2016年上海市高考数学试卷(理科)(共20页).doc

《2016年上海市高考数学试卷(理科)(共20页).doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2016年上海市高考数学试卷(理科)(共20页).doc（20页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精选优质文档-倾情为你奉上2016年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1（4分）（2016上海）设xR，则不等式|x3|1的解集为2（4分）（2016上海）设z=，其中i为虚数单位，则Imz=3（4分）（2016上海）已知平行直线l1：2x+y1=0，l2：2x+y+1=0，则l1，l2的距离4（4分）（2016上海）某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是（米）5（4分）（2016上海）已知点（3，

2、9）在函数f（x）=1+ax的图象上，则f（x）的反函数f1（x）=6（4分）（2016上海）在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD的边长为3，BD1与底面所成角的大小为arctan，则该正四棱柱的高等于7（4分）（2016上海）方程3sinx=1+cos2x在区间0，2上的解为8（4分）（2016上海）在（）n的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于9（4分）（2016上海）已知ABC的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于10（4分）（2016上海）设a0，b0，若关于x，y的方程组无解，则a+b的取值范围为11（4分）（2016上海）无穷数列an由k

3、个不同的数组成，Sn为an的前n项和，若对任意nN*，Sn2，3，则k的最大值为12（4分）（2016上海）在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（0，1），P是曲线y=上一个动点，则的取值范围是13（4分）（2016上海）设a，bR，c0，2），若对于任意实数x都有2sin（3x）=asin（bx+c），则满足条件的有序实数组（a，b，c）的组数为14（4分）（2016上海）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形A1A2A8的中心，A1（1，0）任取不同的两点Ai，Aj，点P满足+=，则点P落在第一象限的概率是二、选择题（5×4=20分）15（5分）（2016上海）设aR，

4、则“a1”是“a21”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分也非必要条件16（5分）（2016上海）下列极坐标方程中，对应的曲线为如图所示的是（）A=6+5cosB=6+5sinC=65cosD=65sin17（5分）（2016上海）已知无穷等比数列an的公比为q，前n项和为Sn，且=S，下列条件中，使得2SnS（nN*）恒成立的是（）Aa10，0.6q0.7Ba10，0.7q0.6Ca10，0.7q0.8Da10，0.8q0.718（5分）（2016上海）设f（x）、g（x）、h（x）是定义域为R的三个函数，对于命题：f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（

5、x）均为增函数，则f（x）、g（x）、h（x）中至少有一个增函数；若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是以T为周期的函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（）A和均为真命题B和均为假命题C为真命题，为假命题D为假命题，为真命题三、解答题（74分）19（12分）（2016上海）将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，AC长为，A1B1长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧（1）求三棱锥CO1A1B1的体积；（2）求异面直线B1C与AA1所成的角的大小20（14分）（2016上海）有一块正方形EFG

6、H，EH所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F点或河边运走于是，菜地分别为两个区域S1和S2，其中S1中的蔬菜运到河边较近，S2中的蔬菜运到F点较近，而菜地内S1和S2的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为（1，0），如图（1）求菜地内的分界线C的方程；（2）菜农从蔬菜运量估计出S1面积是S2面积的两倍，由此得到S1面积的经验值为设M是C上纵坐标为1的点，请计算以EH为一边，另一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并判断哪一个更接近于S1面积的“经验值”21（14分）（2016上海）双曲线x2=1（b0）的左、右焦点分别

7、为F1，F2，直线l过F2且与双曲线交于A，B两点（1）直线l的倾斜角为，F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设b=，若l的斜率存在，且（+）=0，求l的斜率22（16分）（2016上海）已知aR，函数f（x）=log2（+a）（1）当a=5时，解不等式f（x）0；（2）若关于x的方程f（x）log2（a4）x+2a5=0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围（3）设a0，若对任意t，1，函数f（x）在区间t，t+1上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围23（18分）（2016上海）若无穷数列an满足：只要ap=aq（p，qN*），必有ap+1=aq+1，则称an具有性质

8、P（1）若an具有性质P，且a1=1，a2=2，a4=3，a5=2，a6+a7+a8=21，求a3；（2）若无穷数列bn是等差数列，无穷数列cn是公比为正数的等比数列，b1=c5=1；b5=c1=81，an=bn+cn，判断an是否具有性质P，并说明理由；（3）设bn是无穷数列，已知an+1=bn+sinan（nN*），求证：“对任意a1，an都具有性质P”的充要条件为“bn是常数列”2016年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1（4分）（2016上海）设xR，则

9、不等式|x3|1的解集为（2，4）【分析】由含绝对值的性质得1x31，由此能求出不等式|x3|1的解集【解答】解：xR，不等式|x3|1，1x31，解得2x4不等式|x3|1的解集为（2，4）故答案为：（2，4）【点评】本题考查含绝对值不等式的解法，是基础题，解题时要认真审题，注意含绝对值不等式的性质的合理运用2（4分）（2016上海）设z=，其中i为虚数单位，则Imz=3【分析】利用复数代数形式的乘除运算法则，先求出复数z的最简形式，由此能求出Imz【解答】解：Z=23i，Imz=3故答案为：3【点评】本题考查复数的虚部的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数的乘除运算法则的合理运用3（

10、4分）（2016上海）已知平行直线l1：2x+y1=0，l2：2x+y+1=0，则l1，l2的距离【分析】直接利用平行线之间的距离公式求解即可【解答】解：平行直线l1：2x+y1=0，l2：2x+y+1=0，则l1，l2的距离：=故答案为：【点评】本题考查平行线之间的距离公式的应用，考查计算能力4（4分）（2016上海）某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是1.76（米）【分析】先把这组数据按从小到大排列，求出位于中间的两个数值的平均数，得到这组数据的中位数【解答】解：6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，

11、1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，从小到大排列为：1.69，1.72，1.75，1.77，1.78，1.80，位于中间的两个数值为1.75，1.77，这组数据的中位数是：=1.76（米）故答案为：1.76【点评】本题考查中位数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意中位数的定义的合理运用5（4分）（2016上海）已知点（3，9）在函数f（x）=1+ax的图象上，则f（x）的反函数f1（x）=log2（x1）（x1）【分析】由于点（3，9）在函数f（x）=1+ax的图象上，可得9=1+a3，解得a=2可得f（x）=1+2x，由1+2x=y，解得x=log2（y1），（y1）把x与

12、y互换即可得出f（x）的反函数f1（x）【解答】解：点（3，9）在函数f（x）=1+ax的图象上，9=1+a3，解得a=2f（x）=1+2x，由1+2x=y，解得x=log2（y1），（y1）把x与y互换可得：f（x）的反函数f1（x）=log2（x1）故答案为：log2（x1），（x1）【点评】本题考查了反函数的求法、指数函数与对数函数的互化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6（4分）（2016上海）在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD的边长为3，BD1与底面所成角的大小为arctan，则该正四棱柱的高等于2【分析】根据正四棱柱ABCDA1B1C1D1的侧棱D1D底面ABC

13、D，判断D1BD为直线BD1与底面ABCD所成的角，即可求出正四棱柱的高【解答】解：正四棱柱ABCDA1B1C1D1的侧棱D1D底面ABCD，D1BD为直线BD1与底面ABCD所成的角，tanD1BD=，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD的边长为3，BD=3，正四棱柱的高=3=2，故答案为：2【点评】本题考查了正四棱柱的性质，正四棱柱的高的计算，考查了线面角的定义，关键是找到直线与平面所成的角7（4分）（2016上海）方程3sinx=1+cos2x在区间0，2上的解为或【分析】利用二倍角公式化简方程为正弦函数的形式，然后求解即可【解答】解：方程3sinx=1+cos2x，可得3s

14、inx=22sin2x，即2sin2x+3sinx2=0可得sinx=2，（舍去）sinx=，x0，2解得x=或故答案为：或【点评】本题考查三角方程的解法，恒等变换的应用，考查计算能力8（4分）（2016上海）在（）n的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于112【分析】根据展开式中所有二项式系数的和等于2n=256，求得 n=8在展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项【解答】解：在（）n的二项式中，所有的二项式系数之和为256，2n=256，解得n=8，（）8中，Tr+1=，当=0，即r=2时，常数项为T3=（2）2=112故答案为：112

15、【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题9（4分）（2016上海）已知ABC的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于【分析】可设ABC的三边分别为a=3，b=5，c=7，运用余弦定理可得cosC，由同角的平方关系可得sinC，再由正弦定理可得该三角形的外接圆半径为，代入计算即可得到所求值【解答】解：可设ABC的三边分别为a=3，b=5，c=7，由余弦定理可得，cosC=，可得sinC=，可得该三角形的外接圆半径为=故答案为：【点评】本题考查三角形的外接圆的半径的求法，注意运用正弦定理和余弦定理，考查运算能力，属

16、于基础题10（4分）（2016上海）设a0，b0，若关于x，y的方程组无解，则a+b的取值范围为（2，+）【分析】根据方程组无解，得到两直线平行，建立a，b的方程关系，利用转化法，构造函数，求函数的导数，利用函数的单调性进行求解即可【解答】解：关于x，y的方程组无解，直线ax+y=1与x+by=1平行，a0，b0，即a1，b1，且ab=1，则b=，则a+b=a+，则设f（a）=a+，（a0且a1），则函数的导数f（a）=1=，当0a1时，f（a）=0，此时函数为减函数，此时f（a）f（1）=2，当a1时，f（a）=0，此时函数为增函数，f（a）f（1）=2，综上f（a）2，即a+b的取值范围是

17、（2，+），故答案为：（2，+）【点评】本题主要考查直线平行的应用以及构造函数，求函数的导数，利用导数和函数单调性之间的关系进行求解是解决本题的关键11（4分）（2016上海）无穷数列an由k个不同的数组成，Sn为an的前n项和，若对任意nN*，Sn2，3，则k的最大值为4【分析】对任意nN*，Sn2，3，列举出n=1，2，3，4的情况，归纳可得n4后都为0或1或1，则k的最大个数为4【解答】解：对任意nN*，Sn2，3，可得当n=1时，a1=S1=2或3；若n=2，由S22，3，可得数列的前两项为2，0；或2，1；或3，0；或3，1；若n=3，由S32，3，可得数列的前三项为2，0，0；或2

18、，0，1；或2，1，0；或2，1，1；或3，0，0；或3，0，1；或3，1，0；或3，1，1；若n=4，由S32，3，可得数列的前四项为2，0，0，0；或2，0，0，1；或2，0，1，0；或2，0，1，1；或2，1，0，0；或2，1，0，1；或2，1，1，0；或2，1，1，1；或3，0，0，0；或3，0，0，1；或3，0，1，0；或3，0，1，1；或3，1，0，0；或3，1，0，1；或3，1，1，0；或3，1，1，1；即有n4后一项都为0或1或1，则k的最大个数为4，不同的四个数均为2，0，1，1，或3，0，1，1故答案为：4【点评】本题考查数列与集合的关系，考查分类讨论思想方法，注意运用归纳

19、思想，属于中档题12（4分）（2016上海）在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（0，1），P是曲线y=上一个动点，则的取值范围是0，1+【分析】设P（cos，sin），0，则=（1，1），=（cos，sin+1），由此能求出的取值范围【解答】解：在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，1），P是曲线y=上一个动点，设P（cos，sin），0，=（1，1），=（cos，sin+1），=cos+sin+1=，的取值范围是0，1+故答案为：0，1+【点评】本题考查向量的数量积的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意平面向量数量积的性质的合理运用13（4分）（2016上海）设a，bR

20、，c0，2），若对于任意实数x都有2sin（3x）=asin（bx+c），则满足条件的有序实数组（a，b，c）的组数为4【分析】根据三角函数恒成立，则对应的图象完全相同【解答】解：对于任意实数x都有2sin（3x）=asin（bx+c），必有|a|=2，若a=2，则方程等价为sin（3x）=sin（bx+c），则函数的周期相同，若b=3，此时C=，若b=3，则C=，若a=2，则方程等价为sin（3x）=sin（bx+c）=sin（bxc），若b=3，则C=，若b=3，则C=，综上满足条件的有序实数组（a，b，c）为（2，3，），（2，3，），（2，3，），（2，3，），共有4组，故答案为：4【

21、点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数恒成立，利用三角函数的性质，结合三角函数的诱导公式进行转化是解决本题的关键14（4分）（2016上海）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形A1A2A8的中心，A1（1，0）任取不同的两点Ai，Aj，点P满足+=，则点P落在第一象限的概率是【分析】利用组合数公式求出从正八边形A1A2A8的八个顶点中任取两个的事件总数，满足+=，且点P落在第一象限，则需向量+的终点落在第三象限，列出事件数，再利用古典概型概率计算公式求得答案【解答】解：从正八边形A1A2A8的八个顶点中任取两个，基本事件总数为满足+=，且点P落在第一象限，对应的Ai，Aj

22、，为：（A4，A7），（A5，A8），（A5，A6），（A6，A7），（A5，A7）共5种取法点P落在第一象限的概率是，故答案为：【点评】本题考查平面向量的综合运用，考查了古典概型概率计算公式，理解题意是关键，是中档题二、选择题（5×4=20分）15（5分）（2016上海）设aR，则“a1”是“a21”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分也非必要条件【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：由a21得a1或a1，即“a1”是“a21”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的关系结合充

23、分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，比较基础16（5分）（2016上海）下列极坐标方程中，对应的曲线为如图所示的是（）A=6+5cosB=6+5sinC=65cosD=65sin【分析】由图形可知：时，取得最大值，即可判断出结论【解答】解：由图形可知：时，取得最大值，只有D满足上述条件故选：D【点评】本题考查了极坐标方程、数形结合方法、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题17（5分）（2016上海）已知无穷等比数列an的公比为q，前n项和为Sn，且=S，下列条件中，使得2SnS（nN*）恒成立的是（）Aa10，0.6q0.7Ba10，0.7q0.6Ca10，0.7q0.8

24、Da10，0.8q0.7【分析】由已知推导出，由此利用排除法能求出结果【解答】解：，S=，1q1，2SnS，若a10，则，故A与C不可能成立；若a10，则qn，故B成立，D不成立故选：B【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用18（5分）（2016上海）设f（x）、g（x）、h（x）是定义域为R的三个函数，对于命题：f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均为增函数，则f（x）、g（x）、h（x）中至少有一个增函数；若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是以T为周期的函数，则f（x）、g（x）、h（x）均

25、是以T为周期的函数，下列判断正确的是（）A和均为真命题B和均为假命题C为真命题，为假命题D为假命题，为真命题【分析】不成立可举反例：f（x）=g（x）=，h（x）=由题意可得：f（x）+g（x）=f（x+T）+g（x+T），f（x）+h（x）=f（x+T）+h（x+T），h（x）+g（x）=h（x+T）+g（x+T），可得：g（x）=g（x+T），h（x）=h（x+T），f（x）=f（x+T），即可判断出真假【解答】解：不成立可举反例：f（x）=g（x）=，h（x）=f（x）+g（x）=f（x+T）+g（x+T），f（x）+h（x）=f（x+T）+h（x+T），h（x）+g（x）=h（x+T）

26、+g（x+T），前两式作差可得：g（x）h（x）=g（x+T）h（x+T），结合第三式可得：g（x）=g（x+T），h（x）=h（x+T），同理可得：f（x）=f（x+T），因此正确故选：D【点评】本题考查了函数的单调性与周期性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题（74分）19（12分）（2016上海）将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，AC长为，A1B1长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧（1）求三棱锥CO1A1B1的体积；（2）求异面直线B1C与AA1所成的角的大小【分析】（1）连结O1B1，推导出O1A1B1为正

27、三角形，从而=，由此能求出三棱锥CO1A1B1的体积（2）设点B1在下底面圆周的射影为B，连结BB1，则BB1AA1，BB1C为直线B1C与AA1所成角（或补角），由此能求出直线B1C与AA1所成角大小【解答】解：（1）连结O1B1，则O1A1B1=A1O1B1=，O1A1B1为正三角形，=，=（2）设点B1在下底面圆周的射影为B，连结BB1，则BB1AA1，BB1C为直线B1C与AA1所成角（或补角），BB1=AA1=1，连结BC、BO、OC，AOB=A1O1B1=，BOC=，BOC为正三角形，BC=BO=1，tanBB1C=45，直线B1C与AA1所成角大小为45【点评】本题考查三棱锥的体

28、积的求法，考查两直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养20（14分）（2016上海）有一块正方形EFGH，EH所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F点或河边运走于是，菜地分别为两个区域S1和S2，其中S1中的蔬菜运到河边较近，S2中的蔬菜运到F点较近，而菜地内S1和S2的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为（1，0），如图（1）求菜地内的分界线C的方程；（2）菜农从蔬菜运量估计出S1面积是S2面积的两倍，由此得到S1面积的经验值为设M是C上纵坐标为1的点，请计算以EH为一边，另一边过点M的矩形的面

29、积，及五边形EOMGH的面积，并判断哪一个更接近于S1面积的“经验值”【分析】（1）设分界线上任意一点为（x，y），根据条件建立方程关系进行求解即可（2）设M（x0，y0），则y0=1，分别求出对应矩形面积，五边形FOMGH的面积，进行比较即可【解答】解：（1）设分界线上任意一点为（x，y），由题意得|x+1|=，得y=2，（0x1），（2）设M（x0，y0），则y0=1，x0=，设所表述的矩形面积为S3，则S3=2（+1）=2=，设五边形EMOGH的面积为S4，则S4=S3SOMP+SMGN=1+=，S1S3=，S4S1=，五边形EMOGH的面积更接近S1的面积【点评】本题主要考查圆锥曲线的

30、轨迹问题，考查学生的运算能力，综合性较强，难度较大21（14分）（2016上海）双曲线x2=1（b0）的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过F2且与双曲线交于A，B两点（1）直线l的倾斜角为，F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设b=，若l的斜率存在，且（+）=0，求l的斜率【分析】（1）利用直线的倾斜角，求出AB，利用三角形是正三角形，求解b，即可得到双曲线方程（2）求出左焦点的坐标，设出直线方程，推出A、B坐标，利用向量的数量积为0，即可求值直线的斜率【解答】解：（1）双曲线x2=1（b0）的左、右焦点分别为F1，F2，a=1，c2=1+b2，直线l过F2且与双曲线交于A，B

31、两点，直线l的倾斜角为，F1AB是等边三角形，可得：A（c，b2），可得：，3b4=4（a2+b2），即3b44b24=0，b0，解得b2=2所求双曲线方程为：x2=1，其渐近线方程为y=x（2）b=，双曲线x2=1，可得F1（2，0），F2（2，0）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线的斜率为：k=，直线l的方程为：y=k（x2），由题意可得：，消去y可得：（3k2）x2+4k2x4k23=0，=36（1+k2）0，可得x1+x2=，则y1+y2=k（x1+x24）=k（4）=（x1+2，y1），=（x2+2，y2），（+）=0可得：（x1+x2+4，y1+y2）（x1x2，y1y2）

32、=0，可得x1+x2+4+（y1+y2）k=0，得+4+k=0可得：k2=，解得k=l的斜率为：【点评】本题考查双曲线与直线的位置关系的综合应用，平方差法以及直线与双曲线方程联立求解方法，考查计算能力，转化思想的应用22（16分）（2016上海）已知aR，函数f（x）=log2（+a）（1）当a=5时，解不等式f（x）0；（2）若关于x的方程f（x）log2（a4）x+2a5=0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围（3）设a0，若对任意t，1，函数f（x）在区间t，t+1上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围【分析】（1）当a=5时，解导数不等式即可（2）根据对数的运算法则进行化简，

33、转化为一元二次方程，讨论a的取值范围进行求解即可（3）根据条件得到f（t）f（t+1）1，恒成立，利用换元法进行转化，结合对勾函数的单调性进行求解即可【解答】解：（1）当a=5时，f（x）=log2（+5），由f（x）0；得log2（+5）0，即+51，则4，则+4=0，即x0或x，即不等式的解集为x|x0或x（2）由f（x）log2（a4）x+2a5=0得log2（+a）log2（a4）x+2a5=0即log2（+a）=log2（a4）x+2a5，即+a=（a4）x+2a50，则（a4）x2+（a5）x1=0，即（x+1）（a4）x1=0，当a=4时，方程的解为x=1，代入，成立当a=3时，

34、方程的解为x=1，代入，成立当a4且a3时，方程的解为x=1或x=，若x=1是方程的解，则+a=a10，即a1，若x=是方程的解，则+a=2a40，即a2，则要使方程有且仅有一个解，则1a2综上，若方程f（x）log2（a4）x+2a5=0的解集中恰好有一个元素，则a的取值范围是1a2，或a=3或a=4（3）函数f（x）在区间t，t+1上单调递减，由题意得f（t）f（t+1）1，即log2（+a）log2（+a）1，即+a2（+a），即a=设1t=r，则0r，=，当r=0时，=0，当0r时，=，y=r+在（0，）上递减，r+=，=，实数a的取值范围是a【点评】本题主要考查函数最值的求解，以及对

35、数不等式的应用，利用换元法结合对勾函数的单调性是解决本题的关键综合性较强，难度较大23（18分）（2016上海）若无穷数列an满足：只要ap=aq（p，qN*），必有ap+1=aq+1，则称an具有性质P（1）若an具有性质P，且a1=1，a2=2，a4=3，a5=2，a6+a7+a8=21，求a3；（2）若无穷数列bn是等差数列，无穷数列cn是公比为正数的等比数列，b1=c5=1；b5=c1=81，an=bn+cn，判断an是否具有性质P，并说明理由；（3）设bn是无穷数列，已知an+1=bn+sinan（nN*），求证：“对任意a1，an都具有性质P”的充要条件为“bn是常数列”【分析】（

36、1）利用已知条件通过a2=a5=2，推出a3=a6，a4=a7，转化求解a3即可（2）设无穷数列bn的公差为：d，无穷数列cn的公比为q，则q0，利用条件求出，d与q，求出bn，cn得到an的表达式，推出a2a6，说明an不具有性质P（3）充分性：若bn是常数列，设bn=C，通过an+1=C+sinan，证明ap+1=aq+1，得到an具有性质P必要性：若对于任意a1，an具有性质P，得到a2=b1+sina1，设函数f（x）=xb1，g（x）=sinx，说明bn+1=bn，即可说明bn是常数列【解答】解：（1）a2=a5=2，a3=a6，a4=a7=3，a5=a8=2，a6=21a7a8=1

37、6，a3=16（2）设无穷数列bn的公差为：d，无穷数列cn的公比为q，则q0，b5b1=4d=80，d=20，bn=20n19，=q4=，q=，cn=an=bn+cn=20n19+a1=a5=82，而a2=21+27=48，a6=101=a1=a5，但是a2a6，an不具有性质P（3）充分性：若bn是常数列，设bn=C，则an+1=C+sinan，若存在p，q使得ap=aq，则ap+1=C+sinap=C+sinaq=aq+1，故an具有性质P必要性：若对于任意a1，an具有性质P，则a2=b1+sina1，设函数f（x）=xb1，g（x）=sinx，由f（x），g（x）图象可得，对于任意的b1，二者图象必有一个交点，一定能找到一个a1，使得a1b1=sina1，a2=b1+sina1=a1，an=an+1，故bn+1=an+2sinan+1=an+1sinan=bn，bn是常数列【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合应用，充要条件的应用，考查分析问题解决问题的能力，逻辑思维能力，难度比较大参与本试卷答题和审题的老师有：zlzhan；qiss；沂蒙松；双曲线；maths；sxs123（排名不分先后）菁优网2016年6月12日专心-专注-专业