2022年秋季五级奥数第六讲--组合图形的面积 .pdf

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1、学习必备欢迎下载2015 年秋季五年级奥数第六讲-组合图形面积（一）专题简析：组合图形是由两个或两个以上的简单的几何图形组合而成的。组合的形式分为两种：一是拼合组合，二是重叠组合。由于组合图形具有条件相等的特点，往往使得问题的解决无从下手。要正确解答组合图形的面积，应该注意以下几点：1，切实掌握有关简单图形的概念、公式，牢固建立空间观念；2，仔细观察，认真思考，看清所求图形是由哪几个基本图形组合而成的；3，适当采用增加辅助线等方法帮助解题；4，采用割、补、分解、代换等方法，可将复杂问题变得简单。例 1 一个等腰直角三角形，最长的边是12 厘米，这个三角形的面积是多少平方厘米？分析与解答由于此三

2、角形中只知道最长的边是12 厘米，所以，不能用三角形的面积公式来计算它的面积。我们可以假设有4 个这样的三角形，且拼成了下图正方形。显然，这个正方形的面积是1212，那么，一个三角形的面积就是 12124=36 平方厘米。练习一1，求四边形ABCD的面积。（单位：厘米）2，已知正方形ABCD 的边长是7厘米，求正方形EFGH 的面积。3，有一个梯形，它的上底是5 厘米，下底7 厘米。如果只把上底增加3 厘米，那么面积就增加4.5 平方厘米。求原来梯形的面积。例 2 正图正方形中套着一个长方形，正方形的边长是12 厘米，长方形的四个角的顶点把正方形的四条边各分成两段，其中长的一段是短的2 倍。求

3、中间长方形的面积。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载分析与解答图中的两个小三角形平移后可拼得一个小正方形，两个大三角形平移后可拼得一个大正方形。这两个正方形的边长分别是12（ 12）=4（厘米）和42=8（厘米）。中间长方形的面积只要用总面积减去这两个拼起来的正方形的面积就可以得到。即：1212（ 4488）=64（平方厘米）练习二1， （如下图）已知大正方形的边长是12 厘米，求中间最小正方形的面积。2，如下图长方

4、形ABCD 的面积是 16 平方厘米， E、F都是所在边的中点，求三角形AEF的面积。3，求下图长方形ABCD 的面积（单位：厘米） 。例 3 四边形 ABCD和四边形 DEFG 都是正方形，已知三角形AFH的面积是7 平方厘米。三角形CDH 的面积是多少平方厘米？分析设大正方形的边长是a，小正方形的边长是b。（ 1）梯形 EFAD的面积是（ a+b） b2，三角形 EFC的面积也是（ a+b） b2。所以，两者的面积相等。（2）因为三角形AFH的面积 =梯形 EFAD 的面积梯形EFHD 的面积， 而三角形 CDH的面积 =三角形 EFC的面积梯形 EFHD的面积，所以，三角形CDH 的面积

5、与三角形AFH的面积相等，也是7 平方厘米。练习三1，图中两个正方形的边长分别是6 厘米和 4 厘米，求阴影部分的面积。2，下图中两个完全一样的三角形重叠在一起，求阴影部分的面积。（单位：厘米）3，下图中，甲三角形的面积比乙三角形的面积大多少平方厘米？精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载例 4 下图中正方形的边长为8 厘米， CE为 20 厘米，梯形BCDF的面积是多少平方厘米？分析要求梯形的面积，关键是要求出上底FD

6、的长度。连接FC后就能得到一个三角形EFC ，用三角形EBC的面积减去三角形FBC的面积就能得到三角形EFC的面积： 820288 2=48 平方厘米。 FD=482 20=4.8 厘米，所求梯形的面积就是（4.8 8） 82=51.2 平方厘米。练习四1，如下图，正方形ABCD中， AB=4厘米， EC=10厘米，求阴影部分的面积。2，在一个直角三角形铁皮上剪下一块正方形，并使正方形面积尽可能大，正方形的面积是多少？（单位：厘米）3，图中 BC=10厘米， EC=8厘米，且阴影部分面积比三角形EFG的面积大 10 平方厘米。求平行四边形的面积。例 5 图中 ABCD是长方形，三角形EFD的面

7、积比三角形ABF的面积大6 平方厘米，求ED的长。分析因为三角形EFD的面积比三角形ABF的面积大 6 平方厘米，所以，三角形BCE的面积比长方形ABCD的面积大 6 平方厘米。三角形BCE的面积是 646=30 平方厘米， EC的长则是 30 26=10 厘米。因此， ED的长是104=6 厘米。练习五精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载1，如图，平行四边形BCEF中， BC=8厘米，直角三角形中，AC=10厘米，阴

8、影部分面积比三角形ADH 的面积大8平方厘米。求AH 长多少厘米？2，图中三个正方形的边长分别是1 厘米、 2 厘米和 3 厘米，求图中阴影部分的面积。3，正方形的边长是2(a+b)，已知图中阴影部分B 的面积是 7 平方厘米，求阴影部分A 和 C的和是多少平方厘米？第十九周组合图形的面积专题简析：在组合图形中，三角形的面积出现的机会很多，解题时我们还可以记住下面三点：1，两个三角形等底、等高，其面积相等；2，两个三角形底相等，高成倍数关系，面积也成倍数关系；3，两个三角形高相等，底成倍数关系，面积也成倍数关系。例题 1 如图， ABCD是直角梯形，求阴影部分的面积和。（单位：厘米）分析按照一

9、般解法， 首先要求出梯形的面积，然后减去空白部分的面积即得所求面积。其实，只要连接AC，显然三角形AEC与三角形 DEC同底等高其面积相等，这样，我们把两个阴影部分合成了一个三角形ABC 。面积是：632=9 平方厘米。练习一1，求下图中阴影部分的面积。2，求图中阴影部分的面积。（单位：厘米）3，下图的长方形是一块草坪，中间有两条宽1 米的走道，求植草的面积。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载例题 2 下图中，边长为

10、10 和 15 的两个正方体并放在一起，求三角形ABC （阴影部分）的面积。分析三角形 ADC的面积是10152=75，而三角形ABC的高是三角形BCD高的 1510=1.5 倍，它们都以BC为边为底，所以，三角形ABC的面积是三角形BCD的 1.5 倍。阴影部分的面积是：7.5 （ 11.5 ） 1.5=45 。练习二1，下图中，三角形ABC的面积是 36 平方厘米，三角形ABE与三角形AEC的面积相等，如果AB=9厘米， FB=FE ，求三角形 AFE的面积。2，图中两个正方形的边长分别是10 厘米和 6 厘米，求阴影部分的面积。3，图中三角形ABC的面积是 36 平方厘米， AC长 8

11、厘米， DE长 3 厘米，求阴影部分的面积（ADFC 不是正方形） 。例题 3 两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形。已知两个三角形的面积（如图所示），求另两个三角形的面积各是多少？（单位：平方厘米）分析1，因为三角形ABD与三角形 ACD等底等高，所以面积相等。因此，三角形ABO的面积和三角形DOC的面积相等，也是6 平方厘米。2，因为三角形BOC的面积是三角形DOC面积的 2 倍，所以BO 的长度是OD 的 2 倍，即三角形ABO 的面积也是三角形AOD 的 2 倍。所以，三角形AOD的面积是 62=3 平方厘米。练习一1，如下图，图中BO=2DO ，阴影部分的面积是4 平方厘米，求梯

12、形ABCD 的面积是多少平方厘米？精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载2，下图的梯形ABCD 中，下底是上底的2 倍， E是 AB的中点。那么梯形ABCD 的面积是三角形BDE面积的多少倍？3，下图梯形 ABCD中，AD=7 厘米， BC=12厘米，梯形高8 厘米，求三角形BOC的面积比三角形AOD 的面积大多少平方厘米？例题 4 在三角形 ABC中，DC=2BD，CE=3AE ，阴影部分的面积是20 平方厘米，求三角

13、形ABC的面积。分析 （1）因为 CE=3AE ，所以，三角形ADC的面积是三角形ADE面积的 4 倍，是 20（ 13） =80 平方厘为；（2）又因为 DC=2BD ，所以，三角形ABD的面积是三角形ADC面积的一半，是802=40 平方厘米。因此，三角形 ABC的面积是 8040=120 平方厘主。练习四1，把下图三角形的底边BC四等分，在下面括号里填上“”、 “”或“ =” 。甲的面积（）乙的面积。2，如图，在三角形ABC中， D是 BC的中点， E、F 是 AC的三等分点。已知三角形的面积是108 平方厘米，求三角形 CDE的面积。3，下图中， BD=2厘米， DE=4厘米， EC=

14、2厘米， F是 AE的中点，三角形ABC的 BC边上的高是4 厘米，阴影面积是精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载多少平方厘米？例题 5 边长是 9 厘米的正三角形的面积是边长为3 厘米的正三角形面积的多少倍？分析题中的已知条件不能计算出两种三角形的面积，我们可以用边长是3 厘米的正三角形拼一个边长是9厘米的正三角形，从而看出它们之间的倍数关系。从下图中可以看出：边长9 厘米的正三角形是边长3 厘米的正三角形面积的9

15、倍。练习五1，边长是8 厘米的正三角形的面积是边长为2 厘米的正三角形面积的多少倍？2，一个梯形与一个三角形等高，梯形下底的长是上底的2 倍，梯形上底的长又是三角形底长的2 倍。这个梯形的面积是三角形面积的多少倍？3，有两种自然的放法将正方形内接于等腰直角三角形。已知等腰直角三角形的面积是36 平方厘米，两个正方形的面积分别是多少？精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - - -