高等数学(专科)复习题及答案.doc

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1、. -中南大学现代远程教育课程考试专科复习题及参考答案?高等数学?专科一、填空题1函数的定义域是.解. 。2假设函数，那么解. 3答案：1正确解法：4.，那么_,_。由所给极限存在知, , 得, 又由, 知5.，那么_,_。, 即, 6函数的连续点是。解：由是分段函数，是的分段点，考虑函数在处的连续性。因为 所以函数在处是连续的，又在和都是连续的，故函数的连续点是。7. 设, 那么8，那么。答案：或9函数的定义域为。解：函数z的定义域为满足以下不等式的点集。的定义域为：且10,那么. 解令，那么，11设,那么。12设那么。解13.解：由导数与积分互为逆运算得，.14.设是连续函数，且，那么.解

2、：两边对求导得，令，得，所以.15假设，那么。答案：16设函数f(x,y)连续，且满足，其中那么f(x,y)=_.解 记，那么，两端在D上积分有：，其中由对称性，即 ，所以，17求曲线所围成图形的面积为，a0解：18.；解：令，那么原幂级数成为不缺项的幂级数，记其各项系数为，因为，那么，故.当时，幂级数成为数项级数，此级数发散，故原幂级数的收敛区间为.19的满足初始条件的特解为.20微分方程的通解为.21微分方程的通解为.22.设n阶方阵A满足|A|=3，那么=|=.答案：23.是关于x的一次多项式，那么该多项式的一次项系数是. 答案： 2;24. f(x)=是次多项式，其一次项的系数是。解：

3、由对角线法那么知，f(x)为二次多项式，一次项系数为4。25. A、B、C代表三事件，事件“A、B、C至少有二个发生可表示为AB+BC+AC.26. 事件A、B相互独立，且知那么.解：A、B相互独立， P(AB)=P(A)P(B)P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=0.2+0.50.1=0.627. A，B二个事件互不相容，那么.解：A、B互不相容，那么P(AB)=0，P(AB)=P(A)P(AB)=0.828. 对同一目标进展三次独立地射击，第一、二、三次射击的命中率分别为0.4,0.5,0.7,那么在三次射击中恰有一次击中目标的概率为.解：设A、B、C分别表示事件“第一、二、三次射击

4、时击中目标，那么三次射击中恰有一次击中目标可表示为，即有P() =P(A)=0.3629.事件 A、B的概率分别为PA0.7,PB0.6,且PAB0.4，那么P；P；解： P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=0.9P(AB)=P(A)P(AB)=0.70.4=0.330.假设随机事件A和B都不发生的概率为p，那么A和B至少有一个发生的概率为.解：P(A+B)=1P二、单项选择题1函数 A.是奇函数； B. 是偶函数；C.既奇函数又是偶函数； D.是非奇非偶函数。解：利用奇偶函数的定义进展验证。所以B正确。2假设函数，那么 A.；B. ；C.；D. 。解：因为，所以那么，应选项B正确。3设

5、 ，那么= AxBx + 1Cx + 2Dx + 3解 由于，得 将代入，得=正确答案：D4，其中,是常数，那么(A) , (B) (C) (D) 解. , 答案：C5以下函数在指定的变化过程中，是无穷小量。A.；B.；C. ；D.解：无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量，所以而A, C, D三个选项中的极限都不为0，应选项B正确。6以下函数中，在给定趋势下是无界变量且为无穷大的函数是(A); (B);(C)； (D)解. , 故不选(A). 取, 那么, 故不选(B). 取, 那么, 故不选(D).答案：C 7设，那么在处A连续且可导B连续但不可导C不连续但可导D既不连续又不可导解：B，因此在处

6、连续，此极限不存在从而不存在，故不存在8曲线在点1，0处的切线是A B C D 解 由导数的定义和它的几何意义可知，是曲线在点1，0处的切线斜率，故切线方程是，即正确答案：A9，那么= A. B. C. D. 6解 直接利用导数的公式计算：,正确答案：B10假设，那么 。A B C D答案：D 先求出，再求其导数。11的定义域为ABC D解 z的定义域为个，选D。12.以下极限存在的是 A B C D解A. 当P沿时，当P沿直线时，故不存在； B.，不存在； C. 如判断题中1 题可知不存在； D. 因为，所以，选D13.假设，在 .A BC D解：14设为奇函数，且时，那么在上的最大值为 A

7、B C D解：B因为是奇函数，故，两边求导，从而，设，那么，从而，所以在-10，-1上单调增加，故最大值为15函数( )(A)、有极大值8 B、有极小值8 C无极值 D有无极值不确定 解，为极大值 A15.设 .A依赖于 B依赖于C依赖于，不依赖于 D依赖于，不依赖于解：根据周期函数定积分的性质有,17.曲线与轴围成的图形绕轴旋转所成的旋转体的体积为 .A B C D解：所求旋转体的体积为故应选(B).18.设，那么有 .ABCD解：利用定积分的奇偶性质知，所以，应选D.19以下不定积分中，常用分部积分法的是 。A BC D答案：B。20设，那么必有 AI0 (B)I0 (C)I=0 DI0的

8、符号位不能确定解：D：21设f(t)是可微函数，且f(0)=1，那么极限( )A等于0 B等于 (C) 等于+ D不存在且非C解：由极坐标，原极限22.设函数项级数，以下结论中正确的选项是( ).A假设函数列定义在区间上，那么区间为此级数的收敛区间B假设为此级数的和函数，那么余项，C假设使收敛，那么所有都使收敛D假设为此级数的和函数，那么必收敛于解：选B.23.设为常数，那么级数 .A绝对收敛 B条件收敛C发散D敛散性与有关解：因为，而收敛，因此原级数绝对收敛. 应选A.24.假设级数在时发散，在处收敛，那么常数 .A1 B-1 C2 D2解：由于收敛，由此知.当时，由于的收敛半径为1，因此该

9、幂级数在区间收敛，特别地，在收敛，此与幂级数在时发散矛盾，因此.应选B.25.的特解可设为 A BC D解：C26.微分方程的阶数是指 A方程中未知函数的最高阶数； B方程中未知函数导数或微分的最高阶数；C方程中未知函数的最高次数； D方程中函数的次数.解：B27.下面函数( )可以看作某个二阶微分方程的通解.A BC D解：C28.A、B均为n阶可逆矩阵，那么A、B的伴随矩阵= .A；B；CD； 解答：D 29. 设A、B均为n阶方阵，那么必有 。(A) |A+B|=|A|+|B| (B) AB=BA (C) |AB|=|BA| (D) (A+B)1=A1+B1解：正确答案为(C)30.A,

10、B都是n阶矩阵,那么以下各式成立的是 A BC D解答：B 31. 在随机事件A，B，C中，A和B两事件至少有一个发生而C事件不发生的随机事件可表示为ABCD解 由事件间的关系及运算知，可选A32. 袋中有5个黑球，3个白球，大小一样，一次随机地摸出4个球，其中恰有3个白球的概率为ABCD解 根本领件总数为，设A表示“恰有3个白球的事件，A所包含的根本领件数为=5，故P(A)=，故应选D。33. ，且,那么以下选项成立的是A;BCD解 由题可知A1、A2互斥，又0P(B)1，0P(A1)1，0P(A2)1，所以P(A1BA2B)=P(A1B)+P(A2B)P(A1A2B)=P(A1)P(B|A

11、1)+P(A2)P(B|A2) 故应选C。三、解答题1.设函数问1为何值时，在处有极限存在？2为何值时，在处连续？解：1要在处有极限存在，即要成立。因为所以，当时，有成立，即时，函数在处有极限存在，又因为函数在某点处有极限与在该点处是否有定义无关，所以此时可以取任意值。2依函数连续的定义知，函数在某点处连续的充要条件是于是有，即时函数在处连续。2，试确定和的值解. ,即,故3设，求的连续点，并说明连续点的所属类型解. 在连续, , , 因此, 是的第二类无穷连续点; , 因此是的第一类跳跃连续点.4求方程中是的隐函数的导数1,解：方程两边对自变量求导，视为中间变量，即整理得 2设，求，；解：，

12、5设由方程所确定, 求. 解: 设, , , , ,. 6设函数在0,1上可导，且，对于0 ,1所有x有证明在0,1有且只有一个数x使.7.求函数的单调区间和极值.解 函数的定义域是令 ，得驻点， -2 0 + 0 - 0 +极大值极小值故函数的单调增加区间是和，单调减少区间是及，当-2时，极大值；当0时，极小值.8.在过点的所有平面中, 求一平面, 使之与三个坐标平面所围四面体的体积最小.解: 设平面方程为, 其中均为正, 那么它与三坐标平面围成四面体的体积为, 且, 令, 那么由, 求得 . 由于问题存在最小值, 因此所求平面方程为, 且.9求以下积分(1)解：极限不存在，那么积分发散.(

13、2)解是D上的半球面，由的几何意义知I=V半球=(3)，D由 的围成。解关于x轴对称，且是关于y的奇函数，由I几何意义知，。4判别级数常数的敛散性. 如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛?解：由，而，由正项级数的比拟判别法知，与同时敛散.而收敛，故收敛，从而原级数绝对收敛.4判别级数的敛散性. 如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛?解：记，那么.显见去掉首项后所得级数仍是发散的，由比拟法知发散，从而发散. 又显见是Leibniz型级数，它收敛. 即收敛，从而原级数条件收敛.4求幂级数在收敛区间上的和函数：解：，所以.又当时，级数成为，都收敛，故级数的收敛域为.设级数的和函数为，即.再令，逐项微分得，故

14、，又显然有，故5求解微分方程(1) 的所有解.解 原方程可化为，当，两边积分得，即为通解。当时，即，显然满足原方程，所以原方程的全部解为及。(2) 解 当时，原方程可化为，令，得，原方程化为，解之得；当时，原方程可化为，类似地可解得。综合上述，有。(3) 解 由公式得 。三、求解以下各题1计算以下行列式：.2，解：3解：3设矩阵A，B满足矩阵方程AX B，其中，, 求X 解法一：先求矩阵A的逆矩阵因为所以 且解法二：因为 所以 4 设矩阵试计算A-1B解 因为 所以 且 2设.(1)假设，求；(2) 假设，求；(3) 假设，求.解：(1)P(B)=P(B)P(AB) 因为A，B互斥，故P(AB

15、)=0，而由P(B)=P(B)=P(B)=(2)P(A)=，由AB知：P(AB)=P(A)=P(B)=P(B)P(AB)=(3) P(AB)=P(B)=P(B)P(AB)=3假设有3箱同种型号零件，里面分别装有50件，30件和40件，而一等品分别有20件，12件及24件.现在任选一箱从中随机地先后各抽取一个零件第一次取到的零件不放回，试求先取出的零件是一等品的概率；并计算两次都取出一等品的概率.解：设B1、B2、B3分别表示选出的其中装有一等品为20，12，24件的箱子，A1、A2分别表示第一、二次选出的为一等品，依题意，有P(A1)=P(B1)P(|B1)+P(B2)P(A1|B2)+P(B3)P(A1|B3) =0.467P()=0.220. . word.zl-