2022年版高考数学一轮复习第二章函数与基本初等函数I2.1函数及其表示理.docx

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1、精品学习资源其次章 函数与基本初等函数 I 2.1函数及其表示理1. 函数与映射欢迎下载精品学习资源两集合 A、B函数映射设 A， B是两个非空数集设 A，B 是两个非空集合欢迎下载精品学习资源对应关系f ： A B名称假如依据某种确定的对应关系f ，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯独确定的数f x 和它对应称 f ：A B为从集合 A 到集合 B 的一个函数假如按某一个确定的对应关系f ，使对于集合 A 中的任意一个元素x，在集合B中都有唯独确定的元素y 与之对应称对应 f ：A B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射欢迎下载精品学习资源记法yf x ， x A对应

2、 f ： A B 是一个映射2. 函数的有关概念(1) 函数的定义域、值域在函数 y f x ，x A中， x 叫做自变量， x 的取值范畴 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合 f x| x A 叫做函数的值域(2) 函数的三要素：定义域、对应关系和值域(3) 函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法3. 分段函数假设函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数欢迎下载精品

3、学习资源【学问拓展】求函数定义域常见结论：(1) 分式的分母不为零；(2) 偶次根式的被开方数不小于零；(3) 对数函数的真数必需大于零；(4) 指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；2(5) 正切函数 y tanx，x k k Z ；(6) 零次幂的底数不能为零；(7) 实际问题中除要考虑函数解析式有意义外，仍应考虑实际问题本身的要求【摸索辨析】判定以下结论是否正确 请在括号中打“”或“”(1) 对于函数 f ： A B，其值域是集合 B.(2) 假设两个函数的定义域与值域相同，就这两个函数是相等函数(3) 映射是特别的函数 (4) 假设 A R，B x| x0 ， f ： xy | x

4、| ，其对应是从A 到 B的映射 (5) 分段函数是由两个或几个函数组成的欢迎下载精品学习资源11函数 y2x 3 x的定义域为 3欢迎下载精品学习资源3A 2， B ， 3 3 ，3C 2，3 3 ， D 3 ，答案C2x30，3欢迎下载精品学习资源解析由题意知x30，解得 x 2且 x3.欢迎下载精品学习资源2 教材改编 假设函数 yf x 的定义域为 M x| 2 x2 ，值域为 N y|0 y2 ， 就函数 y f x 的图象可能是 欢迎下载精品学习资源答案B解析A 中函数的定义域不是 2,2 ，C中图象不表示函数， D 中函数值域不是 0,2，应选B.lg x32021 全国甲卷 以

5、下函数中， 其定义域和值域分别与函数y 10的定义域和值域相同的是 欢迎下载精品学习资源xA. yx B y lgx C y 2答案D1D yx欢迎下载精品学习资源lg x解析函数 y 10的定义域为 x| x0 ，值域为 y| y0 ，所以与其定义域和值域分别相同1欢迎下载精品学习资源的函数为 y，应选 D.x欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源4. 设函数 f x 1log 22 x， x 1，x 1就 f 2 f log 212 等于 欢迎下载精品学习资源2， x1，A 3 B 6 C 9 D 12答案C解析由于 2 1， log 212 log 283 1，所以 f 2 1 log

6、 22 2 1 log 243，log 12-1log 1211欢迎下载精品学习资源2flog 212 2222 126，2欢迎下载精品学习资源故 f 2 f log 212 3 6 9，应选 C.x， x， a，欢迎下载精品学习资源25. 设 f x x ， xa，.假设 f 2 4，就 a 的取值范畴为欢迎下载精品学习资源答案 ， 2解析由于 f 2 4，所以 2a， ，所以 a2，就 a 的取值范畴为 ， 2.欢迎下载精品学习资源题型一函数的概念例 1有以下判定：| x|1x0欢迎下载精品学习资源 f x x 与 g x 表示同一函数； 1x0欢迎下载精品学习资源函数 y f x 的图象

7、与直线 x 1 的交点最多有 1 个；2 f x x 2x 1 与 g t t 2 2t 1 是同一函数；1欢迎下载精品学习资源假设 f x | x 1| | x| ，就 ff20.欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源其中正确判定的序号是 答案解 析对 于 ， 由于 函数 f x | x|x 的 定 义 域 为 x| x R 且 x0 ， 而 函数 g x 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1x0 ，1x0 时，每一个 x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象，中当x欢迎下载精品学习资源0 x0 时， y 的值有两个，因此不是函数图象，中每一个x 的值对应唯独的 y 值，因此是

8、函数图象，应选 B.2A 中两个函数的定义域不同；B 中 y x 的 x 不能取 0； C中两函数的对应关系不同应选D.题型二函数的定义域问题命题点 1求函数的定义域欢迎下载精品学习资源x例 21 函数 f x 1 2 1x 3的定义域为 欢迎下载精品学习资源A 3,0B 3,1C ， 3 3,0D ， 3 3,1f2x2 假设函数 y f x 的定义域为 0,2，就函数 g x x 1的定义域是 答案1A20,1欢迎下载精品学习资源解析1 由题意得1 2 0，xx3 0，解得 3 x0.欢迎下载精品学习资源所以函数 f x 的定义域为 3,0 2 由 02x2，得 0 x1， 又 x10，即

9、 x1，所以 0x 1，即 g x 的定义域为 0,1 引申探究本例 2 中，假设将“函数y f x 的定义域为 0,2”改为“函数y f x 1 的定义域为f2x0,2”，就函数 g x x 1的定义域为13答案 2，1 1 ， 2解析由函数 y f x 1 的定义域为 0,2， 得函数 y f x 的定义域为 1,3，12x3，13令 x10，得2 x 2且 x1，欢迎下载精品学习资源 g x 的定义域为 1，1 1 ，232 欢迎下载精品学习资源命题点 2已知函数的定义域求参数范畴欢迎下载精品学习资源例 31 假设函数f x2x2 2 ax aax 11 的定义域为 R，就 a 的取值范

10、畴为欢迎下载精品学习资源22 假设函数 y ax 2ax的定义域为 R，就实数 a 的取值范畴是3欢迎下载精品学习资源答案1 1,020,3解析1 由于函数 f x 的定义域为 R，所以 2x 2 2axa10 对 x R恒成立，即 2x 22ax a20，恒成立，2因此有 2 a 4a0，解得 1 a0.yax 1欢迎下载精品学习资源2 由于函数 ax2 2ax 3的定义域为 R，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以 ax22ax3 0 无实数解，欢迎下载精品学习资源2即函数 y ax 2ax 3 的图象与 x 轴无交点当 a0 时，函数 y 3 的图象与 x 轴无交点；2当 a0时

11、，就 2 a 43a0，解得 0a3.综上所述， a 的取值范畴是 0,3思维升华1 求给定函数的定义域往往转化为解不等式 组 的问题，在解不等式 组 取交集时可借助于数轴，要特别留意端点值的取舍(2) 求抽象函数的定义域：假设yf x 的定义域为 a， b ，就解不等式 ag x b 即可求出 y f g x 的定义域；假设y f g x 的定义域为 a， b ，就求出 g x 在 a， b 上的值域即得 f x 的定义域(3) 已知函数定义域求参数范畴，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解f 2 x欢迎下载精品学习资源(1) 已知函数f x 的定义域为 3,6，就函数 ylog 1 22

12、的定义域为x欢迎下载精品学习资源33A 2， B 2，231C 2， D 2，2mx 1欢迎下载精品学习资源(2) 假设函数 y mx2 4mx的定义域为 R，就实数 m的取值范畴是 3欢迎下载精品学习资源A 0 ， 3B 0 ，344334C 0 ， D 0 ， 4答案1B2D欢迎下载精品学习资源解析1 要使函数 yf 2x log 1 2x2有意义，欢迎下载精品学习资源32x6,3 x3，3欢迎下载精品学习资源需中意log 1 22x0 .202 x1. 2 x0，需4m4 m30，即m 4m 30m0，或0，m0，即m 4m 30.欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解得 0m122

13、 x73 3x 3欢迎下载精品学习资源22解析1换元法 令 t x 1 t 1 ，就 x t 1，欢迎下载精品学习资源 f t lg2，即 f x lgt 12x1 x1 欢迎下载精品学习资源2待定系数法 设 f x ax b a0 ，就 3f x 1 2f x 1 3ax 3a 3b 2ax 2a 2b ax5a b， 即 ax 5a b2x 17，不管 x 为何值都成立，欢迎下载精品学习资源a 2，b5a 17，a 2，解得b7，欢迎下载精品学习资源 f x 2x 7. 3消去法 欢迎下载精品学习资源在 f x 2f 11 x 1 中，用x11代替 x， x欢迎下载精品学习资源得 f 2f

14、 xx 1，x欢迎下载精品学习资源将 f 12fx xx 1 代入 f x 2f 1 x 1 中，x欢迎下载精品学习资源21可求得 f x 3x3.思维升华函数解析式的求法(1) 待定系数法：假设已知函数的类型 如一次函数、二次函数 ，可用待定系数法；(2) 换元法：已知复合函数f g x 的解析式，可用换元法，此时要留意新元的取值范畴；(3) 配凑法：由已知条件f g x F x ，可将 F x 改写成关于g x 的表达式，然后以x 替代 g x ，便得 f x 的解析式；1(4) 消去法：已知 f x 与 fx 或 f x 之间的关系式，可依据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解

15、方程组求出f x 欢迎下载精品学习资源(1) 已知 f x1 x12x x2，求f x ；欢迎下载精品学习资源(2) 已知一次函数f x 中意 f f x 4x 1，求 f x ；3 已知 f x 3f x 2x 1，求 f x 1211 2x解1 设 xx t ，就 x x2 x 2，22 f t t 2， f x x 2.22 设 f x kx b k0 ，就 f f x k x kb b，欢迎下载精品学习资源2k 4，kb b 1，k2，1b 3k 2，或b 1.欢迎下载精品学习资源1故 f x 2x3或 f x 2x 1.3 以 x 代替 x 得 f x 3f x 2x 1，1 f x

16、 3f x 2x 1，代入 f x 3f x 2x 1 可得 f x x 4.2分类争辩思想在函数中的应用欢迎下载精品学习资源典例1 已知实数 a0，函数 f x 的值为2x a，x0 时， 1a1，由 f 1 a f 1 a ，可得 21 a a 1 a 2a， 3解得 a 2，不合题意当 a1,1 a1， 由 f 1 a f 1 a ，可得欢迎下载精品学习资源 1 a 2a21 a a，解得 a2 由 f f a 2f a ，得 f a 1.3，符合题意4欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2当 a1 时，有 3a11， a ，32 a1，x2，解得 1x2 或 2x10，所以函数 f

17、 x 的定义域为 1,2 2,10 3. 假设二次函数 g x 中意 g1 1，g 1 5，且图象过原点，就g x 的解析式为 22A g x 2x 3xB g x 3x 2x22C g x 3x 2xD g x 3x 2x答案B2解析 待定系数法 设 g x ax bx c a0 ， g1 1， g 1 5，且图象过原点，欢迎下载精品学习资源a b c 1， a b c 5，c 0，a 3， 解得 b 2，c 0，欢迎下载精品学习资源2 g x 3x 2x，应选 B.欢迎下载精品学习资源42021 武汉调研 函数 f x sin x2x 1， 1x0，中意 f 1 f a 2，就 a 所欢迎

18、下载精品学习资源e， x0有可能的值为 欢迎下载精品学习资源A 1 或222B 2欢迎下载精品学习资源2C 1D 1 或 2答案A欢迎下载精品学习资源解析 f 1 e1 11 且 f 1 f a 2，欢迎下载精品学习资源2 f a 1，当 1a0 时， f a sin a 1，220a 1， 0 a ，欢迎下载精品学习资源2 a 22 . a 2 ；欢迎下载精品学习资源a1当 a0时， f a e 1. a1.52021 安徽六校联考 已知函数 f x x| x| ，假设 f x0 4，就 x0 的值为 A 2B 2C 2 或 2D.2答案Bx2解析当 x0时， f x ， f x0 4，2即

19、 x04，解得 x0 2.2当 x0 时， f x x ， f x0 4，欢迎下载精品学习资源2即 x0 4，无解，所以 x02， 应选 B.* 6.2021 唐山期末 已知 f x 1 2ax 3a， x0，需使ln 1 1 2a 3a，欢迎下载精品学习资源1a ，2a 1，1 1 a .2欢迎下载精品学习资源12即 a 的取值范畴是 1， 27 已 知 函 数 y f x 1 的 定 义 域 为 3 ，3 ， 就 函 数 y f x 的 定 义 域 为 答案 1,22解析 y f x 1 的定义域为 3，3 ，欢迎下载精品学习资源2 x 3， 3 ， x 1 1,2 ， y f x 的定义

20、域为 1,2 欢迎下载精品学习资源8设函数f xex 1, x1，1就使得 f x 2成立的 x 的取值范畴是欢迎下载精品学习资源x 3, x1，答案 ， 8x 1解析当 x1 时，由 e2得 x1 ln 2 ， x1；欢迎下载精品学习资源当 x1时，由1 x8.1x3 2 得 x 8，欢迎下载精品学习资源综上，符合题意的x 的取值范畴是 x8.292021 浙江 已知函数 f x x x 3， x1，2lgx 1， x 1，就 f f 3 ， f x 的最小值是 答案022 3欢迎下载精品学习资源2解析 f 3 lg3 f f 3 f 1 0，2 1 lg 10 1，欢迎下载精品学习资源2当

21、 x1时，f x x x32 2 3，当且仅当 x2时，取等号， 此时 f x min 22 30； 当 x1 时， f x lg x 1 lg1 0，当且仅当 x 0 时，取等号， 此时 f x min0. f x 的最小值为 22 3.1*10. 具有性质： fx f x 的函数，我们称为中意“倒负”变换的函数，以下函数：欢迎下载精品学习资源 f x x1； f x xx1x； f x x， 0x1.欢迎下载精品学习资源其中中意“倒负”变换的函数是 答案111解析对于， f x x x， fx x x f x ，中意；11对于， fxf x ，不中意；x x 欢迎下载精品学习资源11欢迎下

22、载精品学习资源x， 0x1，x欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1即 fx 1x， x1，0， x 1， x， 0x1，欢迎下载精品学习资源1故 fx f x ，中意综上可知，中意“倒负”变换的函数是.2211. 已知 f x 是二次函数， 假设 f 0 0，且 f x1 f x x 1，求函数 f x 的解析式 解 设 f x ax bx c a0 ，又 f 0 0， c 0，即 f x ax bx.又 f x 1 f x x1.欢迎下载精品学习资源 a x 1 2b x 1 ax2bx x 1.欢迎下载精品学习资源2 a b x a b b1 x 1，欢迎下载精品学习资源2a b b1，ab 1，1a ，2解得1b . 2欢迎下载精品学习资源1 21欢迎下载精品学习资源 f x x x. 22欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源12. 已知 f x fx1， 2x0，求实数 a 的值欢迎下载精品学习资源解1 由题意，得 f 3 f 31 1 f 欢迎下载精品学习资源222欢迎下载精品学习资源1 f 2 1 f 12 212 1 2.欢迎下载精品学习资源2 当 0a2 时，由 f a 2a 1 4，得 a32，a2当 a2时，由 f a 1 4，得 a5或 a 5 舍去 ，综上所述， a3a5.2或欢迎下载