(完整版)导数大题精析1——放缩思想在高考函数中的应用.pdf

放缩思想在高考数学中的应用高中阶段， 在数列那一章节的学习中，我们曾接触过放缩思想。其实在高考函数中，尤其是导数大题中，放缩思想起着举足轻重的作用。例如，让我们证明x2-2x+1 0，这个题目对大家来说根本算不上问题。但是如果让我们证明 x2-3x+ex0。这个式子我们看起来非常陌生，我们对ex 并不熟悉，我们不喜欢ex 或者 lnx,因此，我们可以把他们转化为x 的形式。这道题目，我们可以先证明exx+1，这里构造辅助函数f(x)=ex-x-1 即可证明，证明后，我们可以得到x2-3x+exx2-2x+10 当 x=1 时两等号成立。在此，我给出以下4 个常考的辅助函数供大家参考。exx+1 当 x=0 时等号成立lnxx-1 当 x=1 时等号成立sinxx 当 x=0 时等号成立cosxx+1 当 x=0 时等号成立接下来我们不妨来试一道高考题，2012 年山东高考压轴题。22(本小题满分13 分) 已知函数 f(x) = xekxln（k 为常数，e=2.71828是自然对数的底数）， 曲线 y= f(x)在点 （1，f(1)）处的切线与x 轴平行。（）求 k 的值；（）求 f(x)的单调区间；（）设 g(x)=(x2+x) ( )fx,其中( )fx为 f(x)的导函数， 证明：对任意 x0，21)(exg。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 上面本题的标准答案，前两问在此不做解释。在第三问中，我们可以看出关键步骤就是把g(x)分成1+x/ex 和1-x-xlnx 两部分，但是我们如何想到这一步呢？为什么他要把函数分成这两部分呢？看完上面的文章， 我想各位读者已经有了初步的思考，下面，让我们再重新看一遍第三问。g(x)= (1-x-xlnx)(x+1)/ex 看到这个函数， 我们的第一反应应该是： 这个函数不好做， ex 和 lnx太烦了，我们把它放缩一下。把lnx 换成 x-1,把 ex 换成 x+1。原式 g(x)1-x-xlnx 式1-x2 看到式，很多人就会认为，呀！这么简单就做出来了？细心的朋友可能会发现，其实式的推导存在着一定的问题。已知 lnxx-1 那么-lnx 应当 1-x所以式 1-x2 如果我把 x 放缩成 lnx-1 行不行？利用 -(x)-(lnx+1) 把式化为 1-x(lnx+1)1-（lnx+1）2 但我们来仔细推敲一下，我们已知的是-x-(lnx+1)那么我们能不能通过式得到-x(lnx+1)-(lnx+1)(lnx+1) 呢？显然这是不行的，因为lnx+1 的符号未知。当 lnx+10 时是成立的而当 lnx+10 时-x(lnx+1)-(lnx+1)(lnx+1) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 接下来我们回归这道题目。第一步把 ex 放缩为 x+1 之后g(x)1-x-xlnx 构造辅助函数h(x)=1-x-lnx 即可，并不需要上述那些复杂的讨论，那些讨论，是为了方便大家了解在放缩应用的过程中容易出现的问题。其实，我所列出的辅助函数， 只不过是高考中最常见的4 种函数的放缩方式，能解决大部分的问题，例如2014 年新课标 1 卷，最后一问让我们证明 f(x)=exlnx+2ex-1/x1 标准答案所给的思路是将式移项，得到xlnxxe-x-2/e 证明式左端函数最小值右端函数最大值。这显然不是我们正常的思路，按照我们先前的思路，把ex 换成 x+1 可以得到f(x)=2/e+xlnx+lnx+2/ex 把函数分成三个部分， 2/e,xlnx,lnx+2/ex 分别求导，可以轻松得到f(x)1/e+ln2 我们知道 2.7e2.8 所以 1/e1/3 接下来我们只需要证明ln22/3，即 23=8e2 又因为 e22.82=7.768 所以原式得证。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 此外，除了上述 4 种函数，还有很多其他类型的辅助函数等着大家去发现，在这里我只举一个简单的例子exx2+1是成立的但 exxn+1 呢请大家自行思索。解决这类 f(x)某定值 a 的问题的关键就是构造合适的辅助函数进行放缩，我们平常做的那些参考资料所给出的答案，往往只是一种过度格式化的答案，答案给出的解题过程并非我们思考的正常顺序。例如，我们看到它构造一个辅助函数exx+1， 但他为什么要构造这个函数呢？构造其他的辅助函数可以吗？这是我们应当思考的问题，这也是高中数学乃至高中教学过程中应当注意的问题。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - - -