2022年多元函数求极值.pdf

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1、第八节多元函数的极值及其求法教学目的：了解多元函数极值的定义， 熟练掌握多元函数无条件极值存在的判定方法、求极值方法， 并能够解决实际问题。 熟练使用拉格朗日乘数法求条件极值。教学重点：多元函数极值的求法。教学难点：利用拉格朗日乘数法求条件极值。教学内容：一、 多元函数的极值及最大值、最小值定义设函数),(yxfz在点),(00yx的某个邻域内有定义， 对于该邻域内异于),(00yx的点，如果都适合不等式00( ,)(,)f x yf xy，则称函数( , )f x y在点),(00yx有极大值00(,)f xy。如果都适合不等式),(),(00yxfyxf，则称函数( , )f x y在点)

2、,(00yx有极小值),(00yxf极大值、极小值统称为极值。使函数取得极值的点称为极值点。例 1 函数2243yxz在点（0，0）处有极小值。因为对于点（ 0，0）的任一邻域内异于 (0 ，0)的点，函数值都为正，而在点（0，0）处的函数值为零。从几何上看这是显然的， 因为点（0，0，0）是开口朝上的椭圆抛物面2243yxz的顶点。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 例 函数22yxz在点（ 0，0）处有极大值。因为在点（0，0）处

3、函数值为零，而对于点（ 0，0）的任一邻域内异于（ 0，0）的点，函数值都为负，点（0，0，0）是位于xOy平面下方的锥面22yxz的顶点。例函数xyz在点（ 0，0）处既不取得极大值也不取得极小值。因为在点（0，0）处的函数值为零，而在点（ 0，0）的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点。定理 1（必要条件）设函数),(yxfz在点),(00yx具有偏导数，且在点),(00yx处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：0),(,0),(0000yxfyxfyx证不妨设),(yxfz在点),(00yx处有极大值。依极大值的定义，在点),(00yx的某邻域内异于),(00yx的点都

4、适合不等式),(),(00yxfyxf特殊地，在该邻域内取0yy，而0 xx的点，也应适合不等式000( ,)(,)f x yf xy这表明一元函数f),(0yx在0 xx处取得极大值，因此必有0),(00yxfx类似地可证0),(00yxfy精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 从几何上看，这时如果曲面),(yxfz在点),(000zyx处有切平面，则切平面)(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx成为平行于xOy坐标

5、面的平面00zz。仿照一元函数，凡是能使0),(,0),(yxfyxfyx同时成立的点),(00yx称为函数),(yxfz的驻点，从定理 1 可知，具有偏导数的函数的极值点必定是驻点。但是函数的驻点不一定是极值点，例如，点（0，0）是函数xyz的驻点，但是函数在该点并无极值。怎样判定一个驻点是否是极值点呢下面的定理回答了这个问题。定理 2（充分条件）设函数),(yxfz在点),(00yx的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又0),(,0),(0000yxfyxfyx，令CyxfByxfAyxfyyxyxx),(,),(,),(000000则),(yxf在),(00yx处是否取得极值的条件如

6、下：(1)02BAC时具有极值，且当0A时有极大值，当0A时有极小值；(2)02BAC时没有极值；(3)02BAC时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。这个定理现在不证。利用定理1、2，我们把具有二阶连续偏导数的函数),(yxfz的极值的求法叙述如下：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 第一步解方程组0),(,0),(yxfyxfyx求得一切实数解，即可以得到一切驻点。第二步对于每一个驻点),(00yx，求出二阶偏导数的值A，B

7、和 C 。第三步定出2BAC的符号，按定理 2 的结论判定00(,)f xy是否是极值、是极大值还是极小值。例 1 求函数xyxyxyxf933),(2233的极值。解先解方程组22( , )3690,( , )360,xyfx yxxfx yyy求得驻点为（ 1,0 ）、（ 1,2 ）、（ -3,0 ）、（ -3,2 ）。再求出二阶偏导数( ,)66,( , )0,( , )66xxxyyyfx yxfx yfx yy在点(1,0) 处，06122BAC又0A，所以函数在(1,0)处有极小值(1,0)5f；在点(1,2) 处，0)6(122BAC，所以f(1,2) 不是极值；在点(-3,0)

8、 处，06122BAC，所以f(-3,0) 不是极值；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 在点(-3,2) 处，0)6(122BAC又0A所以函数在 (-3,2) 处有极大值f(-3,2)=31 。例 2 某厂要用铁板作成一个体积为2m3的有盖长方体水箱。问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省。解 设水箱的长为xm，宽为ym，则其高应为mxy2，此水箱所用材料的面积)22(2xyxxyyxyA，即)22(2yxxyA（0 x，

9、0y）可见材料面积A是x和y的二元函数，这就是目标函数，下面求使这函数取得最小值的点),(yx。令0)2(22xyAx，0)2(22yxAy解这方程组，得：32x，32y从这个例子还可看出，在体积一定的长方体中，以立方体的表面积为最小。二、条件极值拉格朗日乘数法精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 拉格朗日乘数法要找函数),(yxfz在附加条件0),(yx下的可能极值点，可以先构成辅助函数),(),(),(yxyxfyxF其中为某一常数

10、求其对x与y的一阶偏导数，并使之为零，然后与方程(2) 联立.0),(, 0),(),(, 0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx（1）由这方程组解出x，y及，则其中x，y就是函数),(yxf在附加条件下0),(yx的可能极值点的坐标。这方法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形。例如，要求函数),(tzyxfu在附加条件0),(tzyx，0),(tzyx(2)下的极值，可以先构成辅助函数),(),(),(),(21tzyxtzyxtzyxftzyxF精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - -

11、- -第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 其中1，2均为常数，求其一阶偏导数，并使之为零，然后与(2) 中的两个方程联立起来求解，这样得出的tzyx、就是函数),(tzyxf在附加条件 (2) 下的可能极值点的坐标。至于如何确定所求得的点是否极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定。例 3 求表面积为2a而体积为最大的长方体的体积。解设长方体的三棱长为zyx,， 则问题就是在条件0222),(2axzyzxytzyx（3）下，求函数xyzV)000(zyx，的最大值。构成辅助函数)222(),(2axzyzxyxyzzyxF求其对 x、y、z 的偏导数，并

12、使之为零，得到0)(20)(20)(2zyxyzxxzzyyz（4）再与(10) 联立求解。因yx、z都不等于零，所以由 (11) 可得精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - - yxzyzx，zyzxyx由以上两式解得zyx将此代入式 (10) ，便得zyx=a66这是唯一可能的极值点。 因为由问题本身可知最大值一定存在，所以最大值就在这个可能的极值点处取得。 也就是说，表面积为2a的长方体中，以棱长为6/ 6a的正方体的体积为最大，最大体积36/ 36Va。小结：本节以一元函数极值为基础， 研究多元函数的最大值、 最小值与极大值、 极小值问题。在介绍多元函数极值的定义后， 介绍了二元极值的性质以及利用偏导数求极值的步骤， 讨论了二元函数的最值问题和实际问题的最值问题。最后介绍了利用拉格朗日乘数法求条件极值的方法及应用。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - - -