高二物理竞赛数学物理方法课件.pptx

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1、数学物理方法2函数可导的充要条件lf (z)=u(x,y) + iv(x,y) 在某点可导 4个偏导数存在，连续，且满足柯西-黎曼方程：32.2 柯西定理（柯西环路积分定理）l解析函数，积分为0！（单连通区域上）4连通区域l单连通区域B：B中任何简单闭合曲线，围住的点仍然都属于B。l复连通区域：首先是区域，每个点都是内点；有大洞有小孔。大洞小孔为奇点。lf (z)在闭单连通区域 上解析，沿着 上任意分段光滑闭合曲线 l 做积分（l可以是 B 的边界）。5单连通区域上的柯西定理0lzzfd)(BBlB正方向：沿着路径走，区域在左手6格林公式yxyPxQQdyPdxslddl实变函数中的格林公式，

2、可将环路积分化为面积分lS变号7单连通区域上的柯西定理的证明lllyuxviyvxuzzf)dd()dd(d)(再由柯西-黎曼方程，0d)(lzzfyxyvxuiyxyuxvzzfsslddddd)(由格林公式，将环路积分化为面积分8简单应用021llzzfzzfdd)()(ABl1l2证明：设l1(AB)和l2(AB)是A、B两点之间的任意两条路径。21llzzfzzfdd)()(l单连通解析区域中的路径积分，只与起点和终点有关，与路径无关。l1(AB)和 l2(BA) 合起来是一个闭合曲线，021llzzfzzfdd)()(l29真题ABl下图区域中只有a 是奇点，A、B两点沿着不同路径的

3、积分，哪些是一定相等的？al1l4l3l24321llllzzfzzfzzfzzfdddd)()()()(解：只要不跨过奇点a，就都相等。所以：lB10有奇点复连通区域的柯西积分定理l沿着所有边界的积分为0。l沿着连通区域的正方向。l外圈逆时针l内圈顺时针l1l20.d)(d)(d)(21lllzzfzzfzzf11/39解析延拓l收敛圆内我做主，收敛圆外怎么办？开辟疆土z1z012/39两个函数lf (z) = 1 z2 + z4 z6 + (|z|1)l (除 z=i 的所有复数）211)(zzF首先，它们都是解析函数。另外可以验证， F(z)在z=0附近的泰勒展开就是f (z) ，而按照

4、等比数列求和公式，f (z)在收敛圆内就等于F(z) 。区别在于，定义域不同，后者定义域更大。13/39l通过泰勒展开，我们把函数的定义域变成了一个“圆域”，常常就把定义域变小了l为了扩大定义域解析延拓。14/39解析延拓l已知f (z)在区域b上解析，试图找到一个解析函数F(z)，定义在区域B上，B可以是l包含bl或与b有重叠的区域（或重叠的曲线）则F(z)称为f (z) 一个解析延拓。Bbf (z)F(z)Bbf (z)F(z)15/39l如果f (z)在区域b上解析，并可解析延拓到B上，则在B上定义的函数唯一。B解析延拓的唯一性bf (z)F(z)16/39解析延拓的唯一性l引理：解析函

5、数 F(z) 在一个子区域（或一段曲线）上都为0，则在整个定义域上为0。l设延拓到B上有两个函数形式F1和F2，则函数F= F1F2在B的子区域b上等于 f f = 0，所以F在B上也等于0，即F1=F2。Bbf (z)F1(z)F2(z)17/39讨论l定义在新的区域 BG=(B并b)上的函数G(z)，G(z)函数的取值，在B上就取F(z)，在b上就取f (z)，则G(z)就是f (z)在BG上的一个解析延拓。由唯一性， BG 上的解析延拓的函数就等于G(z)。l可见，对于一个解析延拓，新区域B与原区域有重叠，就意味着找到了一个包含原区域的新区域上的解析函数。Bbf (z)F(z)18/39z1z0利用泰勒级数进行解析延拓区域b内一点z0，做函数在z0附近的泰勒展开，求出泰勒级数的收敛圆。如果收敛圆有一部分在b外，则可扩大解析函数的定义域。然后再找一个z1点Bb