微积分在大学物理中的几点应用(共17页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上毕 业 设 计（论文）题 目：微积分的几点物理应用 学 院： 数理学院 专业名称： 应用物理 学 号： 3 学生姓名： 孙 川 指导教师： 李 建 2013年05月18日摘 要微元法在物理学中应用非常普遍.在大学物理学中, 从静电场到恒定磁场，从质点的运动学到刚体的力学，都要遇到用微积分来解决的问题.本论文主要探讨的是在大学物理学习中,应用微积分方法解决问题时几个问题.微积分主要思想和方法利用微元法处理比较复杂物理问题时,可以先把它分割成许多在较小时间、空间等范围内的可以近似处理的基本问题,然后再对此可研究的简单的基本问题进行讨论,最后再把所有局部范围内研究的结果累积

2、起来,就可以得到问题结果.在理论分析时,把分割过程无限地进行下去,局部范围便会无限地小下去,这就是微分;把所有的无限多个微分元的结果进行叠加,便是积分.这就是微积分的主要思想和方法,是一种辩证的思想和分析方法 关键字微积分 微元法 质点力学 刚体力学 电磁学 AbstractCalculus is quite common in physics. In College Physics, from the particle motion mechanics to particle dynamics mechanics, both the electrostatic field and a con

3、stant magnetic field meet the question which needs use the calculus. This article mainly discusses the learning of university physics; Applied Calculus approach to the problem should pay attention to several issues.The main ideas and methods of the calculus, using the calculus method to deal with mo

4、re complex physical problems. Its first “break up the whole into parts “, it is divided into many smaller time, space Etc. within the range of processing of the basic Can be approximated. Then, to research simple questions hold discussion. Lastly, “Zero for the whole plot”, within the scope of all t

5、he result of study Accumulated. The results can be obtained. In theoretical analysis, the segmentation process is carried on unlimited. Then Local scope Narrow down unlimited. This is differentiation. All the Differential element Superimposed, it is integral calculus. This is the main ideas and meth

6、ods of the calculus. Is a kind of dialectical thinking and analytical methods.Key wordsCalculus Micro-element method Particle mechanics Rigidbody mechanics Electricity and Magnetism目 录第一章 绪论伟大的科学家牛顿有很多伟大的成就建立了经典物理理论比如：牛顿三大定律，万有引力定律等；另外在数学上也有伟大的成就创立了微积分.微积分（Calculus）是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支.微积分是建立在实

7、数、函数和极限的基础上的.微积分最重要的思想是用微元和无限逼近就像一个事物始终在变化很难研究但通过微元分割成许多无限小那就可以认为是常量处理最终加起来就是积分. 微积分学是微分学和积分学的总称。它是一种数学思想，“无限细分”就是微分，那么“无限求和”就是积分。无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是要运用一种运动的思想来看待问题。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一，在大学物理中，微积分思想发挥了极其重要的作用。微积分方法是一种辨证思想方法它包含有限与无限的对立统一近似与精确的对立和统一.它把复杂物理问题进行时间和空间上的有限次分割，在有限小的范围内进行近似处理然后让分割无限地进行下去局部

8、范围无限的变小那么近似处理也就会越来越精确这样在理论上就能得到精确的结果.微分就是理论分析时，把分割过程无限的进行下去局部范围便无限小下去. 积分就是把无限小的微分元求和这就是微积分的方法.物理学就是要抓住主要方面，忽略次要方面从而使得复杂问题简单化因此在大学物理中应用微积分方法能够把看似复杂的问题近似成简单、基本、可研究问题.物理现象及其规律研究都是以最简单的现象和规律为基础例如质点运动学是从匀速、匀变速的直线运动开始带电体产生的电场是以点电荷为基础的对于实际中复杂问题则可化整为零把它分割成在较小时间、空间等范围内的相应局部问题，只要把局部范围被分割到足够小小到这些局部问题可近似处理为简单、

9、基本、可研究地问题，然后把局部范围内结果累积起来，就可以得出问题的结果.第二章 微积分在质点力学中的应用2.1 用微积分解决速度和加速度的问题1.位置矢量定义：由坐标原点到质点所在位置的矢量称为位置矢 量（简称位矢或径矢）。如图选取的是直角坐标系，为质点P的位置矢量因为x、y、z都是时间的函数，既 ；因此，可以反映任意t 时刻质点的位置，因此把上式称作质点的运动方程。2位移在平面直角坐标系中，有一个质点由时刻t1，起始位置A处，经过时间后，质点运动到了位置B处，质点的位矢由变化到处。由始点A指向终点B的有向线段称为点A到点B的位移矢量，简称位移。可用或表示。矢量，刚好为三角形的三边，由三角形法

10、则可以得出 =-3. 速度为了描述质点运动快慢及方向，从而引进速度概念。(1) 平均速度 在时刻时间内，质点的位移为，那么二者的比值，称为质点在时间内的平均速度，平均速度描述物体的运动是比较粗糙的，因为在时间内，质点的各个时刻的运动情况不一定相同，质点的运动可以时快时慢，方向也可以不断地改变，平均速度不能反映质点运动的真实细节，如果要精确到质点在某一刻时刻或某一位置的实际运动情况，应使尽量小，即，用平均速度的极限值瞬时速度来秒速。(2) 瞬时速度 瞬时速度即为平均速度的极限值即瞬时速度（速度）为位置矢量对时间的一阶导数速度在直角坐标系下表达式为： ,3. 加速度 同理加速度应该为位置矢量对时间

11、的二阶导数，速度对时间的一阶导数，直系分解形式： 这就是说，质点在某时刻或某位置的(瞬时)加速度等于速度矢量对时间的一阶导数，或等于位置矢径对时间的二阶导数。 例题1、 一质点在平面上运动，运动方程为=3+5, =2+3-4.式中以 s计，,以m计(1)以时间为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出质点速度矢量表示式，计算4 s 时质点的速度；(3)求出质点加速度矢量的表示式，计算4s 时质点的加速度解：（1） (2) 则 (3) 由例题1可知，由运动方程求速度、加速度，这类问题主要是用求导的方法解决例题2 已知一质点作直线运动，其加速度为 4+3 ，开始运动时，5 m， =0，求该质点在

12、10s 时的速度和位置 解： 分离变量，得 积分，得 由题知，, ,故 又因为 分离变量， 积分得 由题知 , ,故 所以时由例题2知、已知加速度（或速度）以及初始条件求运动方程，这类问题主要用积分的方法2.2用微积分解决变力做功问题功：力对质点所作的功为力在质点位移方向的分量与位移大小的乘积。元功 变力所作的功 直角坐标系中 说明：功是力对空间的累积；合力对质点所作的功，等于每个分力所作的功的代数和。例题3 选取弹簧自然伸长处为x坐标的原点，当弹簧形变量为x时，弹性力做功为多少？解：弹性力为F=-kx 式中k为弹簧的劲度系数则 可见，功是力对位置的积分。上述例子在整个过程中间，F为变力，为了

13、解决问题，取位移元，则在内，F可以看做一恒力，那么利用功的定义，元功,再对于整个区间进行积分，就可得到结果。第三章 定积分在计算刚体转动惯量中的应用刚体:把物体看作有质量和大小形状，但在外力作用下大小形状不发生改变的理想模型；转动惯量是刚体转动惯性大小的量度，是刚体力学中的一个重要参数，在质点系中转动惯量的表达式为有定积分的定义可知当质量连续分布时，刚体的转动惯量可表示为例1、 如图所示，求质量为m，长为l的均匀细棒的传统惯量：（1）转轴通过棒的中心并与棒垂直；（2）转轴通过棒一端并与棒垂直。解：（1）转轴通过棒的中心并与棒垂直在棒上任取一质元，其长度为，距轴0的距离为x，设棒的线密度（即单位

14、长度上的质量）为，则该质元的质量dm=.该质元对中心轴的转动惯量为整个棒对中心轴的转动惯量为（2）转轴通过棒的一端与棒垂直时，整个棒对该轴的转动惯量为由于棒上各点到转轴距离不一样，因此不能用转动惯量的定义计算，那么我们就要选取就要选取一个质元dm=，此质元可以作为质点来看，那么运用转动惯量定义，那么该质元对转轴的转动惯量，然后对整个区间进行积分，就得到整个棒的转动惯量。由此看出，同一均匀细棒，转轴位置不同，转动动量不同。由上述例子，可以看出定积分可以解决已知质量分布时，刚体的转动惯量。第四章 定积分在电场强度以及电势计算中的应用4.1、定积分在电场强度计算中的应用1、设真空中的优点电荷为q，P

15、点位空间一点（称为场点）。为从q到P点的矢径。点处的电场强度由叠加原理，点电荷系在空间点处的电场强度由定积分的定义，连续带电体在空间点处的电场强度例1、 一个半径为的均匀带电半圆环，电荷线密度为,求环心处点的场强解: 如图在圆上取，它在点产生场强大小为方向沿半径向外则 积分 ，方向沿轴正向上述例题中因为带电体为一圆环，各点在在点处的场强的方向不同，因此计算上不可能一蹴而就，我们的方法是先取微元，此时可以看出是点电荷，其在点处激发的电场，然后对在整个区间上积分即可得到结果。4.2、定积分在电势计算中的应用1、设真空中的优点电荷为q，P点位空间一点（称为场点）。为从q到P点的矢径。点处的电势由叠加

16、原理，点电荷系在空间点处的电势由定积分的定义，连续带电体在空间点处的电势例2、如图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为的正电荷,两直导线的长度和半圆环的半径都等于试求环中心点处的场强和电势解: (1)由于电荷均匀分布与对称性，和段电荷在点产生的场强互相抵消，取则产生点如图，由于对称性，点场强沿轴负方向(2) 电荷在点产生电势，以同理产生 半圆环产生 上述例题中因为带电体为不规则，各点在在点处的电势的大小不同，因此计算上也不可能一蹴而就，我们的方法是先取微元，此时可以看出是点电荷，其在点处激发的电场，然后对在整个区间上积分即可得到结果。总结：由以上的分析可以看出，微积分在大学物理中的应用不仅是数学

17、工具 的应用，还是一种思维方法的应用.在物理学中应用微积分解决问题是学习物理必不可少的一部分，在具体的问题当中选取合适的微元，是解题的关键，也就是把具体问题怎样分割才能便于我们更简单的解题。参考文献1贾晓峰.微积分与数学模型.高等教育出版社. 2008年6月2王飞.物理学.新华出版社.2006年6月3许瑞珍.大学物理.机械工业出版社.2006年8月1日4黎定国.大学物理中微积分的思想方法浅谈J.大学物理2005，24（12）：5254.5赵建彬.物理学M.北京机械出版社，2006.6周圣源.高工专物理学M.北京高等教育出版社，1996.7 Jia Xiaofeng. calculus and

18、mathematical models . Higher Education Press.2008.06 8 WangFei.Physics. xinhua press.2006.069 Xu zhenrui.University physics. Mechanical Industry Press 2006.0810 Li dingguo. College Physics ideological discussion on the method of calculusJ.College Physics 2005,24(12):5254.11Zhao jianbin. PhysicsM. Be

19、ijing Machinery Press,2006.12Zhou shengyuan, Hydrallic physicsM. Beijing Higher Education Press,1996.致 谢通过此次毕业设计，加深了我对微积分的了解，为今后顺利的开展工作打下良好的基础，特别是对认识问题、分析问题、解决问题的能力有了较大的提高.本次毕业设计也是对我整个学习阶段的一次综合测试.在毕业论文设计过程中，衷心的感谢李建老师，在百忙之中对我的设计给予了细致的指导和建议.您严谨求实的教学作风、诲人不倦的耐心，给我留下了难以磨灭的印象.在这四年的大学生活和学习中，老师不仅教导我做人的原则，尤其在学习当中对我传授的知识会使我受益终身.在此，我表示衷心的感谢，我将在今后的工作中不断追求新知识、继续努力，不辜负老师们对我细心的培养.最后，我要向在百忙之中抽时间对本文进行审阅、评议和参加本人论文答辩的各位老师表示感谢！还要感谢数理学院和我的母校湖北理工学院学院四年来对我的栽培专心-专注-专业