周三班_14348046_赖佳莉_数值计算实验七 .docx

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1、数值实验七 一 . 实验目的 1. 理解数值积分的意义； 2. 掌握复合梯形公式、复合抛物线公式、龙贝格公式求解定积分的方法； 3. 掌握数值微分的计算方法； 4. 将数值积分结果与精确解进行比较，分析数值积分结果 二 . 实验题目 1. 复合求积公式计算定积分 (1) ln2=-2f; 士办 (2) e1 = xexdx 用复合梯形公式、复合抛物线公式、龙贝格公式求定积分，要求绝对误差为 e= .5*1e-7,将 计算结果与精确解作比较，并对计算结果进行分析。 2. 比较一阶倒数和二阶导数的数值方法 (1) xe0,3 (2) v = e7 , XE0.5:2 要求利用等距节点的函数值，及端

2、点导数值，用不同方法求一阶和二阶导数并分析各种方 法的有效性，用现有软件显示函数并观察其特点。 3.设计一数值实验，验证题目的结论 设 /W =，為 =， =0.7 而 = .2,用数值微分出 /( 0),并把真正的误差和真正的误差界进行比较 三 .实验原理和基础理论 1.复合求积公式计算定积分 复合梯形公式 (-I)1-0 lx !x(l- )!J -1 (卜 l)2 Cf (1)M f1 lxl!x(l-l)!J f(x)dx=Tf+RTf nf = (b 1 f(b) = +/(6 + h = (b-a) 数值实验七 -赖佳莉 1 将 fl:小蒂分，有： ba 7x： = ajh (j

3、= X2.n) 对每个子区间 Xy七 c/ = u:-功 使用梯形公式有 S.=(/(x.1) + /(x. 复合抛物线公式 数值实验七 -赖佳莉 2 将积分区间 以 等分，则 ： = 在每个子区间 (y = u: j)上 : A =*(/( _2) + 4/(_1) + /(气 则 j:/(x)办 Z SJ = TZ + 4/(-l) +/( 1 3 1 =|(/ +4/! + /2 + /2+4/3 + /4 + 乂 + 从 + /5 + + 心 -2 + 4乂 1 + 心） Sn(h) = Aa)+f(b) + 22： /(； ) +Z /(,.i) 3 ； -1 1 龙贝格公式 复化

4、S/w/tt 式与复化梯形公式 有如下关系 T2n( = (Tn(h)+Hn(h) Sn(h)=1-(Tn(h) + 2Hn(h) 4T2nA-Tn(h) 4 Sn(h)= - T； -= -T2n-Tn(h) 卜 1 1 L -Tn) = Sn (7.3.5) 2n * 42 一 i (*2广 = C”（ 7.3.扮 队 -C”） =4 (7.3.9) 2.比较一阶倒数和二阶导数的数值方法 x = x0th3 xr=+i72 : x x.L =(t i)h (/E0:W) 则 Afeut 插值公式和余式具有形式： /(x) = f CfAVW1， 1 严 -0 t(t 1) (? /r+1)

5、 eXQ + nh) , Ct k 数值实验七 -赖佳莉 3 = / + A/ + AJ/ + -+r(f1)n + 1)AV 1! 21 nl RM=r(r1Un)fin+ #e(x0:+) ( + l)! 设为 =-.x. = a+ jhx- a+ th n /0) = ，。 + $ AV。 + A、 + 足 （ x) t(t-l).(t-n+1) - : - b nl fXxH iy+-+ +nno- ij r(r-l).(r-,+l)ABj u r(x) = |Av0 + A0 + n(7- =(y - y )+(f2 - 2 + )+n - -/.(3)(#) i-0 6 /， (#

6、) r = y = 0 , JC=% 2ft/(x,) = 21-0)-(-21+0)+n(0-lX -2)/.) = (-3b + 4i -y2) i? (x0) = -/ 1) Cn-2 = 16.0/15.0*Sn-l - 1.0/15.0*Sn-2; if (n 2) Rn-3 = 64.0/63_0*Cn-2 - l/63.0*Cn-3; if (fabs(expectAns - Rn-3) ) =，将 x=0 代入：得 /(0) = 1 五 .实验结果 0 复合求积公式计算定积分 (1)经计算： expectAns = 0.5*log(3.0/2.0) 在满足绝对误差小于 e二 ;

7、X10-7的情况下 : Trapezoid: 765 Parabold: 24 Romberg: 1 复合梯形公式，当 n = 765 时能满足精度 复合抛物线公式，当 2*n=24 时能满足精度 龙贝格公式， R11即 R2可满足精度 PS:题目给的 ln2 /-2 有问题吧？ (2) expectAns = exp(l)氺 exp(l) 在满足绝对误差小于 的情况下 : Trapezoid: 5281 Parabold: 42 Romberg: 0 复合梯形公式，当 n = 5281 时能满足精度 复合抛物线公式，当 2*n=42 时能满足精度 数值实验七 -赖佳莉 6 龙贝格公式， Rl

8、 即 Rl可满足精度 比较一阶倒数和二阶导数的数值方法 (1)derivative1(0,3,30) 计算的一阶导数： y =0.2497XX5+ 0.0020XX4-0.0058XJC3+ 0.0050 XX2-3.25 19XX+ 0.0002 计算的二阶导数： y= 0.9958 xx4+ 1.3534xx3-2.2625 xx2+ 1.2739xx-3.3990 (2)derivative2(0.5,2,30) 数值实验七 -赖佳莉 7 计算的一阶徽 ： y =103x(0.0638 xx5-0.4433xx4+l.2094 xo3 -1.6208x+1 0724XX-0.2842)

9、计算的二阶離 y = 103X(0.4210 XX4-2.3601X+4.8331 -42830 xx+ 1.3899) #设计一数值实验，验证题目的结论 绝对误差 6=11.106092201-11 = 0.106092201 估计误差 (/； 2 ) = ( . 1) 六 .实验结果分析 0 复合求积公式计算定积分 根据实验结果，在满足一个固定精度的情况下，龙贝格公式的迭代次数小于复合抛物线公 式，小于复合体型公式。因此，可以容易判断出龙贝格公式的精度要大于复合抛物线公 式，大于复合梯形公式。 G 比较一阶倒数和二阶导数的数值方法 有函数图形可知；数值微分的一阶导数与真实一阶导数完全吻合，二阶导数的误差较大， 因此数值微分的一阶导数精确度最好。 数值实验七 -赖佳莉 8