第二十章 曲线积分.doc

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1、第二十章 曲线积分1 第一型曲线积分习题1计算下列第一型曲线积分（1），其中L是以O（0，0），A（1，0），B（0，1）为顶点的三角形； (2) ,其中L是以原点为中心，R为半径的右半圆周；解 右半圆周的参数方程为则（3），其中L为椭圆在第一象限中的部分；解 因则（4），其中L是为单位圆周；解 圆的参数方程则（5），其中L为螺旋线的一段；解 （6），其中L是曲线的一段；解 （7），其中L是与相交的圆周解 L为圆，其参数方程为则2 求曲线的质量，设其线密度为解 曲线质量3 求摆线的重心，设其质量分布是均匀的解 重心坐标设为，则故重心坐标为2 第二型曲线积分1 计算第二型曲线积分（1），其中L为

2、本节例二中的三种情况；解沿抛物线，从O到B的一段，则沿直线段OB：，则沿封闭曲线OABO：则故（2），其中L为摆线，沿增加方向的一段解（3），其中L为圆周，依逆时针方向；解 由圆的参数方程则（4），其中L为与轴所围的闭曲线，依顺时针方向；解 (5) 其中L为从到的直线段解 直线L的参数方程： 则2设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比，若质点由沿椭圆移动到，求力所作的功。解 椭圆的参数方程则3设一质点受力作用，力的方向指向原点，大小与质点到平面的距离成反比。若质点沿直线从到，求力所做的功。解 。因为力的方向指向原点，故其方向余弦为其中力的三个分力为总练习题二十章 总练

3、习题1. 计算下列曲线积分：(1) , 其中是由和所围的闭曲线; 解如图20-8所示, 闭曲线分有三段,因此.(i) , 从到, 则 . (ii) , 从到, 则. (iii) , 从到, 则 .所以. (2) , 其中为双纽线; 解如图20-9, 则由和两部分组成; ; 则(3) , 其中为圆锥螺线, , , ;解(4) , 为以为半径, 圆心在原点的右半圆周最上面一点到最下面一点; 解的参数方程为: 从到. 则. (5) , 是抛物线, 从到的一段; 解. 则. (6) , 是维维安尼曲线, , 若从轴正向看去, 是沿逆时针方向进行的. 解如图20-11所示的参数方程为则. 2. 设为连续

4、函数, 试就如下曲线: (1) : 连接, 的直线段; (2) : 连接, , 三点的三角形(逆时针方向), 计算下列曲线积分: , , . 解(1) 从到的直线段, , 所以. (2) : 连接, , 三点的三角形从到从到从到从到. 所以3. 设为定义在平面曲线弧段上的非负连续函数, 且在上恒大于零. (1) 试证明; (2) 试问在相同条件下, 第二型曲线积分是否成立? 为什么?证(1) 设为光滑(或按段光滑)曲线, 且方程为则因为. 从而由推广的积分第一中值定理存在得(2) 不一定成立, 因为有向曲线的方向可能会影响符号, 例如, 而曲线是直线上从到一段, 则. 1计算下列曲线积分：（1

5、），其中L是由和所围的闭曲线；（2），其中L为双纽线解 由对称性，在第一象限双纽线的参数方程为（3），其中L为圆锥螺线，（4）L为以为半径，圆心在原点右半圆周从最上面一点到最下面一点； （5） 2设为连续函数，试就如下曲线：（1）L：连结的直线段；（2）L：连结三点的三角形（逆时针方向），计算下列曲线积分：解 （1）L：从到的直线段，（2）L：连结三点的三角形，从到：从到：从到：3设为定义在平面曲线弧段上的非负连续函数，且在弧上恒大于零证 （1）由于在弧段AB上连续，则在弧段AB上，存在最小值。由已知在弧AB上恒大于零，则。设AB弧的长为，所以（2） 不成立。第二型曲线积分的符号不仅与的正负有关，还与曲线弧段AB 的方向有关