《旋转》全章复习与巩固知识讲解（提高）(共8页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上3.32旋转全章复习与巩固（提高）知识讲解【学习目标】1、 通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质2、通过具体实例认识中心对称，探索它的基本性质，理解对应点所连线段被对称中心平分的性质，了解平行四边形、圆是中心对称图形3、 能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，欣赏旋转在现实生活中的应用4、探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合），灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计【知识网络】【要点梳理】要点一、旋转1. 旋转的概念：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转

2、.点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角(如AO A),如果图形上的点A经过旋转变为点A，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点. 要点诠释：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.2.旋转的性质: (1)对应点到旋转中心的距离相等（OA= OA）；(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； (3)旋转前、后的图形全等(ABC).要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.3. 旋转的作图: 在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形要点诠释：作图的步骤：(1)连接图形中的每一个

3、关键点与旋转中心；(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；(4)连接所得到的各对应点.要点二、特殊的旋转中心对称1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点要点诠释：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同； （2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180能够与另一个图形重合 (全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的)

4、.2.中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心要点诠释：(1)中心对称图形指的是一个图形；（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.要点三、平移、轴对称、旋转平移、轴对称、旋转之间的对比平移轴对称旋转相同点都是全等变换（合同变换），即变换前后的图形全等不同点定义把一个图形沿某一方向移动一定距离的图形变换把一个图形沿着某一条直线折叠的图形变换把一个图形绕着某一定点转动一个角度的图形变换图形要素平移方向平移距离对称轴旋转中心、旋转方向、旋转角度性质连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等任意一对

5、对应点所连线段被对称轴垂直平分对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角对应线段平行（或共线）且相等任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分*对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角， 即：对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等【典型例题】类型一、旋转1如图1，ACB与ADE都是等腰直角三角形，ACB 和ADE都是直角，点C在AE上，如果ACB经逆时针旋转后能与ADE重合. 请指出其旋转中心与旋转角度；用图1作为基本图形，经过怎样的旋转可以得到图2？【答案与解析】旋转中心：点A； 旋转角度：45（逆时针旋转） 以点A为旋转中心，将图1顺时针（

6、或逆时针）旋转90三次得到图2.【总结升华】此类题型要把握好旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.举一反三：【变式】如图，在平面直角坐标系中，ABC和DEF为等边三角形，AB=DE，点B、C、D在x轴上，点A、E、F在y轴上，下面判断正确的是（ ）ADEF是ABC绕点O顺时针旋转90得到的.BDEF是ABC绕点O逆时针旋转90得到的.CDEF是ABC绕点O顺时针旋转60得到的.DDEF是ABC绕点O顺时针旋转120得到的.【答案】A.类型二、中心对称2. 如图，ABC中A(-2，3)，B(-3，1)，C(-1，2)将ABC向右平移4个单位长度，画出平移后的A1B1C1；画出ABC关于x

7、轴对称的A2B2C2；画出ABC关于原点O对称的A3B3C3；在A1B1C1，A2B2C2，A3B3C3中，_与_成轴对称，对称轴是_；_与_成中心对称，对称中心的坐标是_【答案与解析】 A2B2C2与A3B3C3成轴对称，对称轴是y轴 A3B3C3与A1B1C1成中心对称，对称中心的坐标是(2，0)【总结升华】注意观察中心对称和旋转对称的关系.举一反三：【变式】如图是正方形网格，请在其中选取一个白色的单位正方形并涂黑，使图中黑色部分是一个中心对称图形【答案】类型三、平移、轴对称、旋转3.如图，在四边形ABCD中，ABC=30，ADC=60，AD=DC 求证： ABCD【思路点拨】由求证可知应

8、该建立一个直角三角形，再由已知知道有30，60的角，有等线段，可以构想通过旋转构建直角三角形.【答案与解析】AD=CD，ADC=60 ABD绕点D顺时针旋转60，得到ECD， ADC=BDE=60，BADECD BD=DE， BDE为等边三角形 BE=BD 在四边形ABCD中，ABC30，ADC60， DCB+DAB=270，即DCB +DCE=270 BCE=90 在RtBCE中， 【总结升华】利用旋转构造直角三角形，再用勾股定理是解决此类问题的捷径.举一反三：【变式】如图，ABC中，BAC=90，AC=2，AB=，ACD是等边三角形（1）求ABC的度数（2）以点A为中心，把ABD顺时针旋转

9、60，画出旋转后的图形（3）求BD的长度【答案】（1）RtABC中，AC=2，AB=,BC=4，ABC=30（2）如图所示：（3）连接BE由（2）知：ACEADB，AE=AB，BAE=60，BD=EC，BE=AE=AB=，EBA=60，EBC=90，又BC=2AC=4，RtEBC中，EC=4. 如图，已知ABC中，AB=AC，BAC=90，直角EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF，分别交AB、AC于点E、F，给出以下五个结论：AE=CF；APE=CPF；EPF是等腰直角三角形；EF=AP；当EPF在ABC内绕顶点P旋转时，(点E不与A，B重合)，上述结论中始终正确的序号有_.【思路点拨】可

10、以考虑运用全等三角形的知识证明，也可以考虑运用旋转来证明.【答案与解析】方法一：这个问题的题目原型，我们在初二学习全等三角形时已经处理过P为BC中点易证于P且在AEP与CFP中，AEPCFP(ASA)方法二：现在学习了旋转后，我们可以从一个新的角度去看旧问题. 我们可以看到AEP可以看作是由CPF旋转后得到的，因而易知AE=CFAPE=CPF又EP=FP，可知EPF为等腰直角三角形而由旋转也可知S四边形AEPF=SAEP+SAFP=SCFP+SAFP=SAPC而对于来说，只有在EFBC时，是特殊情况.【总结升华】运用旋转思路解题的前提是要有公共顶点的相等的线段.5.已知：点P是正方形ABCD内

11、的一点，连结PA、PB、PC，（1）若PA=2，PB=4，APB=135，求PC的长.(2)若，请说明点P必在对角线AC上.【思路点拨】通过旋转，把PA、PB、PC或关联的线段集中到同一个三角形，再根据两边的平方和等于第三边求证直角三角形，可以求解APD【答案与解析】(1)AB=BC,ABC=90，CBP绕点B逆时针旋转90，得到ABE,BC=BA,BP=BE,CBP=ABECBPABEAE=PCBE=BP,PBE=90，PB=4BPE=45，PE=又APB=135APE=90即AE=6,所以PC=6.(2)由（1）证得：PE=BP,PC=AEPAE=90即PAB+BAE=90又由（1）证得B

12、AE=BCPPAB+BCP=90又ABC=90点A,P,C三点共线，即P必在对角线AC上.【总结升华】注意勾股定理及逆定理的灵活运用.举一反三：【变式】如图，在四边形ABCD中，AB=BC，K为AB上一点，N为BC上一点.若的周长等于AB的2倍，求的度数.【答案】显然，绕点D顺时针方向旋转至 6如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），量得它们的斜边长为10cm，较小锐角为30，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，使点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合（在图3图6中统一用F表示）小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决.将图3中

13、的ABF沿BD向右平移到图4的位置，使点B与点F 重合，请你求出平移的距离；将图3中的ABF绕点F顺时针方向旋转30到图5的位置，A1F交DE于点G，请你求出线段FG的长度；将图3中的ABF沿直线AF翻折到图6的位置，AB1交DE于点H，请证明：AH=DH.【答案与解析】平移的距离为5cm（即） 证明： 在AHE与DHB1中 AHEDHB1（AAS） AH=DH.【总结升华】注意平移和旋转综合运用时找出不变量是解题的关键.【巩固练习】一、选择题 1在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( ).2. 时钟钟面上的分针从12时开始绕中心旋转120，则下列说法正确的是(). A.此时

14、分针指向的数字为3B.此时分针指向的数字为6 C.此时分针指向的数字为4D.分针转动3，但时针却未改变3如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是（）.AM或O或N BE或O或C CE或O或N DM或O或C4如图，菱形OABC的一边OA在x轴上，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75至OABC的位置，若OB=，C=120，则点B的坐标为（）. A（3，） B（3，） C（，） D（，） 第3题 第4题 第5题5如图，在RtABC 中，ACB=90，A=30，BC=2将ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后得到EDC，此时点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则n的

15、大小和图中阴影部分的面积分别为（）.A30，2 B60，2 C60， D60， 6.如图所示，在图甲中，RtOAB绕其直角顶点O每次旋转90转三次得到右边的图形在图乙中，四边形OABC绕O点每次旋转120旋转二次得到右边的图形 下列图形中，不能通过上述方式得到的是 ().7 下列图案都是在一个图案的基础上，在“几何画板”软件中拖动一点后形成的，它们的共性是都可以由一个“基本图案”通过连续旋转得来，旋转的角度是（）. A30 B45 C60 D908在平面直角坐标系中，将点A1(6，1)向左平移4个单位到达点A2的位置，再向上平移3个单位到达点A3的位置，A1A2A3绕点A2逆时针方向旋转900

16、，则旋转后A3的坐标为( ).A.(-2，1) B.(1，1) C.(-1，1) D.(5，1)二. 填空题9. 如图所示，过正方形的中心C和边上一点A随意连一条曲线，将所画的曲线绕C点，按同一方向连续旋转三次，每次的旋转角度都是90，这样就将四边形分成四部分，这四部分之间的关系是_ 10.如图，直线与双曲线交于A、C两点，将直线绕点O顺时针旋转度角(045)，与双曲线交于B、D两点，则四边形ABCD的形状一定是_.11绕一定点旋转180后与原来图形重合的图形是中心对称图形，正六边形就是这样的图形小明发现将正六边形绕着它的中心旋转一个小于180的角，也可以使它与原来的正六边形重合，请你写出小明

17、发现的一个旋转角的度数：_.12.如图所示，在RtABC中，A90，ABAC4cm，以斜边BC上距离B点cm的H为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90至DEF，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积是cm213如图，直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，AD=2，将腰CD以D为中心逆时针旋转90至ED，连接AE、DE，ADE的面积为3，则BC的长为_14. 如图，ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，P为ABC内一点，将ABP绕点A逆时针旋转后与ACP重合，如果AP=3，那么线段PP的长等于_15如图，在直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），进行如下操作：将线段OP0按逆时针方向旋转4

18、5，再将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；又将线段OP1按逆时针方向旋转45，长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2，如此重复操作下去，得到线段OP3，OP4，则： （1）点P5的坐标为_；（2）落在x轴正半轴上的点Pn坐标是_，其中n满足的条件是_16在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为(1，0)，将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60得点P1，延长OP1到点P2，使OP2=2OP1，再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60得点P3，则点P3的坐标是_.三 综合题 17. 如图，已知，点P是正方ABCD内一点，且APBPCP=123求证：APB135 18.如图，已知点D是ABC的

19、BC边的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且DEDF求证： BE + CFEF19.如图，ABC是等腰直角三角形，其中CA=CB，四边形CDEF是正方形，连接AF、BD.(1)观察图形，猜想AF与BD之间有怎样的关系，并证明你的猜想；(2)若将正方形CDEF绕点C按顺时针方向旋转，使正方形CDEF的一边落在ABC的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题(1)中猜想的结论是否仍然成立？若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由. 20.如图141，142，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点.直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E

20、不与点A，B重合），另一条直角边与CBM的平分线BF相交于点F.如图141，当点E在AB边的中点位置时：通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是 ； 连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是 ；请证明你的上述两猜想.如图142，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N，使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系.【答案与解析】一、选择题1【答案】C.2【答案】C.【解析】分针每5分钟转动30.3【答案】A.【解析】 因为以M或O或N为旋转中心两个图形能够完全重合.4【答案】D. 【解析】因为是菱形，所以可得为等腰直角三角形.5【答案】C

21、.【解析】BDC为正三角形，所以FDC为直角三角形，DCF=30，DF=1，FC=,即求得.6【答案】D.【解析】图形应该首先是旋转图形，选项D不是旋转图形.7【答案】D.8.【答案】C.【解析】即旋转90后坐标为（-1,1）.二、填空题9.【答案】全等形.10.【答案】平行四边形. 【解析】对角线互相平分.11【答案】60或120.【解析】正六边形的中心角是60.12【答案】1. 【解析】证明FHC和FHG是等腰直角三角形，且腰长为，即得.13【答案】5.【解析】做DFBC,EGAD,交AD的延长线于点G ,则AD=BF,可证得DEGDCF,即EG=FC,又因为，所以EG=3， 即BC=BF

22、+FC=AD+EG=5.14【答案】.【解析】由旋转可知APP是等腰直角三角形，所以PP=.15【答案】(1) ,（2）落在x轴正半轴上的点Pn坐标是，其中n满足的条件是n=8k（k=0，1，2，）16【答案】(-1，).【解析】首先求得的坐标，即可求得坐标.三.解答题17.【解析】证明：将APB绕点B沿顺时针方向旋转90至CPB 位置(如图)，则有APBCPBBP= BP，CPAP， PBP 90，APB=CPB 设CP= AP= k，则BP= BP=2k，CP= 3k，在RtBPP中，BP= BP= 2k，BPP=45 =(3k)2= CP2，CPP=90，CPB=CPP+BPP=90+4

23、5=135，即APB=135.18.【解析】证明：将BDE绕点D沿顺时针方向旋转180至CDG位置，则有BDECDGBE=CG，ED=DGDEDF，即 DFEGEF=FG，在FCG中CG+CFFG， 即BE+CFEF19.【解析】(1)猜想：AF=BD且AFBD. 证明：设AF与DC交点为G. FC=DC，AC=BC，BCD=BCA+ACD， ACF=DCF+ACD，BCA=DCF=90， BCD=ACF. ACFBCD. AF=BD. AFC=BDC. AFC+FGC=90， FGC=DGA， BDC+DGA=90. AFBD. AF=BD且AFBD.(2)结论：AF=BD且AFBD. 图形不唯一，只要符合要求即可.如： CD边在ABC的内部时；CF边在ABC的内部时. 20.【解析】DE=EF； NE=BF. 证明：四边形ABCD是正方形，N，E分别为AD，AB的中点，DN=EBBF平分CBM，AN=AE，DNE=EBF=90+45=135NDE+DEA=90，BEF+DEA=90，NDE=BEFDNEEBF DE=EF，NE=BF 在DA边上截取DN=EB（或截取AN=AE），连结NE，点N就使得NE=BF成立（图略）此时， DE=EF.专心-专注-专业