2022年北京市海淀区高三一模试题含答案.pdf

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1、海淀区高三年级第二学期期中练习数学 （文科）第卷 （选择题共 40 分）一、 选择题：本大题共8 小题 ,每小题 5 分,共 40 分 .在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项 . 1. 在复平面内，复数)1(ii(i是虚数单位）对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2. 30sin75cos30cos75sin的值为（）A1B21C22D233. 已知向量ba,，则“ a/b”是“ a+b=0”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4. 已知等差数列na的前n项和为nS，且满足12323SS，则数列na的公差是（）A21

2、B1 C2 D 3 5在同一坐标系中画出函数axyayxyxa,log的图象 , 可能正确的是（）6.一个体积为12 3的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为（）A.36B8 C38D12 7.给出下列四个命题: 若集合BA,满足,ABA则BA；给定命题qp, 若“qp”为真，则“qp”为真；11xyOB11xyOA11xyOC11xyOD精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 设,Rmba若,ba则22bmam；若直

3、线01:1yaxl与直线01:2yxl垂直，则1a. 其中正确命题的个数是（）A1 B2 C3 D4 8.直线12byax与圆122yx相交于A,B 两点（其中ba,是实数），且AOB是直角三角形 (O 是坐标原点 )，则点 P),(ba与点)1 ,0(之间距离的最大值为（）A 12B. 2C. 2D. 12第卷（非选择题共 110分）二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分. 9. 若,0 x则xxy4的最小值是 _. 10. 已知动点P 到定点（ 2，0）的距离和它到定直线2: xl的距离相等，则点P 的轨迹方程为 _. 11. 已知不等式组axxyxy，表示的平面区域的面

4、积为4，点),(yxP在所给平面区域内，则yxz2的最大值为 _. 12.某校为了解高三同学寒假期间学习情况，抽查了100 名同学，统计他们每天平均学习时间,绘成频率分布直方图 （如图）.则这 100 名同学中学习时间在68 小时内的同学为_人. 13. 已知程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是_. 第12题第 13 题图2 4 6 8 10 12 x0.14 0.12 0.05 0.04 小时频率 /组距开始a =2,i=1 i20 11aai=i+1 结束输出 a是否精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - -

5、- - - - -第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 14. 若 点 集22(, )|1 ,(, ) | 11, 11Ax yxyBx yxy， 则 （ 1 ） 点 集1111( , )1,1,(,)Px y xxyyxyA所表示的区域的面积为_；（2）点集12121122( , ),(,),(,)Mx y xxxyyyx yA xyB所表示的区域的面积为 _ . 三、解答题：本大题共6 小题，共80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本小题满分13 分）已知函数sin,fxAxxR(其中0,0,22A), 其部分图象如图所示. (I) 求f

6、x的解析式 ; (II) 求函数)4()4()(xfxfxg在区间0,2上的最大值及相应的x值. 16. （本小题满分13 分）某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动.活动规则如下：消费每满100 元可以转动如图所示的圆盘一次，其中O 为圆心，且标有20 元、10 元、 0 元的三部分区域面积相等. 假定指针停在任一位置都是等可能的 .当指针停在某区域时，返相应金额的优惠券.（例如：某顾客消费了 218 元 ，第一次转动获得了20 元，第二次获得了10 元，则其共获得了30 元优惠券 .）顾客甲和乙都到商场进行了消费，并按照规则参与了活动. （I ）若顾客甲消费了128 元，求他获得优惠券面额大

7、于0 元的概率？（II ）若顾客乙消费了280 元，求他总共获得优惠券金额不低于20 元的概率？0元20元10元精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 17. （本小题满分14 分）如图：在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，60 ,ABCPA平面 ABCD，点,MN分别为,BC PA的中点，且2ABPA. (I) 证明：BC平面AMN；(II) 求三棱锥AMCN的体积；(III) 在线段 PD 上是否存在一点E，使得/ /NM平面

8、ACE；若存在，求出 PE 的长；若不存在，说明理由. 18. （本小题满分14 分）已知函数1)(2xxf与函数)0(ln)(axaxg. （I）若)(),(xgxf的图象在点)0, 1 (处有公共的切线，求实数a的值；（II ）设)(2)()(xgxfxF，求函数)(xF的极值 . 19. （本小题满分13 分）已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，离心率为12， 且点（ 1，32）在该椭圆上 . （I）求椭圆C的方程；（II ）过椭圆C的左焦点1F的直线l与椭圆C相交于,A B两点，若AOB的面积为726，求圆心在原点O 且与直线l相 切的圆的方程 . 20. （本小题满分13 分

9、）已知数列na满足：11a，21212,12,2nnnnanaa为偶数为奇数，2,3,4,.nLNMPABC精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - - （）求345,aa a的值；（）设121nnba，1,2,3.n，求证：数列nb是等比数列，并求出其通项公式；（III ）对任意的*2,mmN，在数列na中是否存在连续的2m项构成等差数列？若存在，写出这2m项，并证明这2m项构成等差数列；若不存在，说明理由. 精品资料 - - - 欢迎下载

10、 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 海淀区高三年级第二学期期中练习数学（文）参考答案及评分标准20104 说明：合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 第卷（选择题共 40 分）一、 选择题（本大题共8 小题 , 每小题 5分, 共 40 分）题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案A C B C D A B A 第 II券（非选择题共 110 分）二、填空题（本大题共6 小题 , 每小题 5 分, 有两空的小题，第一空3 分，第二空2 分，共30 分）9.

11、4 10.xy82 11.6 12.30 13.12 14.，1215. （本小题满分13 分）解： （I ）由图可知， A=1 1 分,24T所以2T 2 分所以1 3 分又1)4sin()4(f，且22所以4 5 分所以)4sin()(xxf. 6分（II ）由（ I ）)4sin()(xxf，所以)4()4()(xfxfxg=sin() sin()4444xxsin()sin2xx 8 分cossinxx 9 分1sin 22x 10 分因为2,0 x，所以,02x， 1 ,02sinx故：21,02sin21x，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - -

12、 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 当4x时，)(xg取得最大值21. 13 分16. （本小题满分13 分）解： （I）设“甲获得优惠券”为事件A 1分因为假定指针停在任一位置都是等可能的，而题中所给的三部分的面积相等，所以指针停在20 元，10 元， 0 元区域内的概率都是31. 3 分顾客甲获得优惠券，是指指针停在20 元或 10 元区域，根据互斥事件的概率，有323131)(AP，6 分所以，顾客甲获得优惠券面额大于0 元的概率是23. （II）设“乙获得优惠券金额不低于20 元”为事件B 7 分

13、因为顾客乙转动了转盘两次，设乙第一次转动转盘获得优惠券金额为x元，第二次获得优惠券金额为y元，则基本事件空间可以表示为：(20,20),(20,10),(20,0),(10,20),(10,10),(10,0),(0,20),(0,10),(0,0)，9 分即中含有 9 个基本事件，每个基本事件发生的概率为91. 10 分而乙获得优惠券金额不低于20 元，是指20 xy，所以事件 B 中包含的基本事件有6 个，11 分所以乙获得优惠券额不低于20 元的概率为3296)(BP13 分答：甲获得优惠券面额大于0 元的概率为32，乙获得优惠券金额不低于20 元的概率为32. 17.（本小题满分14

14、分）证明： ( ) 因为 ABCD 为菱形，所以AB=BC 又60ABCo，所以 AB=BC=AC， 1 分又 M 为 BC 中点，所以BCAM2 分而PA平面 ABCD，BC平面 ABCD ,所以PABC4 分又PAAMAI，所以BC平面AMN5 分（II）因为11331222AMCSAMCM6分又PA底面,ABCD2,PA所以1AN所以，三棱锥NAMC的体积31VAMCSAN8 分精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 133132

15、69 分( III)存在10 分取 PD 中点 E，连结 NE，EC,AE, 因为N ，E分别为PA ，PD中点，所以ADNE21/ 11 分又在菱形 ABCD 中，1/ /2CMAD所以MCNE/，即MCEN是平行四边形 12 分所以，ECNM /，又EC平面ACE，NM平面ACE所以MN /平面ACE， 13 分即在PD上存在一点E，使得/ /NM平面ACE，此时122PEPD. 14 分18. （本小题满分14 分）解： （I ）因为(1)0,(1)0fg，所以点)0, 1(同时在函数)(),(xgxf的图象上 1 分因为xaxgxxfln)(,1)(2，( )2fxx， 3 分( )a

16、gxx 5 分由已知，得)1( )1 ( gf，所以21a，即2a 6 分（II）因为xaxxgxfxFln21)(2)()(2（)0 x 7 分所以xaxxaxxF)(222)( 2 8 分当0a时，因为0 x，且,02ax所以0)( xF对0 x恒成立，所以)(xF在),0(上单调递增，)(xF无极值 10 分；当0a时，令0)( xF，解得12,xa xa（舍） 11 分所以当0 x时，( ),( )Fx F x的变化情况如下表：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 13 页

17、- - - - - - - - - - x),0(aa(,)a)( xF0 + )(xF极小值Z 13 分所以当ax时，( )F x取得极小值，且aaaaaaaFln1ln21)()(2. 14 分综上，当0a时，函数)(xF在),0(上无极值；当0a时，函数( )F x在ax处取得极小值aaaln1. 19. （本小题满分13 分）解： （I）设椭圆 C 的方程为22221,(0)xyabab，由题意可得21ace, 又222cba，所以2243ab 2 分因为椭圆 C 经过（ 1，32） ，代入椭圆方程有14349122aa解得2a 4 分所以1c，2413b故椭圆 C 的方程为22143

18、xy. 5分（）解法一：当直线lx轴时，计算得到：33( 1,),( 1, )22AB，1113| |1 3222AOBSABOF，不符合题意. 6 分当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为：(1)yk x,0k由22(1)143yk xxy，消去 y ，得2222(34)84120kxk xk 7 分显然0成立，设1122(,),(,)A xyB xy，则21228,34kxxk212241234kxxk 8 分精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 13 页 - - - - -

19、- - - - - 又2212221221221)()()()(|xxkxxyyxxAB22221212121()1()4kxxkxxxx422222644(412)1(34)34kkkkk 9 分即2222212112(1)|13434kkABkkk又圆O的半径22|00|11kkkrkk 10 分所以2222211 12(1)|6|16 2|22343471AOBkkkkSAB rkkk 11 分化简，得4217180kk，即22(1)(1718)0kk，解得2212181,17kk（舍） 12 分所以，2|221krk，故圆O的方程为：2212xy. 13 分（） 解法二 ：设直线l的方

20、程为1xty，由221143xtyxy，消去 x，得22(43 )690tyty 7 分因为0恒成立，设1122(,),(,)A xyB xy，则12122269,4343tyyyytt 8 分所以2121212|()4yyyyyy22223636(43 )43ttt2212143tt 9 分所以2112216162| |2437AOBtSF Oyyt化简得到4218170tt，即0)1)(1718(22tt，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 13 页 - - - - - -

21、- - - - 解得211,t221718t（舍） 11 分又圆O的半径为22|001|111trtt 12 分所以21221rt，故圆O的方程为：2212xy 13 分. 20.（本小题满分13 分）解： （）因为11a，所以21123aa，3115222aa，42127aa, 52113222aa 3分（）由题意，对于任意的正整数n，121nnba，所以121nnba 4 分又122221(21) 12(1)2nnnnaaab所以12nnbb 6 分又1 1112112baa 7 分所以nb是首项为 2，公比为2 的等比数列，所以2nnb 8 分（III ）存在 . 事实上， 对任意的*2

22、,mkN，在数列na中，2 ,21,22,221.,mmmmmaaaa这连续的2m项就构成一个等差数列 10 分我们先来证明：“对任意的*2,nnN，1*(0, 2),nkkN，有12212nnkka”由（ II）得1212nnnba，所以1221nna当k为奇数时，1121221222112222nnnkkkaaa当k为偶数时，112222221212nnnkkkaaa记1,21,2kkkkk为偶数为奇数精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 13 页 - - - - - - -

23、- - - 因此要证12212nnkka，只需证明21112212nnkka，其中2*11(0, 2),nkkN(这是因为若21112212nnkka，则当211kk时，则k一定是奇数，有1121221222112222nnnkkkaaa=212)22112(221)212(221111kkknnn；当21kk时，则k一定是偶数，有112222221212nnnkkkaaa=212)2212(21)212(21111kkknnn) 如此递推，要证21112212nnkka， 只要证 明32222212nnkka，其中11211,21,2kkkkk为偶数为奇数，3*22(0, 2),nkkN如此

24、递推下去，我们只需证明12222212nnkka，1*22(0, 2 ),nnkkN即1221115213222a，即352a，由（ I）可得，所以对*2,nnN，1*(0, 2),nkkN，有12212nnkka，对任意的*2,mmN，12212mmiia，1211212mmiia，其中*),12 ,0(Niim，所以21212mmiiaa又1212mma，2112112mma，所以21212mmaa所以2 ,21,22,221.,mmmmmaaaa这连续的2m项，是首项为1221mma，公差为12的等差数列. 13分说明：当12mm（其中*1122,mmNmN）时，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 因为1222212222222,.,mmmmmaaaa构成一个项数为22m的等差数列，所以从这个数列中任取连续的12m项，也是一个项数为12m，公差为12的等差数列 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - - -