距和半径和半径, ,把垂径定理和勾股定理结合起来把垂径定理和勾股定理结合起来. .题组二：题组二：垂径定理的应用垂径定理的应用1.1.如图如图, ,将半径为将半径为2 cm2 cm的圆形纸片折叠后的圆形纸片折叠后, ,圆弧恰好经

19、过圆心圆弧恰好经过圆心O,O,则折痕则折痕ABAB的长为的长为( )( )【解析解析】选选C.C.作作ODABODAB于于D,D,连接连接OA.OA.根据根据题意得题意得 再根据勾股定理得：再根据勾股定理得：AD= cm,AD= cm,根据垂径定理得根据垂径定理得A.2 cmB. 3 cmC.2 3 cmD.2 5 cm1ODOA1 cm,2AB2 3 cm.32.(20132.(2013丽水中考丽水中考) )一条排水管的截面如图所示，一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径已知排水管的半径OB=10OB=10，水面宽，水面宽AB=16AB=16，则截面，则截面圆心圆心O O到水面的距离到水

20、面的距离OCOC是是( )( )A.4 B.5 C.6 D.8A.4 B.5 C.6 D.8【解析解析】选选C.C.由垂径定理知由垂径定理知OCOC垂直平分垂直平分ABAB，故，故BC=8BC=8，由勾股定，由勾股定理得理得OC=6.OC=6. 3.3.工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是径是10 mm10 mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8 mm8 mm，如图所，如图所示，则这个小圆孔的宽口示，则这个小圆孔的宽口ABAB的长度为的长度为_mm._mm.【解析解析】设圆心为设圆心为O O

21、，过点，过点O O作作ODABODAB于点于点D D，根据题意知，根据题意知，OA=5 mmOA=5 mm，OD=8OD=85=3(mm)5=3(mm)，根据勾股定理，得：，根据勾股定理，得： 则则AB=2AD=8 mm. AB=2AD=8 mm. 答案：答案：8 8 22ADOAOD4 mm，4.4.如图，以点如图，以点P P为圆心的圆弧与为圆心的圆弧与x x轴交于轴交于A A，B B两点，点两点，点P P的坐标的坐标为为(4(4，2)2)，点，点A A的坐标为的坐标为(2(2，0)0)，则点，则点B B的坐标为的坐标为_._.【解析解析】如图，过点如图，过点P P作作PCxPCx轴于轴于C

22、 C，则，则OC=4OC=4，又又OA=2OA=2，所以，所以AC=2AC=2，根据垂径定理可得，根据垂径定理可得BC=AC=2.BC=AC=2.因此，点因此，点B B的坐标为的坐标为(6(6，0).0).答案：答案：(6,0)(6,0) 5.5.在直径为在直径为52 cm52 cm的圆柱形油槽内装入一些油后的圆柱形油槽内装入一些油后, ,截面如图截面如图, ,如如果油的最大深度为果油的最大深度为16 cm,16 cm,那么油面宽度那么油面宽度ABAB为为_cm._cm.【解析解析】作作OCAB,OCAB,交交O O于于D,D,连接连接OA,OA,依题意依题意OC=26-16=10(cm),A

23、COC=26-16=10(cm),AC2 2=26=262 2-10-102 2=24=242 2,AC=,AC=24(cm).24(cm).由垂径定理知由垂径定理知AB=48 cm.AB=48 cm.因此油面因此油面宽宽ABAB为为48 cm.48 cm.答案：答案：4848 6.6.如图如图, ,我国新建一座石拱桥我国新建一座石拱桥, ,桥拱是圆弧形桥拱是圆弧形, ,它的跨度它的跨度( (弧所对弧所对的弦长的弦长) )为为40 m,40 m,拱高拱高( (弧的中点到弦的距离弧的中点到弦的距离) )为为8 m,8 m,求桥拱的半求桥拱的半径径R.R.【解析解析】经过圆心经过圆心O O作弦作弦

24、ABAB的垂线的垂线OD,DOD,D为垂足为垂足, ,与与 相交于相交于C.C.根据垂径定理根据垂径定理,D,D是是ABAB的中点的中点, ,C C是是 的中点的中点,CD,CD就是拱高就是拱高. .由题设由题设AB=40 m,CD=8 m,AB=40 m,CD=8 m,在在RtRtOADOAD中中, ,由勾股定理得由勾股定理得, ,OAOA2 2=AD=AD2 2+OD+OD2 2, ,即即R R2 2=20=202 2+(R-8)+(R-8)2 2, ,解这个方程得解这个方程得R=29 m.R=29 m. ABAB1ADAB20 m ,ODOCDCR8.2【想一想错在哪？想一想错在哪？】有一个半径为有一个半径为5 5米的排水管，水面宽度为米的排水管，水面宽度为8 8米，求此时水的深度米，求此时水的深度. . 提示：提示：此题没有给出图形，应该有两个深度此题没有给出图形，应该有两个深度. .