第五章线代(共23页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上第五章 第一次作业1 三阶方阵的特征值为1，2，3，则 6 ；2 三阶方阵的特征值为-1，-2，-3，则方阵 的特征值分别为-2，-9，-26，且-468 。3 若为正交矩阵，则下列关系成立的是（A）A. B. C. D.4. 设均为n阶正交矩阵，则下列矩阵不是正交矩阵的是（C）A. B. C. D.5. 设矩阵的特征值为2，3，4，试求，特征值。解 ，故可逆，则的特征值为，由知，因此的特征值为；的特征值为。6求矩阵的特征值和全部特征向量。解 故的特征值为a) 由，解得，故对应于的全部特征值为；b) 由，解得，故对应于的全部特征值为；由，解得，故对应于的全部特征值为；

2、第五章 第一次作业选作题1已知，求一组非零向量使， 两两正交。解 应满足，即得基础解系显然与正交，取2设为n阶正交矩阵，证明也是正交矩阵。证明 因为正交矩阵，即，故从而存在，且，又因，故,为正交矩阵。第五章 第二次作业1 设三阶方阵的特征值为-1，2，3，与相似，则20 。2 设三阶实对称矩阵的特征值为3，4，5，则与相似的对角矩阵 。3 当满足（A）时，矩阵与相似。A.且； B. 或；C.; D. 4 矩阵与相似，则下列结论不正确的是（C）A. 存在非奇异矩阵,使； B.B. 存在对角矩阵，使与都相似于； D. 。5 已知三阶矩阵的特征值1，-1，2，设矩阵，试求：（1）矩阵的特征值及其相似

3、对角阵；（2）行列式及。解 （1）的特征值为 ，；，故的特征值为；其相似对角阵为；（2）的特征值为；故。6 设，求一个可逆矩阵，使为对角矩阵，进而求正交矩阵，使为对角矩阵。解 由，解方程得； 由，解方程得； 由，解方程得；取，则；显然两两正交，则只需单位化为， 取，则为正交矩阵，则。第五章 第二作业选作题1已知矩阵与相似。（1）求与；（2）求一个满足的可逆矩阵。解 （1） （2） 当时，解 得基础解系 ；当时，解 得基础解系 ； 当时，解 得基础解系 ；取 则；2已知，均为n阶矩阵，且，证明与有相同的特征值。证明 因，则存在，且 与相似，从而与有相同的特征值。第五章 第三次作业1二次型的矩阵是

4、；2矩阵对应的二次型 。3 次型经非奇异变换后，所得的标准型（A）A.； B. ；C. ； D. 。4 实二次型对应的矩阵满足（C）A.；B.；C.；D.。5 把二次型用矩阵表示，并求二次型的秩。解 故 二次型的秩为3；6 用正交变换化二次为标准型，并写出所作的正交变换。解 ， = 故；i) 由得；由时得；由得。由两两正交，则仅需单位化，得，令得；第五章 第三次作业选作题1设二次型通过正交变换化为标准型求。解 ，则由得，而。由于为的特征值，故，则。2证明：二次型在时的最大值为矩阵的最大特征值。证明 为实对称矩阵，则有一正交矩阵，使成立。其中为的特征值，不妨设最大，因为正交阵，则，且,故，由，则

5、 又因 故当时， 即时，达到最大，其最大值为第五章 第四次作业1 实二次型的秩为 ，正惯性指数为 ，负惯性指数为 。2当 时，实二次型是正定的。解 该实二次型所对应的矩阵的所有顺序主子式均大于零。2 设为正定矩阵的条件是（C）。A.； B.； C.；D.。4当满足（D）时，二次型是正定的。A.； B.；C.； D.。5判断二次型是否正定？解 令因为正定的。6用配方法化二次型为标准型，并写出所作的可逆线性变换。解 令代入 令故 由上知 第五章 第四次作业选作题1证明：设为正定矩阵，则均为正定矩阵。证明 设为的特征值，为正定矩阵，且的特征值也为，由上知为正定矩阵；的特征值为为正定矩阵； 的特征值为

6、为正定矩阵。8求的值，使二次型是正定的，并讨论的情况。解 因 即当时，为正定矩阵，当时，不为正定矩阵。第五章 复习题1. 求数量矩阵的特征值及特征向量。解 当时，则，故任意非零的维向量均为的特征向量。2已知是三阶实对称矩阵的三个特征值，且对应于的特征向量，求对应于的特征值及矩阵。解 因是三阶实对称矩阵，对应于的特征向量应满足：，即得，显然两两正交，单位化后得，所以，则。3判断矩阵能否对角化？若能，则求出可逆矩阵，使为对角矩阵。解，；当时，解得；当时得，则有。4已知，其中，求及。解 ，；5用正交变换化二次型为标准形。解 ，由得；得，由于， 两两正交 ，则单位化后得，。6设为n阶实对称矩阵，且，证明是正定矩阵。解 由，的特征值为1，2，故正定。7设是n阶正定矩阵，设是n阶单位阵，证明。解 设为的特征值，因为阶正定矩阵，且存在正交矩阵，使，。8设是n阶正交且正定的矩阵，试证。证明 正交 ， 又 正定 ， ， （1）又由正定知，的特征值大于零，从而可得 （2）故 。专心-专注-专业