立体几何(几何法)—二面角(模型二)(共4页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上立体几何（几何法）二面角（模型二）例1（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版）如图,AB是圆的直径,PA垂直圆所在的平面,C是圆上的点.(I)求证:(II)【答案】解： (1)证明：由AB是圆的直径，得ACBC.由PA平面ABC，BC平面ABC，得PABC.又PAACA，PA平面PAC，AC平面PAC，所以BC平面PAC.因为BC平面PBC，所以平面PBC平面PAC.(2)方法一：过C作CMAP，则CM平面ABC.如图，以点C为坐标原点，分别以直线CB，CA，CM为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系15因为AB2，AC1，所以BC.因为PA

2、1，所以A(0，1，0)，B(，0，0)，P(0，1，1)故(，0，0)，(0，1，1)设平面BCP的法向量为(x，y，z)则所以不妨令y1，则1(0，1，1)因为(0，0，1)，(，1，0)，设平面ABP的法向量为2(x，y，z)，则所以不妨令x1，2(1，0)于是cos1，2，所以由题意可知二面角CPBA的余弦值为.解法二：过C作CMAB于M.图16因为PA平面ABC，CM平面ABC，所以PACM，故CM平面PAB.过M作MNPB于N，联结NC.由三垂线定理得CNPB.所以CNM为二面角CPBA的平面角在RtABC中，由AB2，AC1，得BC，CM，BM.在RtPAB中，由AB2，PA1，

3、得PB.因为RtBNMRtBAP，所以，故MN.又在RtCNM中，CN，故cosCNM.所以二面角CPBA的余弦值为.例2（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版）如图,在四面体中,平面,.是的中点, 是的中点,点在线段上,且.(1)证明:平面;(2)若二面角的大小为,求的大小.ABCDPQM（第20题图）【答案】解:证明()方法一:如图6,取的中点,且是中点,所以.因为是中点,所以;又因为()且,所以,所以面面,且面,所以面; 方法二:如图7所示,取中点,且是中点,所以;取的三等分点,使,且,所以,所以,且,所以面; ()如图8所示,由已知得到面面,过作于,所以,过作于,连接,所以就是的二面角;由已知得到,设,所以 , 在中,所以在中, ,所以在中 ; 专心-专注-专业