8833刘燕云 .docx

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1、精品名师归纳总结盐城师范学院毕业论文2021 2021 学年度班级 083）学号 08211303课题名称函 数 的 极 值数学科学 学院数学与应用数学 师范类） 专业同学姓名刘燕云指导老师刘红艳2021 年 05 月 16 日可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结摘要在工农业生产、经济治理和经济核算中，常常要解决在肯定条件下怎么使“投入最小”、“产出最多”、“效益最高”等问题在生活中也常常会遇到求利润最大化、用料最省、效率最高等问题因此解决这些问题具有现实意 义这些经济和生活问题通常都可以转化为数学中的函数问题来探讨，进而转化为求函数中最大 小）值的问题而极值的概念来自数学中的最大

2、小）问题故函数极值问题的探讨也具有了其重要意义求最值的思想敏捷，方法多样，使同学不易把握，针对此问题，本文举例谈谈几种求法关 键词极值 稳固点驻点 hessian矩阵AbstractIn the period of industrial and agricultural production, management of the economy and the economic accounting, we usually have to solve these problems such as how to make the minimum investment, produce more

3、and get the highest efficiency under some given situations. There always be the same situations in our lives. And so as to achieve the goal of having the maximumprofit, costing the minimummaterial and making the maximum efficiency, its realistic to solve these problems. Both these problems , not onl

4、y in economy, but also in our lives, can be transformed into function and discussed in Math, then it will be transformed into maximum value and minimum value. The concept of extreme value comes from the maximum and the minimum. Therefore, the study of the extreme value has come into big significance

5、.There are flexible ideas and many methods in solving extreme values, however, its not easy for the students to grasp it. In order to solve this problem, there are several kinds of methods in this paper.Keywordsextreme values stable point stationary hessian matrix2 / 17可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结目录1 利用

6、导数求极值11.1利用一阶导数求函数的极值11.2利用二阶导数求函数的极值21.3利用二阶偏导数之间的关系符号判定极值的类型31.4元函数的极值问题42 求解有条件极值的常用方法62.1代入法化为无条件极值问题62.2 拉格朗日乘数法求解82.3运用梯度法求条件极值82.4利用二次方程判别式的符号求某些条件极值 102.5利用标准量代换法求函数极值 113总结124 参考文献133 / 17可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数的极值刘燕云1 利用导数求极值极值一般分为无条件极值和有条件极值两类无条件极值问题即是函数中自变量只受定义域约束的极值问题：有条件极值问题即是函数中自变量

7、除受定义域约束外，仍受其他条件限制的极值问题利用一阶导数，依据函数极值的第一充分条件列表求函数的极值点1定理 1 1 1 极值的第一充分条件）设在点连续，在某邻域内可导1） 如当时， 当时， 就在点取得微小值2） 如当时， 当时， 就在点取得极大值运用该定理求函数极值的一般步骤是：1）确定函数定义域并找出所给函数的驻点和导数不存在的点。2）考察上述点两侧导数的符号，确定极值点。3）求出极值点处的函数值，得到极值例1求的 极 值 点 与 极 值 解在上连续，且当时有，易见，为的稳固点，为的不行导点争论这两点是否是极值点，列表如下：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结不存在递增递减递增

8、由上表可见：点的微小值点，微小值为的极大值点，极大值。为1）如时，就在取得极大值。2）如时，就在取得微小值1 2 利用二阶导数，依据函数极值的其次充分条件列表求函数的极值点定理 1 2 1极值的其次充分条件）设在的某邻域内一阶可导，在处二阶可导，且，1运用该定理求函数极值点的一般步骤是：a）确定函数定义域，并找出所给函数的全部驻点。b）考察函数的二阶导数在驻点处的符号，确定极值点从而求得极值例2求的极值点与极值解当时令，求得稳固点又因，依定理 12 1，为的微小值点，微小值由上述定理 111 和定理 1 2 1 可知，极值的这两个充分条件在处理极值问题时各有独到之处，定理 1 1 1 充分利用

9、了函数单调性的特点，从函数图形来争论函数的极值，简洁被读者接受，但是求解过程过于繁琐。定理1 2 1 充分运用二阶导数，运算起来比定理 111 简捷，简洁运算，很多时候，我可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结们挑选用定理 121 来求解函数的极值点，但定理1 2 1 读者不简洁懂得和记忆因此在将这两个充分条件教授给同学时，要留意将这两个定理本身的内容解释清楚 同时，大家可以看到，从理论上讲，假如函数“光滑”，那么它的极值点可以依据定理 111 和定理 12 1 确定，于是求的极值问题就转化为求该函数一阶导数的零点问题明显，这种方法只能处理完全 “光滑”的函数1.3 3 利用二阶偏导

10、数之间的关系符号判定极值的类型定 理 1 3 1二元函 数极值充分 条件） 设二元 函数在 点的某邻域内具有二阶连续偏导数，且是的稳固点就当是正定矩阵时，在取得极大值，当是不定矩阵时，2在不取极值依据正半定或负半定对称阵所属主子行列式的符号规定，上述定理又写成如下比较有用的形式：令，就在处是否取得极值的条件如下：1）当，时，函数在点处取得极大值。2）当，时，函数在点处取得微小值。3）当时，函数在点处没有极值。4）当时，函数在点处可能有极值，也可能没有极值极值的求法：第一步解方程组，求得一切有序数解，即可得一切驻点其次步对于每一个驻点，求出二阶偏导数的值和 第三步定出的符号，按定理 131 的结

11、论判定是否是极值、是极大值仍是微小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注对于二元函数，在定义域内求极值这是一个比较适用且常2 / 17可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结用的方法，但是这种方法对三元函数及更多元的函数并不适用。时可能有极值，也可能没有极值，仍需另作争论。假如函数在个别点处的偏导数不存在，这些点当然不是驻点，但也可能是极值点，争论函数的极值问题时这些点也应考虑进去例 3 求函数的极值解 1）第一求二元函数的偏导数，2）然后解方程组，得到驻点和3）列表进行判定：驻点的符号设函数在点 处存在一阶偏导数，且为该函数的极值点，就定理 1 4 2 极值的充分条件

12、设函数在点的某个邻域内具有一阶、二阶连续偏导数，且，就1 当为正定矩阵时，为的微小值。 2 当为负定矩阵时，为的极大值。 3 当为不定矩阵时，不是的极值注利用二次型的正定性来判定多元函数的极值虽然是一个很好的方法，但也有肯定的局限性，由于充分条件对正定和负定的要求是很严格的，如条件可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结不满意，那结论就不肯定成立例 4 求三元函数的极值解先求驻点，由， 得所以驻点为由于，所以，是正定的，所以在点取得微小值2 求解有条件极值的常用方法2 代入法化为无条件极值问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结从一道错误的例题谈条件极值的代入法3可编辑资料

13、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 5 某公司的两个工厂生产同样的产品，但所需成本不同，第一个工厂生产 单位产品和其次个工厂生产单位产品时的总成本是，如公司的生产任务是个单位产品，问如何安排任务才能使总成本最小.解 依据题意，是求函数在条件下的极值作帮助函数，令，解得，所以依据题意知，当第一个工厂生产个单位产品、其次个工厂生产个单位产品时总成本最小”上述解法，粗看起来好象没有什么毛病，但却是经不起推敲的简洁的验可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证可知，本例求出的总成本为，但却不是最小，譬如， 就 比 求 得 的 “ 最 小 值 ” 小 了 事 实 上 ， 点不是最小值点究其

14、缘由，主要是解题方法挑选不当造成的我们知道，求解自变量不超过三个的条件极值问题，既可以用拉格朗日乘数法，也可以用代入法用拉格朗日乘数法虽然很便利，但极值点的判定却比较麻烦对这个问题，几乎全部的教材都没有作出正面的回答，只指出了用这种方法求出的极值点是“可能的”极值点，“至于如何确定所求得的点是否为极值点，在实际问题中往往可依据问题本身的性质来判定”然而很多实际问题中，依据问题本身的性质却无法确定到底是极大仍是微小在这种情形下，采纳代入法就可以有效的解决极值点的判定问题本例中，由于总成本到底是最小仍是最大并不好判定，因而采纳代入法求解就可以防止产生上述的错误如令并代入目标函数中，可得总成本，于是

15、问题转化为求函数，在区间上的最小值由，可得惟一驻点 明显是极大值点 ，运算该驻点及两端点处的函数值，有，比较即知是所求之最小值点，此时即把个单位产品的生产任务都安排给第一个工厂生产时总成本最小注在争论二元函数在约束条件的极值问题时，假如由能解 或 就把求二元函数的条件极值转化为求一元函数的极值了使用代入法时，削减了变量，给判别极值带来了便利，但有时在约束条件中不易将 或 解出，使用这种方法就困难了3我们知道在求解约束条件比较简洁的条件极值问题时，既可以用拉格朗日乘数法，也可用代入法，但在用代入法求解时，假如不留意代入的条件，就可能导致不完整甚至错误的解答 例如 求在 条件下的极值用代入法求解时

16、，假如将 代入式，就得，通过求解方程组可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结得，但将代入时， 无解因而在条件下好像无极值但假如用拉格朗日乘数法，就可得到二个可能的极值点，分别为与，且通过几何意义 是求原点到柱面的最短距离 ，不 难 得 出与都 是 极 小 值 点 ， 极 小 值 都 是 原 因 是 求在条件下的极值时，的取值范畴是，而将代入，求的极值时，的取值范畴是2 2 利用拉格朗日乘数法求解“乘数法”所得到的点只是可能的极值点，到底是否是极值点以及其类型要依据拉格朗日函数的二阶微分的符号来判定例 6 求函数在条件下的极值分析通过求简洁函数的极值点从而达到求复杂函数极值点的方法，是

17、在实际解题中常常使用的解 先求，令，得驻点，又由，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结，故 为 即 的极大值点，此时234 运用梯度法求条件极值将梯度法用于求条件极值的问题方程组的解，就是所求极值问题的可能极值点例7试求 个正数，其和为定值的条件下，什么时候乘积最大，并证明：证 此题的实质是求在条件下的最大值问题依据本文定理，列出以下方程组，求解可能的极值点，进一步求解得，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结简洁得到值点所以，依据题意，就是唯独的极大值点，也是最大可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结，即，这一方法当然适合于二元函数和三元函数的条件极值问题例如

18、求在条件下的极值，只要列出方程组，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结再求出相应的，就其中是可能的极值点例 8 从斜边之长为 的一切直角三角形中，求最大周长的直角三角形 解 设两条直角边为此题的实质是求在条件下的极值问题依据本文定理，列出方程组:，进一步求解得简洁解出，所以，依据题意是唯独的极大值点，因而也是最大值点当两条直角边都为时，直角三角形的周长最大可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 4 利用二次方程判别式的符号求某些条件极值6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 9 如，试求的极值 解由于，代入得，即1这个关于 的二次方程要有实数解，必需 :，

19、即解关于的二次不等式，得，明显，求函数的极值，相当于求，2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结或，3的极值由2 得4这个关于 的二次方程要有实数解，必需，即，解此关于的二次不等式，得 所以把代入 4 得，再把，代入 1 ，得，最终把，代入，得所以，当，时，函数达到极大值3同理可得，当7，时，函数达到微小值 -3 也可以从 3 作类似争论得出 的极大值 3 和微小值 -3 2利用标准量代换法求函数极值求某些有多个变量的条件极值时，我们可以选取某个与这些变量有关的量作为标准量，称其余各量为比较量，然后将比较量用标准量与另外选取的帮助量表示出来，这样就将其变为争论标准量与帮助量间的关系了

20、假如给定条件是几个变量之和的形式，一般设这几个量的算术平均数为标准量例 10 设，求的最小值解取为 标 准 量 ， 令， 就为任意实数 ，从而有 等号当且仅当即时成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的最小值为所以3 总结函数的极值是高等数学中的一个重要组成部分，对于解决实际生活中的最优化问题非常有用，本文涉及了求一元函数、二元函数和多元函数无条件极 值，并介绍了用拉格朗日乘数法、梯度法、标准量代换法解决有条件极值，对于初学函数极值问题有指导作用，同时也为解决实际问题供应参考可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结参考文献1 高尚华函数的极值与最大小）值 J ，数学分析， 20013）： 1372 高尚华泰勒公式与极值问题J ，数学分析， 2001:22 4 肖翔，许伯生，运用梯度法求条件极值J ，上海工程技术高校训练争论，20061 ： 35-37 5 莫国良，关于用代入法求条件极值的一点注记J ，高等数学争论，20043:42-496 王延源， 条件极值的六种初等解法J ， 临沂师专学报， 199912:21-247 李瑛华， 标准量代换法求函数极值，实战实例可编辑资料 - - - 欢迎下载