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1、精选优质文档-倾情为你奉上1. 已知椭圆C中心在原点,焦点在轴上,焦距为,短轴长为 ()求椭圆C的标准方程;()若直线:与椭圆交于不同的两点(不是椭圆的左、右顶点),且以为直径的圆经过椭圆的右顶点求证:直线过定点,并求出定点的坐标 解: ()设椭圆的长半轴为,短半轴长为,半焦距为,则 解得 椭圆C的标准方程为 4分()由方程组 消去,得 6分由题意, 整理得: 7分设,则, 8分由已知, 且椭圆的右顶点为, 10分即 ,也即 ,整理得解得 或 ,均满足 11分当时,直线的方程为 ,过定点,不符合题意舍去;当时,直线的方程为 ,过定点, 故直线过定点,且定点的坐标为 13分2. 在直角坐标系中,
2、点到F1、F2的距离之和是4,点的轨迹与轴的负半轴交于点,不过点的直线:与轨迹交于不同的两点和(1)求轨迹的方程;(2)当时,求与的关系,并证明直线过定点解:(1)点到,的距离之和是4,M的轨迹是长轴长为4,焦点在x轴上焦距为的椭圆,其方程为 3分(2)将,代入曲线的方程,整理得,5分因为直线与曲线交于不同的两点和, 所以 设,则, 7分且 显然,曲线与轴的负半轴交于点,所以,由,得将、代入上式,整理得,10分所以,即或经检验,都符合条件当时,直线的方程为显然,此时直线经过定点点即直线经过点,与题意不符当时,直线的方程为显然,此时直线经过定点点,且不过点综上,与的关系是:,且直线经过定点点13
3、分3. 已知椭圆的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切()求椭圆的方程;()设,是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点,连结交椭圆于另一点,证明直线与轴相交于定点;()在()的条件下,过点的直线与椭圆交于,两点,求的取值范围解:()由题意知, 所以即又因为,所以,故椭圆的方程为4分()由题意知直线的斜率存在,设直线的方程为由 得 6分设点,则直线的方程为令,得将,代入,整理,得 由得 ,代入整理,得所以直线与轴相交于定点9分()当过点直线的斜率存在时,设直线的方程为,且,在椭圆上由 得 易知所以, 则因为,所以所以当过点直线的斜率不存在时,其方程为解得,此时所以的取值范围是1
4、3分4. 已知是椭圆C的两个焦点,、为过的直线与椭圆的交点,且的周长为()求椭圆C的方程;()判断是否为定值,若是求出这个值,若不是说明理由.解:()由椭圆定义可知, 2分所以所以椭圆方程为 5分()设(1) 当直线斜率不存在时,有, 6分(2) 当直线斜率存在时,设直线方程为代入椭圆方程,并整理得: 7分所以(或求出的值)所以 12分所以 13分5.已知椭圆,的两焦点分别为、,离心率.过直线:上任意一点,引椭圆的两条切线,切点为 、.(1)在圆中有如下结论:“过圆上一点处的切线方程为:”. 由上述结论类比得到:“过椭圆 ,上一点处的切线方程”(只写类比结论,不必证明).(2) 利用(1)中的
5、结论证明直线恒过定点();(3)当点的纵坐标为时,求的面积.6. 在平面直角坐标系中,如图,已知椭圆的左、右顶点为A、B,右焦点为F。设过点T()的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、,其中m0,。(1)设动点P满足,求点P的轨迹;(2)设,求点T的坐标;(3)设,求证:直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)。【解析】 本小题主要考查求简单曲线的方程,考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。解:(1)设点P(x,y),则:F(2,0)、B(3,0)、A(-3,0)。由,得 化简得。故所求点P的轨迹为直线。(2)将分别代入椭圆方程,以及得:M(2,)、N(,)直线MTA方程为:,即,直线NTB 方程为:,即。联立方程组,解得:,所以点T的坐标为。(3)点T的坐标为直线MTA方程为:,即,直线NTB 方程为:,即。分别与椭圆联立方程组,同时考虑到,解得:、。(方法一)当时,直线MN方程为:令,解得:。此时必过点D(1,0);当时,直线MN方程为:,与x轴交点为D(1,0)。所以直线MN必过x轴上的一定点D(1,0)。(方法二)若,则由及,得,此时直线MN的方程为,过点D(1,0)。若,则,直线MD的斜率,直线ND的斜率,得,所以直线MN过D点。因此,直线MN必过轴上的点(1,0)。专心-专注-专业