2007考研数一真题及解析(共22页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上2007年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：小题，每小题4分，共40分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1) 当时，与等价的无穷小量是( ). (2) 曲线渐近线的条数为( ) 0 1 2 3(3) 如图，连续函数在区间上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间上图形分别是直径为的上、下半圆周，设则下列结论正确的是( )32-1O1-2-3 (4) 设函数在连续，则下列命题错误的是( )若存在，则 若存在，则若存在，则存在 若存在，则存在(5) 设函数在上具有二阶导数，且，令，则下列结论正确

2、的是( ) 若，则必收敛 若，则必发散 若，则必收敛 若，则必发散(6) 设曲线(具有一阶连续偏导数)过第象限内的点和第IV象限内的点，为上从点到点的一段弧，则下列积分小于零的是( ) (7) 设向量组线性无关，则下列向量组线性相关的是( ). . . . (8) 设矩阵，则与( ). 合同，且相似 . 合同，但不相似 . 不合同，但相似 . 既不合同，也不相似(9) 某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为则此人第4次射击恰好第次命中目标的概率为 ( ). . .(10) 设随机变量服从二维正态分布，且与不相关，分别表示的概率密度，则在条件下，的条件概率密度为( ). . .二、

3、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(11) (12) 设为二元可微函数，则(13) 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为(14) 设曲面，则(15) 设距阵则的秩为(16) 在区间中随机地取两个数,则这两数之差的绝对值小于的概率为三、解答题：1724小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)(本题满分10分) 求函数在区域上的最大值和最小值.(18)(本题满分11分)计算曲面积分 其中为曲面的上侧.(19)(本题满分11分)设函数，在上连续，在内二阶可导且存在相等的最大值，又，证明：存在使得(20)

4、(本题满分10分)设幂级数在内收敛，其和函数满足(I) 证明(II) 求的表达式(21)(本题满分11分)设线性方程组 与方程 有公共解，求得值及所有公共解.(22)(本题满分11分)设3阶实对称矩阵的特征值是的属于的一个特征向量,记，其中为3阶单位矩阵.(I) 验证是矩阵的特征向量，并求的全部特征值与特征向量；(II) 求矩阵.(23)(本题满分11分)设二维随机变量的概率密度为 (I) 求；(II) 求的概率密度. (24)(本题满分11分)设总体的概率密度为.其中参数未知，是来自总体的简单随机样本，是样本均值.(I) 求参数的矩估计量；(II) 判断是否为的无偏估计量，并说明理由. 20

5、07年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、选择题(1)【答案】B【详解】方法1：排除法：由几个常见的等价无穷小，当时，当时，此时，所以可以排除、，所以选(B).方法2： 当时，又因为时，所以，选(B).方法3：设，则对应系数相等得：，所以原式，选(B).(2)【答案】D【详解】因为，所以是一条铅直渐近线；因为，所以是沿方向的一条水平渐近线；令 令 所以是曲线的斜渐近线，所以共有3条，选择(D)(3)【答案】C【详解】由题给条件知，为的奇函数，则，由 知，故为的偶函数，所以. 而表示半径的半圆的面积，所以，其中表示半径的半圆的面积的负值，所以所以 所以 ，选择C(4)【答案】( D)【详

6、解】方法1：论证法，证明都正确，从而只有不正确.由存在及在处连续，所以，所以(A)正确；由选项(A)知，所以存在，根据导数定义，存在，所以(C)也正确；由在处连续，所以在处连续，从而所以即有.所以(B)正确，故此题选择(D).方法2：举例法，举例说明(D)不正确. 例如取，有存在而 ，左右极限存在但不相等，所以在的导数不存在. (D)不正确，选(D).(5)【答案】( D)【详解】，由拉格朗日中值定理，有，其中， 由知严格单调增，故若，则 所以而是一个确定的正数. 于是推知故发散. 选(D)(6)【答案】B【详解】用排除法.将代入知，排除C.取，、依次为、，则，排除A，排除D，选B(7) 【答

7、案】A【详解】方法1：根据线性相关的定义，若存在不全为零的数，使得成立，则称线性相关.因，故线性相关，所以选择(A).方法2：排除法因为其中，且 .故是可逆矩阵，由可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积，右乘时，等于作若干次初等变换，初等变换不改变矩阵的秩，故有所以线性无关，排除(B).因为 其中，故是可逆矩阵，由可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积, 右乘时，等于作若干次初等变换，初等变换不改变矩阵的秩，故有所以线性无关，排除(C).因为 其中，故是可逆矩阵，由可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积, 右乘时，等于作若干次初等变换，初等变换不改变矩阵的秩，故有所以线性无关，排除(D).综上

8、知应选(A).(8) 【答案】B【详解】 方法1：则的特征值为3，3，0;是对角阵，对应元素即是的特征值，则的特征值为1，1，0. 的特征值不相同，由相似矩阵的特征值相同知，不相似.由的特征值可知，的正惯性指数都是2，又秩都等于2可知负惯性指数也相同，则由实对称矩阵合同的充要条件是有相同的正惯性指数和相同的负惯性指数，知与合同，应选(B).方法2: 因为迹(A)=2+2+2=6，迹(B)=1+1=26，所以A与B不相似(不满足相似的必要条件).又，A与B是同阶实对称矩阵，其秩相等，且有相同的正惯性指数，故A与B合同.(9)【答案】【详解】把独立重复射击看成独立重复试验.射中目标看成试验成功.

9、第4次射击恰好是第次命中目标可以理解为：第4次试验成功而前三次试验中必有1次成功，2次失败.根据独立重复的伯努利试验，前3次试验中有1次成功2次失败.其概率必为再加上第4次是成功的，其概率为.根据独立性原理：若事件独立，则所以，第4次射击为第二次命中目标的概率为 所以选(C) (10)【答案】【详解】二维正态随机变量中，与的独立等价于与不相关. 而对任意两个随机变量与，如果它们相互独立，则有.由于二维正态随机变量中与不相关，故与独立，且. 根据条件概率密度的定义，当在条件下，如果则.现显然不为0，因此 所以应选(A).二、填空题(11)【答案】【详解】命，有(12)【答案】【详解】(13)【答

10、案】【详解】这是二阶常系数非齐次线性微分方程，且函数是型(其中). 所给方程对应的齐次方程为，它的特征方程为 得特征根 对应齐次方程的通解由于这里不是特征方程的根，所以应设该非齐次方程的一个特解为 所以，代入原方程：，则，所以 故得原方程的通解为.(14)【答案】【详解】 ，对于第一部分，由于积分区域关于轴、轴是对称的面，被积函数为的奇函数，所以对于第二部分，因关于轮换对称，所以那么，由曲面积分的几何意义，为曲面的表面积，所以 而为8块同样的等边三角形，每块等边三角形的边长为，所以所以 (15)【答案】1【详解】 由阶梯矩阵的行秩等于列秩，其值等于阶梯形矩阵的非零行的行数，知1O1(16) 【

11、答案】【详解】不妨假定随机地抽出两个数分别为，它们应是相互独立的. 如果把看成平面上一个点的坐标，则由于所以为平面上正方形：中的一个点. 两个数之差的绝对值小于对应于正方形中的区域.所有可能在区间中随机取的两个数，可以被看成上图中单位正方形里的点.的区域就是正方形中阴影的面积. 根据几何概率的定义： 三、解答题(17)【详解】方法1：先求函数在的内部驻点，由，解得内的驻点为，相应的函数值为再考虑在的边界：上的. 即，易知函数在此边界上的最大值为，最小值为.考虑在的边界：上的，所以，令 由得驻点，所以函数在相应点处的函数值为，综上可知函数在上的最大值为，最小值为.方法2：在内与边界上，同方法1

12、.在边界：上，构造函数令 ， 解得，综上，在上的最大值为8，最小值为0(18)【详解】方法1：增加一个曲面使之成为闭合曲面，从而利用高斯公式，补充曲面片，下侧为正，有根据高斯公式，其中，. 又由函数奇偶性可知，从而.方法2：曲面在上的投影记为，由于曲面的正向法向量为，所以 令 ，则方法3：记曲面在三个坐标平面上的投影分别为，则利用函数奇偶性有，所以 (19)【详解】欲证明存在使得，可构造函数，从而使用介值定理、微分中值定理等证明之.令，由题设存在相等的最大值，设，使得. 于是，若，则取有.若，则取有.若，则由连续函数介值定理知，存在使.不论以上哪种情况，总存在使.再，将在区间分别应用罗尔定理，

13、得存在使得；再由罗尔定理知，存在使.即有.(20)【详解】(I) 证法一：对求一阶和二阶导数，得 代入，得 即 于是 从而 证法二：由于，根据泰勒级数的唯一性便知.在方程两端求阶导数，得令，得，即 ， 故 (II) 证法一：由于且根据题设中条件 所以 ； 从而 .证法二：因为，所以，两边求导，得由于 ，所以 ，即函数满足方程令，则上述方程变为，即，解之得，从而.由得，所以.(21) 【详解】方法1：因为方程组(1)、(2)有公共解，将方程组联立得 对联立方程组的增广矩阵作初等行变换由此知，要使此线性方程组有解，必须满足，即或.当时，联立方程组(3)的同解方程组为，由，方程组有个自由未知量. 选

14、为自由未知量，取，解得两方程组的公共解为，其中是任意常数.当时, 联立方程组(3)的同解方程组为，解得两方程的公共解为.方法2：将方程组(1)的系数矩阵作初等行变换当时，方程组(1)的同解方程组为，由，方程组有个自由未知量.选为自由未知量，取，解得(1)的通解为，其中是任意常数. 将通解代入方程(2)得，对任意的成立，故当时，是(1)、(2)的公共解.当时，方程组(1)的同解方程组为，由，方程组有个自由未知量.选为自由未知量，取，解得(1)的通解为,其中是任意常数. 将通解代入方程(2)得，即，故当时，(1)和(2)的公共解为.(22) 【详解】由，可得 ，是正整数,故 于是是矩阵的特征向量(

15、对应的特征值为). 若，则因此对任意多项式，即是的特征值.故的特征值可以由的特征值以及与的关系得到，的特征值 则有特征值所以的全部特征值为2，1，1. 由是实对称矩阵及与的关系可以知道，也是实对称矩阵，属于不同的特征值的特征向量正交. 由前面证明知是矩阵的属于特征值的特征向量，设的属于1的特征向量为，与正交，所以有方程如下：选为自由未知量，取，于是求得的属于1的特征向量为 故的所有的特征向量为：对应于的全体特征向量为，其中是非零任意常数，对应于的全体特征向量为，其中是不同时为零的任意常数.方法1：令矩阵，求逆矩阵. 则 由，所以 方法2：由知与分别正交，但是不正交，现将正交化：取 .其中，再对

16、单位化： 其中，合并成正交矩阵，记 由，有. 又由正交矩阵的性质：，得.(23)【详解】 计算可用公式求的概率密度：可用两个随机变量和的概率密度的一般公式求解.(卷积公式)此公式简单，但讨论具体的积分上下限会较复杂.另一种方法可用定义先求出然后再.1O1(I)，其中为中的那部分区域(右图阴影部分)；求此二重积分可得()方法1：根据两个随机变量和的概率密度的卷积公式有先考虑被积函数中第一个自变量的变化范围，根据题设条件只有当时才不等于0. 因此，不妨将积分范围改成现再考虑被积函数的第二个变量.显然，只有当时，才不等于0.且为为此，我们将分段讨论.因为有，即是而的取值范围是，所以使得不等于0的取值

17、范围是 如下图，在情况下，在阴影区域和，密度函数值不为0，积分方向如图所示，积分上下限就很好确定了，所以很容易由卷积公式得出答案。1O2积分方向1时，由于，故，故时，时，时，由于，故，故1O1总之，方法2：当时，； 当时，； 当时，当时，所以 (24)【答案】的矩估计量为；不是为的无偏估计量.【详解】本题中只有唯一参数，则在求矩估计的时候，只要令样本均值等于总体的期望就可以求得了；而判断是否为的无偏估计量，只要判断是否成立即可.(I) 记，则由数学期望的定义，有样本均值 ，用样本均值估计期望有 即是令 ，解出 ，因此参数的矩估计量为 ；(II) 只须验证是否为即可，而由数学期望和方差的性质，有 ，而 ，于是 因此不是为的无偏估计量.专心-专注-专业