中考数学复习专题8二次函数与几何图形的综合(精讲)试题(共18页).doc

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2、建立关于线段长的二次函数,通过求二次函数的最值进而求线段长的最值；(3)线段长之和最小的问题,转化为对称点后用两点之间线段最短解决.2.二次函数与图形的面积(1)根据二次函数中不同图形的特点选择合适的方法解答图形的面积；(2)通过观察、分析、概括、总结等方法了解二次函数面积问题的基本类型,并掌握二次函数中面积问题的相关计算,从而体会数形结合思想和转化思想在二次函数中的应用；(3)利用二次函数的解析式求出相关点的坐标,从而得出相关线段长,利用割补方法求图形的面积.3.二次函数与特殊三角形(1)判断等腰三角形,可以对顶点进行分类讨论；(2)判断直角三角形,可以对直角顶点进行分类讨论.4.二次函数与

3、特殊四边形此类题型结合特殊四边形的判定方法,对对应边进行分类讨论,求平行四边形存在类问题用平移法解坐标较简单,其他特殊的平行四边形结合判断方法用边相等、角为直角或对角线的交点坐标突破.5.二次函数与相似三角形结合相似三角形判定方法,如果一个角为直角,只需两直角边之比分别相等,此时要对对应边分类讨论.中考重难点突破二次函数与线段的长例1(2018遂宁中考改编)如图,已知抛物线yax2x4的对称轴是直线x3,且与x轴相交于A,B两点(B点在A点右侧),与y轴交于C点. (1)求抛物线的解析式和A,B两点的坐标；(2)若M是抛物线上任意一点,过点M作y轴的平行线,交直线BC于点N,当MN3时,求点M

4、的坐标.【解析】(1)由抛物线的对称轴x3,利用二次函数的性质即可得到a的值,进而可得出抛物线的解析式,再利用抛物线与x轴交点的纵坐标为0可求出点A,B的坐标；(2)根据二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标.由点B,C的坐标,利用待定系数法可得直线BC的解析式.设点M的横坐标为m,可表示点M的纵坐标.又由MNy轴,可表示出点N的横纵坐标,进而可用m的代数式表示出MN的长,结合MN3即可得出关于m的含绝对值符号的一元二次方程,分类讨论即可得出结果.【答案】解：(1)抛物线yax2x4的对称轴是直线x3,3,解得a,抛物线的解析式为yx2x4.当y0时,x2x40,解得x12,x28.点A的

5、坐标为(2,0),点B的坐标为(8,0)；(2)当x0时,yx2x44,点C的坐标为(0,4).设直线BC的解析式为ykxb(k0).将B(8,0),C(0,4)代入ykxb,得解得直线BC的解析式为yx4.设点M的坐标为,则点N的坐标为,MN.又MN3,3.当m22m0,即0m8时,m22m3,解得m12,m26,此时点M的坐标为(2,6)或(6,4).同理,当m22m0,即m8或m0时,点M的坐标为(42,1)或(42,1).综上所述,点M的坐标为(2,6),(6,4),(42,1)或(42,1).1.(2018安顺中考改编)如图,已知抛物线yax2bxc(a0)的对称轴为直线x1,且抛物

6、线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,其中A(1,0),C(0,3).(1)若直线ymxn经过B,C两点,求直线BC和抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴x1上找一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小,求出点M的坐标.解：(1)依题意,得解得抛物线的解析式为yx22x3.令y0,则x22x30,解得x11,x23,点B(3,0).把B(3,0),C(0,3)代入ymxn,得解得直线BC的解析式为yx3；(2)设直线BC与x1的交点为M,连接AM.点A,B关于抛物线的对称轴对称,MAMB,MAMCMBMCBC,当点M为直线BC与x1的交点时,MAMC的值最小.把x1代入yx3,得y

7、2,M(1,2).二次函数与图形的面积例2(2018达州中考改编)如图,抛物线经过原点O(0,0),A(1,1),B(,0).(1)求抛物线的解析式；(2)连接OA,过点A作ACOA交抛物线于点C,连接OC,求AOC的面积.【解析】(1)设交点式yax,然后把A点坐标代入求出a,即可得到抛物线的解析式；(2)延长CA交y轴于点D,易得OA,DOA45,则可判断AOD为等腰直角三角形,由此可求出D点坐标,利用待定系数法求出直线AD的解析式,再结合抛物线的解析式可得关于x的一元二次方程,解方程可得点C的坐标,利用三角形面积公式及SAOCSCODSAOD进行计算,进而得出AOC的面积.【答案】解：(

8、1)设抛物线的解析式为yax.把A(1,1)代入yax,可得a,抛物线的解析式为yx,即yx2x；(2)延长CA交y轴于点D.A(1,1),OAC90,OA,DOA45,AOD为等腰直角三角形,ODOA2,D(0,2).由点A(1,1),D(0,2),得直线AD的解析式为yx2.令x2xx2,解得x11,x25.当x5时,yx23,C(5,3),SAOCSCODSAOD25214.2.(2018眉山中考改编)如图,已知抛物线yax2bxc经过点A(0,3),B(1,0),其对称轴为直线l：x2,过点A作ACx轴交抛物线于点C,AOB的平分线交线段AC于点E,点P是抛物线上的一个动点,设其横坐标

9、为m.(1)求抛物线的解析式；(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上,连接PE,PO,当m为何值时,四边形AOPE的面积最大？并求出其最大值.解：(1)由抛物线的对称性易得D(3,0),设抛物线的解析式为ya(x1)(x3).把A(0,3)代入ya(x1)(x3),得33a,解得a1,抛物线的解析式为yx24x3；(2)由题意知P(m,m24m3).OE平分AOB,AOB90,AOE45,AOE是等腰直角三角形,AEOA3,E(3,3).易得OE的解析式为yx.过点P作PGy轴,交OE于点G,则G(m,m),PGm(m24m3)m25m3.S四边形AOPESAOESPOE 33PGAE (m2

10、5m3)3 m2m .0,当m时,四边形AOPE的面积最大,最大值是.二次函数与特殊三角形例3(2018枣庄中考改编)如图,已知二次函数yax2xc(a0)的图象与y轴交于点A(0,4),与x轴交于点B,C,点C坐标为(8,0),连接AB,AC.(1)求二次函数的表达式；(2)若点N在x轴上运动,当以点A,N,C为顶点的三角形是等腰三角形时,请写出此时点N的坐标.【解析】(1)根据待定系数法即可得出答案；(2)分别以A,C两点为圆心,AC长为半径画弧,与x轴交于三个点,由AC的垂直平分线与x轴交于一个点,即可求得点N的坐标.【答案】解：(1)二次函数yax2xc的图象与y轴交于点A(0,4),

11、与x轴交于点C(8,0),解得二次函数的表达式为yx2x4；(2)A(0,4),C(8,0),AC4.以点A为圆心,AC长为半径作圆,交x轴于点N,则ANAC,故NAC是以NC为底边的等腰三角形,此时N点坐标为(8,0)；以点C为圆心,AC长为半径作圆,交x轴于点N,则CNCA,故ACN是以NA为底边的等腰三角形,此时N点坐标为(84,0)或(84,0)；作AC的垂直平分线,交x轴于点N,则NANC,故ANC是以AC为底边的等腰三角形,此时点N为BC的中点.令yx2x40,解得x18,x22,此时N点坐标为(3,0).综上所述,点N在x轴上运动,当以点A,N,C为顶点的三角形是等腰三角形时,点

12、N的坐标为(8,0),(84,0),(3,0)或(84,0).3.(2018兰州中考)如图,抛物线yax2bx4经过A(3,0),B(5,4)两点,与y轴交于点C,连接AB,AC,BC.(1)求抛物线的表达式；(2)求证：AB平分CAO；(3)抛物线的对称轴上是否存在点M,使得ABM是以AB为直角边的直角三角形？若存在,求出点M的坐标；若不存在,请说明理由.(1)解：将A(3,0),B(5,4)代入yax2bx4,得解得抛物线的表达式为yx2x4；(2)证明：AO3,OC4,AC5.取D(2,0),则ADAC5.由两点间的距离公式可知BD5.C(0,4),B(5,4),BC5.ADACBDBC

13、.四边形ACBD是菱形,CABBAD,AB平分CAO；(3)解：如图,抛物线的对称轴交x轴与点E,交BC与点F,过点A,B分别作MAAB,MBAB,交对称轴于点M,M.抛物线的对称轴为x,AE.A(3,0),B(5,4),tan EAB.MAB90,tan MAE2.ME2AE11,M.同理,tan MBF2.又BF,FM5,M.综上所述,抛物线的对称轴上存在点M 或,使得ABM是以AB为直角边的直角三角形.二次函数与四边形例4(2018河南中考改编)如图,抛物线yax26xc交x轴于A,B两点,交y轴于点C,直线yx5经过点B,C.(1)求抛物线的解析式；(2)过点A的直线交直线BC于点M,

14、当AMBC时,过抛物线上一动点P(不与点B,C重合),作直线AM的平行线交直线BC于点Q,若以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的横坐标；【解析】(1)利用直线BC的解析式确定点B,C的坐标,然后利用待定系数法求抛物线的解析式；(2)先利用抛物线的解析式求出A点坐标,再判断OCB为等腰直角三角形,继而得到OBCOCB45,则AMB为等腰直角三角形,进而求出点M的坐标,根据抛物线和直线BC的解析式设点P,Q的坐标,根据平行四边形的对角线互相平分,即可列出等式方程,解方程即可得到点P的横坐标.【答案】解：(1)当x0时,y5,则C(0,5).当y0时,yx50,解得x5,则B(5,

15、0).把B(5,0),C(0,5)代入yax26xc,得解得抛物线的解析式为yx26x5；(2)令yx26x50,解得x11,x25,A(1,0).B(5,0),C(0,5),BAC90,OCB为等腰直角三角形,OBCOCB45.又AMBC,AMB为等腰直角三角形,AMAB42.以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,AMPQ,PQAM2,PQBC.作PDx轴交直线BC于点D,则PDQ45,PDPQ24.设P(m,m26m5),则D(m,m5).当点P在直线BC上方时,PDm26m5(m5)m25m4,解得m11(舍去),m24；当点P在直线BC下方时,PDm5(m26m5)m25m4,

16、解得m3,m4.综上所述,点P的横坐标为4,或.4.(2018济宁中考改编)如图,已知抛物线yax2bxc(a0)经过点A(3,0),B(1,0),C(0,3).(1)求该抛物线的解析式；(2)若点Q在x轴上,点P在抛物线上,是否存在以点B,C,Q,P为顶点的四边形是平行四边形？若存在,求点P的坐标；若不存在,请说明理由.解：(1)把A(3,0),B(1,0),C(0,3)代入yax2bxc,得解得该抛物线的解析式为yx22x3；(2)存在以点B,C,Q,P为顶点的四边形是平行四边形.设直线BC的解析式为ykx3,把B(1,0)代入,得k30,即k3,直线BC的解析式为y3x3.设Q(x,0)

17、,P(m,m22m3).当四边形BCQP为平行四边形时,BCPQ,且BCPQ.由B(1,0),C(0,3),得点P的纵坐标为3,即m22m33,解得m1,此时P(1,3)或P(1,3)；当四边形BCPQ为平行四边形或四边形是以BC为对角线的平行四边形时,点P的纵坐标为3,即m22m33,解得m0或m2,此时P(2,3).综上所述,存在以点B,C,Q,P为顶点的四边形是平行四边形,P的坐标为(1,3)或(1,3),(2,3).二次函数与相似三角形例5(2018德州中考改编)如图,在平面直角坐标系中,直线yx1与抛物线yx2bxc交于A,B两点,其中A(m,0),B(4,n),该抛物线与y轴交于点

18、C,与x轴交于另一点D.(1)求m,n的值及该抛物线的解析式；(2)连接BD,CD,在线段CD上是否存在点Q,使得以A,D,Q为顶点的三角形与ABD相似？若存在,请求出点Q的坐标；若不存在,请说明理由.【解析】(1)把点A,B的坐标代入yx1求出m与n的值,确定点A,B的坐标,然后代入yx2bxc求出b与c的值即可；(2)由点C,D的坐标易得直线BC的解析式为yx5,再由直线AB的解析式易得ABCD,因此ADCBAD.分类讨论：当DAQABD或DQAABD时,根据对应边成比例求出DQ的长,即可求出点Q的坐标.【答案】解：(1)把点A(m,0),B(4,n)代入yx1,得m1,n3,A(1,0)

19、,B(4,3).yx2bxc经过A,B两点,解得该抛物线的解析式为yx26x5；(2)在线段CD上存在点Q,使得以A,D,Q为顶点的三角形与ABD相似.由(1)中结果可知C(0,5),D(5,0),直线CD的解析式为yx5.又直线AB的解析式为yx1,ABCD,BADADC.设Q(x,x5)(0x5).当ABDDAQ时,即,解得DQ,由两点间的距离公式,得(x5)2(x5)2,解得x或x(舍去),此时Q；当ABDDQA时,1,即DQ3,(x5)2(x5)2(3)2,解得x2或x8(舍去),此时Q(2,3).综上所述,点Q的坐标为(2,3)或.5.(2018深圳中考改编) 已知顶点为A的抛物线y

20、a2经过点B.(1)求抛物线的解析式；(2)如图,直线AB与x轴相交于点M,与y轴相交于点E,抛物线与y轴相交于点F,在直线AB上有一点P,若OPMMAF,求POE的面积.解：(1)把点B代入ya2,解得a1,抛物线的解析式为y2,即yx2x；(2)由(1)中结果得A,F.设直线AB的解析式为ykxb,由点A,B的坐标,得解得直线AB的解析式为y2x1,OE1,FE.若OPMMAF,则当OPAF时,OPEFAE,OPFA.设点P(t,2t1),则OP,即(15t2)(3t2)0,解得t1,t2.由对称性知,当t1时,也满足OPMMAF,t1,t2的值都满足条件.SPOEOE|t|,当t时,SO

21、PE1；当t时,SOPE1.综上所述,POE的面积为或.毕节中考专题过关1.(2018自贡中考改编)如图,抛物线yax2bx3过A(1,0),B(3,0)两点,直线AD交抛物线于点D,点D的横坐标为2,点P(m,n)是线段AD上的动点.(1)求直线AD及抛物线的解析式；(2)过点P的直线垂直于x轴,交抛物线于点Q,求线段PQ的长度l与m的关系式,m为何值时,PQ最长？解：(1)把(1,0),(3,0)代入yax2bx3,得解得抛物线的解析式为yx22x3.当x2时,y(2)22(2)33,即D(2,3).设直线AD的解析式为ykxb.将A(1,0),D(2,3)代入,得解得直线AD的解析式为y

22、x1；(2)由(1)可得P(m,m1),Q(m,m22m3),l(m1)(m22m3),即lm2m2(2m1),配方,得l,当m时,PQ最长.2.(2018菏泽中考改编)如图,在平面直角坐标系中,抛物线yax2bx5交y轴于点A,交x轴于点B(5,0)和点C(1,0).(1)求该抛物线的解析式；(2)若点P是直线AB下方的抛物线上一动点,当点P运动到某一位置时,ABP的面积最大,求出此时点P的坐标和ABP的最大面积.解：(1)抛物线yax2bx5交y轴于点A,交x轴于点B(5,0)和点C(1,0),解得该抛物线的解析式为yx24x5；(2)设点P的坐标为(p,p24p5),如图.由点A(0,5

23、),B(5,0)得直线AB的解析式为yx5.当xp时,yp5.OB5,SABP5.点P是直线AB下方的抛物线上一动点,5p0,当p时,S取得最大值,此时S,点P的坐标是,即当点P的坐标为时,ABP的面积最大,此时ABP的面积是.3.(2018泰安中考改编)如图,在平面直角坐标系中,二次函数yax2bxc交x轴于点A(4,0),B(2,0),交y轴于点C(0,6),在y轴上有一点E(0,2),连接AE.(1)求二次函数的表达式；(2)抛物线对称轴上是否存在点P,使AEP为等腰三角形？若存在,请求出所有P点坐标；若不存在,请说明理由.解：(1)二次函数yax2bxc经过点A(4,0),B(2,0)

24、,C(0,6),解得二次函数的表达式为yx2x6；(2)在抛物线对称轴上存在点P,使AEP为等腰三角形.抛物线yx2x6的对称轴为x1,设P(1,n).又E(0,2),A(4,0),PA,PE,AE2.当PAPE时,解得n1,此时P(1,1)；当PAAE时,2,解得n,此时P(1,)；当PEAE时,2,解得n2,此时P(1,2).综上所述,点P的坐标为(1,1),(1,)或(1,2).4.(2018上海中考)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线yx2bxc经过点A(1,0)和点B,顶点为C,点D在其对称轴上且位于点C下方,将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90,点C落在抛物线上的点P处.(

25、1)求这条抛物线的表达式；(2)求线段CD的长；(3)将抛物线平移,使其顶点C移到原点O的位置,这时点P落在点E的位置,如果点M在y轴上,且以O,D,E,M为顶点的四边形面积为8,求点M的坐标.解：(1)把A(1,0),B代入yx2bxc,得解得这条抛物线的表达式为yx22x；(2)y(x2)2,C,抛物线的对称轴为直线x2.如图,设CDt,则D.由题意,得PDC90,DPDCt,P.把P代入yx22x,可得t10(舍去),t22.线段CD的长为2；(3)由(2)易知P,D.平移后,E点坐标为(2,2).设M(0,m),则28,m,点M的坐标为或.5.(2018绵阳中考改编)如图,已知抛物线y

26、ax2bx(a0)过点A(,3)和点B(3,0).过点A作直线ACx轴,交y轴于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上取一点P,过点P作直线AC的垂线,垂足为点D.连接OA,使得以A,D,P为顶点的三角形与AOC相似,求出对应点P的坐标.解：(1)把点A(,3),B(3,0)代入yax2bx,得解得抛物线的解析式为yx2x；(2)设P点坐标为.若点P在直线AD上方,则ADx,PDx2x3.当OCAADP时,即,x或x(舍去),此时P；当OCAPDA时,即,x4或x(舍去),此时P(4,6)；若P在直线AD下方,同理可得点P的坐标为.综上所述,点P的坐标为,(4,6)或.6.如图,在C的

27、内接AOB中,ABAO4,tan AOB,抛物线yax2bx经过点A(4,0),(2,6).(1)求抛物线的函数解析式；(2)直线m与C相切于点A,交y轴于点D.动点P在线段OB上,从点O出发向点B运动；同时动点Q在线段DA上,从点D出发向点A运动；点P的速度为每秒1个单位长度,点Q的速度为每秒2个单位长度.当PQAD时,求运动时间t的值. 解：(1)抛物线yax2bx经过点A(4,0),(2,6),解得抛物线的解析式为yx22x.(2)连接AC交OB于点E,由垂径定理得ACOB.AD为C的切线,ACAD.ADOB.AOBOAD.tan AOB,tan OAD.ODOA tan OAD43.当PQAD时,OPt,DQ2t.过点O作OFAD于点F,则四边形OFQP是矩形.DFDQFQDQOP2ttt.DOFAOFOAFAOF90,DOFOAF.tan DOFtan OAD.OFDF.在RtODF中,OD3,OFDF,OD2OF2DF2,32(DF)2DF2.DF1.8.t1.8(s).专心-专注-专业