数学归纳法(共12页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上数学归纳法2015高考会这样考1.考查数学归纳法的原理和证题步骤；2.用数学归纳法证明与等式、不等式或数列有关的命题，考查分析问题、解决问题的能力复习备考要这样做1.理解数学归纳法的归纳递推思想及其在证题中的应用；2.规范书写数学归纳法的证题步骤一、知识梳理数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0 (n0N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设nk (kn0，kN*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立上述证明方法叫作数学归纳法难点正本疑

2、点清源1数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据2在用数学归纳法证明时，第(1)步验算nn0的n0不一定为1，而是根据题目要求，选择合适的起始值第(2)步，证明nk1时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法小试牛刀1凸k边形内角和为f(k)，则凸k1边形的内角和为f(k1)f(k)_.答案解析易得f(k1)f(k).2用数学归纳法证明：“11)”，由nk (k1)不等式成立，推证nk1时，左边应增加的项的项数是_答案2k解析nk时，左边1，当nk1时，左边1.

3、所以左边应增加的项的项数为2k.3用数学归纳法证明1aa2an1(a1，nN)，在验证n1成立时，左边需计算的项是()A1 B1aC1aa2 D1aa2a3答案C解析观察等式左边的特征易知选C.4已知n为正偶数，用数学归纳法证明12时，若已假设nk(k2且k为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证()Ank1时等式成立Bnk2时等式成立Cn2k2时等式成立Dn2(k2)时等式成立答案B解析因为假设nk(k2且k为偶数)，故下一个偶数为k2，故选B.5已知f(n)，则()Af(n)中共有n项，当n2时，f(2)Bf(n)中共有n1项，当n2时，f(2)Cf(n)中共有n2n项，当n2时，f(2

4、)Df(n)中共有n2n1项，当n2时，f(2)答案D解析从n到n2共有n2n1个数，所以f(n)中共有n2n1项.二、典型例题题型一用数学归纳法证明等式例1已知nN*，证明：1.思维启迪：等式的左边有2n项，右边有n项，左边的分母是从1到2n的连续正整数，末项与n有关，右边的分母是从n1到nn的连续正整数，首、末项都与n有关证明当n1时，左边1，右边，等式成立；假设当nk(kN*)时等式成立，即1，那么当nk1时，左边1 右边，所以当nk1时等式也成立综合知对一切nN*，等式都成立探究提高用数学归纳法证明恒等式应注意：明确初始值n0的取值并验证nn0时命题的真假(必不可少)“假设nk (kN

5、*，且kn0)时命题正确”并写出命题形式分析“nk1时”命题是什么，并找出与“nk”时命题形式的差别弄清左端应增加的项，明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等简言之：两个步骤、一个结论；递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉【变式1】用数学归纳法证明：对任意的nN*，.证明(1)当n1时，左边，右边，左边右边，所以等式成立(2)假设当nk(kN*)时等式成立，即，则当nk1时，所以当nk1时，等式也成立由(1)(2)可知，对一切nN*等式都成立题型二用数学归纳法证明不等式例2用数学归纳法证明：11n (nN*)思维启迪：利用假设后，要注意不等

6、式的放大和缩小证明(1)当n1时，左边1，右边1，1，即命题成立(2)假设当nk (kN*)时命题成立，即11k，则当nk1时，112k1.又1均成立证明(1)当n2时，左边1；右边.左边右边，不等式成立(2)假设当nk(k2，且kN*)时不等式成立，即.则当nk1时，.当nk1时，不等式也成立由(1)(2)知，对于一切大于1的自然数n，不等式都成立题型三用数学归纳法证明整除性问题例3用数学归纳法证明42n13n2能被13整除，其中n为正整数思维启迪：当nk1时，把42(k1)13k3配凑成42k13k2的形式是解题的关键证明(1)当n1时，421131291能被13整除(2)假设当nk(kN

7、)时，42k13k2能被13整除，则当nk1时，方法一42(k1)13k342k1423k2342k1342k1342k1133(42k13k2)，42k113能被13整除，42k13k2能被13整除42(k1)13k3能被13整除方法二因为42(k1)13k33(42k13k2)(42k1423k23)3(42k13k2)42k113，42k113能被13整除，42(k1)13k33(42k13k2)能被13整除，因而42(k1)13k3能被13整除，当nk1时命题也成立，由(1)(2)知，当nN时，42n13n2能被13整除探究提高用数学归纳法证明整除问题，P(k)P(k1)的整式变形是个

8、难点，找出它们之间的差异，然后将P(k1)进行分拆、配凑成P(k)的形式，也可运用结论：“P(k)能被p整除且P(k1)P(k)能被p整除P(k1)能被p整除”【变式3】已知n为正整数，aZ，用数学归纳法证明：an1(a1)2n1能被a2a1整除证明(1)当n1时，an1(a1)2n1a2a1，能被a2a1整除(2)假设nk(kN)时，ak1(a1)2k1能被a2a1整除，那么当nk1时，ak2(a1)2k1(a1)2ak1(a1)2k1ak2ak1(a1)2(a1)2ak1(a1)2k1ak1(a2a1)能被a2a1整除即当nk1时命题也成立根据(1)(2)可知，对于任意nN，an1(a1)

9、2n1能被a2a1整除题型四 归纳、猜想、证明【例4】在各项为正的数列an中，数列的前n项和Sn满足Sn.(1)求a1，a2，a3；(2)由(1)猜想数列an的通项公式，并且用数学归纳法证明你的猜想审题视角(1)数列an的各项均为正数，且Sn，所以可根据解方程求出a1，a2，a3；(2)观察a1，a2，a3猜想出an的通项公式an，然后再证明规范解答解(1)S1a1得a1.an0，a11，1分由S2a1a2，得a2a210，a21.2分又由S3a1a2a3得a2a310，a3.3分(2)猜想an (nN*)5分证明：当n1时，a11，猜想成立6分假设当nk (kN*)时猜想成立，即ak，则当n

10、k1时，ak1Sk1Sk，即ak1，a2ak110，ak1.即nk1时猜想成立11分由知，an (nN*)12分温馨提醒(1)本题运用了从特殊到一般的探索、归纳、猜想及证明的思维方式去探索和发现问题，并证明所得结论的正确性，这是非常重要的一种思维能力(2)本题易错原因是，第(1)问求a1，a2，a3的值时，易计算错误或归纳不出an的一般表达式第(2)问想不到再次利用解方程的方法求解，找不到解决问题的突破口.方法与技巧1在数学归纳法中，归纳奠基和归纳递推缺一不可在较复杂的式子中，注意由nk到nk1时，式子中项数的变化，应仔细分析，观察通项同时还应注意，不用假设的证法不是数学归纳法2对于证明等式问

11、题，在证nk1等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，以减 少计算时的复杂程度；对于整除性问题，关键是凑假设；证明不等式时，一般要运用放缩法3归纳猜想证明属于探索性问题的一种，一般经过计算、观察、归纳，然后猜想出结论，再用数学归纳法证明由于“猜想”是“证明”的前提和“对象”，务必保证猜想的正确性，同时必须注意数学归纳法步骤的书写失误与防范1数学归纳法仅适用于与正整数有关的数学命题2严格按照数学归纳法的三个步骤书写，特别是对初始值的验证不可省略，有时要取两个(或两个以上)初始值进行验证；初始值的验证是归纳假设的基础3注意nk1时命题的正确性4在进行nk1命题证明时，一定要用nk时的命题，没有用

12、到该命题而推理证明的方法不是数学归纳法课堂练习一、选择题(每小题5分，共20分)1用数学归纳法证明“12222n22n31”，在验证n1时，左边计算所得的式子为()A1 B12C1222 D122223答案D解析左边的指数从0开始，依次加1，直到n2，所以当n1时，应加到23，故选D.2用数学归纳法证明“2nn21对于nn0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取()A2 B3 C5 D6答案C解析令n0分别取2,3,5,6，依次验证即得3用数学归纳法证明123n2，则当nk1时左端应在nk的基础上加上()Ak21B(k1)2C.D(k21)(k22)(k1)2答案D解析当nk时，左

13、端123k2.当nk1时，左端123k2(k21)(k22)(k1)2，故当nk1时，左端应在nk的基础上加上(k21)(k22)(k1)2.故应选D.4用数学归纳法证明：“(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)”，从“k到k1”左端需增乘的代数式为()A2k1 B2(2k1)C. D.答案B解析nk1时，左端为(k2)(k3)(k1)(k1)(k1)k(k1)(k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)(k1)(k2)(kk)2(2k1)，应乘2(2k1)二、填空题(每小题5分，共15分)5用数学归纳法证明“2n1n2n2(nN)”时，第一步验证为_答案当n1时，左边4右边，不等

14、式成立解析由nN可知初始值为1.6若f(n)122232(2n)2，则f(k1)与f(k)的递推关系式是_答案f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2解析f(k)1222(2k)2，f(k1)1222(2k)2(2k1)2(2k2)2；f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2.7用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”，当第二步假设n2k1(kN)命题为真时，进而需证n_时，命题亦真答案2k1解析因为n为正奇数，所以与2k1相邻的下一个奇数是2k1.三、解答题(共22分)8(10分)若n为大于1的自然数，求证：.证明(1)当n2时，.(2)假设当nk(kN)时不等式成立，即

15、，那么当nk1时，.这就是说，当nk1时，不等式也成立由(1)(2)可知，原不等式对任意大于1的自然数都成立9(12分)已知点Pn(an，bn)满足an1anbn1，bn1(nN*)且点P1的坐标为(1，1)(1)求过点P1，P2的直线l的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于nN*，点Pn都在(1)中的直线l上(1)解由P1的坐标为(1，1)知a11，b11.b2.a2a1b2.点P2的坐标为，直线l的方程为2xy1.(2)证明当n1时，2a1b121(1)1成立假设当nk(kN*)时，2akbk1成立，则当nk1时，2ak1bk12akbk1bk1(2ak1)1，当nk1时，命题也成立由知，

16、对于nN*，都有2anbn1，即点Pn在直线l上课后练习一、选择题(每小题5分，共15分)1对于不等式n1(nN*)，某同学用数学归纳法证明的过程如下：(1)当n1时，11，不等式成立(2)假设当nk(kN*)时，不等式成立，即k1，则当nk1时，(k1)1，当nk1时，不等式成立，则上述证法()A过程全部正确Bn1验得不正确C归纳假设不正确D从nk到nk1的推理不正确答案D解析在nk1时，没有应用nk时的假设，不是数学归纳法2用数学归纳法证明不等式 (nN*)成立，其初始值至少应取()A7 B8 C9 D10答案B解析左边12，代入验证可知n的最小值是8.二、填空题(每小题5分，共15分)4

17、已知整数对的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，则第60个数对是_答案(5,7)解析本题规律：211；31221；4132231；514233241；一个整数n所拥有数对为(n1)对设123(n1)60，60，n11时还多5对数，且这5对数和都为12，12111210394857，第60个数对为(5,7)5用数学归纳法证明 (k1)，则当nk1时，左端应乘上_，这个乘上去的代数式共有因式的个数是_答案2k1解析因为分母的公差为2，所以乘上去的第一个因式是，最后一个是，根据等差数

18、列通项公式可求得共有12k2k12k1项6在数列an中，a1且Snn(2n1)an，通过计算a2，a3，a4，猜想an的表达式是_答案an解析当n2时，a1a26a2，即a2a1；当n3时，a1a2a315a3，即a3(a1a2)；当n4时，a1a2a3a428a4，即a4(a1a2a3).a1，a2，a3，a4，故猜想an.三、解答题7(13分)已知函数f(x)axx2的最大值不大于，又当x时，f(x).(1)求a的值；(2)设0a1，an1f(an)，nN*，证明：an.(1)解由题意，知f(x)axx22.又f(x)max，所以f.所以a21.又当x时，f(x)，所以即解得a1.又因为a21，所以a1.(2)证明用数学归纳法证明：当n1时，0a1，显然结论成立因为当x时，0f(x)，所以0a2f(a1).故n2时，原不等式也成立假设当nk(k2，kN*)时，不等式0ak成立因为f(x)axx2的对称轴为直线x，所以当x时，f(x)为增函数所以由0ak，得0f(ak)f.于是，0ak1f(ak).所以当nk1时，原不等式也成立根据，知对任何nN*，不等式an成立专心-专注-专业