2022年小学解工程问题的方法归纳总结.docx

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1、解工程问题的方法工程问题是讨论工作量、 工作效率和工作时间三者之间关系的问题； 这三者之间的关系是：工作效率 工作时间 =工作量工作量 工作时间 =工作效率工作量 工作效率 =工作时间依据上面的数量关系,只要知道三者中的任意两种量,就可求出第三种量；由于工作量的已知情形不同, 工程问题可分为整数工程问题和分数工程问题两类；在整数工程问题中,工作量是已知的详细数量；解答这类问题时,只要按 照上面介绍的数量关系运算就可解题, 运算过程中一般不涉及分率； 在分数工程问题中,工作量是未知数量；解这类题时,也要依据上面介绍的数量关系运算, 但在运算过程中要涉及到分率；一、工作总量是详细数量的工程问题例

2、1 建筑工地需要 1200 吨水泥,用甲车队运需要 15 天,用乙车队运需要10 天；两队合运需要多少天？（适于四年级程度）解：这是一道整数工程问题,题中给出了总工作量是详细的数量1200 吨, 仍给出了甲、乙两队完成总工作量的详细时间；先依据“工作量 工作时间 =工作效率”,分别求出甲、乙两队的工作效率；再依据两队工作效率的和及总工作量, 利用公式 “工作量 工作效率 =工作时间 ”,求出两队合运需用多少天；甲车队每天运的吨数：（甲车队工作效率）120015=80 （吨）乙车队每天运的吨数：（乙车队工作效率）120010=120 （吨）两个车队一天共运的吨数：80+120=200 （吨）两个

3、车队合运需用的天数：1200200=6 （天）综合算式：1200（120015+120010）=1200（ 80+120 ）=1200200=6（天） 答略；*例 2 生产 350 个零件,李师傅 14 小时可以完成；假如李师傅和他的徒弟小王合作,就 10 小时可以完成；假如小王单独做这批零件,需多少小时？（适于四年级程度）解：题中工作总量是详细的数量,李师傅完成工作总量的时间也是详细的；李师傅 1 小时可完成：35014=25 （个）由“假如李师傅和他的徒弟小王合作,就10 小时可以完成 ”可知,李师傅和徒弟小王每小时完成：35010=35 （个）小王单独工作一小时可完成：35-25=10

4、（个）小王单独做这批零件需要：35010=35 （小时）综合算式：350（35010-350 14）=350（35-25=35010=35 （小时） 答略；*例 3 把生产 2191 打毛巾的任务,安排给甲、乙两组；甲组每小时生产毛巾 128 打,乙组每小时生产毛巾 160 打；乙组生产 2 小时后,甲组也开头生产；两组同时完工时超产 1 打；乙组生产了多长时间？（适于四年级程度） 解：两组共同生产的总任务是：2191-160 2+1=1872 （打）两组共同生产的时间是：1872（160+128 ） =6.5（小时）乙组生产的时间是：6.5+2=8.5 （小时）综合算式：（ 2191-160

5、2+1） （ 160+128 ）+2=1872288+2=6.5+2=8.5 （小时） 答略；1、筑路队疾患修筑一条长 2400 米的大路,甲队单独做需要 20 天完成,乙队单独需要 30 天完成；假如两队同时开工共同修筑,只需几天就可以完成？2、甲、乙两个工程队合修一条长42 千米的水泥路,甲队每天修 0.5 千米, 比乙队的 2 倍多 0.1 千米；（1） 乙队每天修多少千米？（2） 两队合修多少天可以修完？3、红星服装厂方案生产 2800 套夏季同学服, 已经生产了 5 天,每天生产 80 套, 剩下的 20 天完成,平均每天要生产多少套？4、王师傅加工一种零件,由原先的每个用12 分钟

6、降低到每个 8 分钟, 原先每天加工 300 个,现在每天加工多少个？5、用两台机器生产 108 个齿轮；第一台 4.5 小时能生产 18 个,其次台 1.6 小时能生产 8 个；两台机器一同生产一段时间以后,仍剩45 个；两台机器一同生产了多少小时？综合算式：答略；二、工作总量不是详细数量的工程问题工程问题方法总结一：基本数量关系：工效时间 =工作总量二：基本特点：设工作总量为“ 1”,工效 =1/ 时间三：基本方法：算术方法、比例方法、方程方法；四：基本思想：分做合想、合做分想；五：类型与方法：一：分做合想 :1. 合想 ,2. 假设法 ,3. 巧抓变化 比例 ,4.假设法；二：等量代换：

7、方程组的解法代入法,加减法；三：按劳安排思路：每人每天工效每人工作量按比例安排四：休息请假：方法： 1. 分想：划分工作量； 2. 假设法：假设不休息；五：休息与周期：1. 已知条件的次序：先工效,再周期,先周期,再天数；2. 天数：近似天数,精确天数；3. 列表确定工作天数；六：交替与周期：估算周期,留意次序！七：注水与周期： 1. 次序, 2. 池中原先是否有水, 3. 注满或溢出；八：工效变化；九：比例： 1. 分比与连比, 2. 归一思想, 3. 正反比例的运用, 4. 假设法思想 周期 ；十：牛吃草问题： 1. 新生草量, 2. 原有草量, 3. 解决问题；工程问题.当知道了两者工作

8、效率之比,从比例角度考虑问题,也需时间是因此,在下面例题的叙述中, 不完全采纳通常教科书中 “把工作量设为整体 1” 的做法,而偏重于 “整数化 ”或“从比例角度动身 ”,或许会使我们的解题思路更灵 活一些.两个人的问题标题上说的 “两个人”,也可以是两个组、两个队等等的两个集体.（一）两个人的问题例 11 一件工作,由 A 做 20 天完成, B做 15 天完成；（ 1）两队合做 5 天可以完成工程的几分之几？（ 2）两队合做 6 天,仍剩下工程的几分之几？（3） 两队合做几天完成？解：（ 1） 120（2） 1 117515121 632015（3） 1 11 201510608 4 天7

9、7答：（ 1）两队合做 5 天可以完成工程的7 ；（ 2）两队合做 6 天,仍剩下12工程的 3 ；（ 3）两队合做 8 4 天完成；107【解析】此题是工作效率问题； A 用 20 天完成,总工程是“ 1 ”,所以甲队的工作效率是 1201 ,乙对的工作效率是 1151 ；2015问题（ 1）要求完成的工程量,用工作效率工作时间；问题（ 2）要求剩余工程量,可先求出已做的工程量,用总工程量“1”减去已做工程量；问题（ 3）要求完成时间,用总工程量“1 ”总工效；例 1.2 、一工作,甲做 9 天可以完成,乙做 6 天可以完成,现在甲、乙做了3 天,余下的工作由乙连续完成,乙需要做几天可以完成

10、全部工作？解：（ 1） 1 11 31966（2） 1611天6答：乙需要做 1 天可以完成全部工作；【解析】要解决此题, 就要清晰此工程的过程,此工程是甲和乙完成一件工作,先是甲和乙一起做,之后转由乙单独完成,求的是乙单独完成剩下的工作时间；总工程是“ 1 ”,就可以知道：甲的工作效率是 191 ,乙对的工作效率9是161 ；6求乙单独完成剩下的工作时间, 仍需要知道乙的工作总量, 乙的工作总量 =1-甲乙一起 3 天做的工作量；甲和乙 3 天的工作总量：工作效率工作时间工作总量 11 3 ,96剩下：1 191 3166乙完成剩下的工作时间：利用工作总量工作效率工作时间111天66练习一1

11、、 一项工程,甲队单独做 24 天完成,乙队单独做 16 天完成；甲、乙两队合做,多少天可以完成？（适于六年级程度）解：把这项工程的工作总量看作1；甲队单独做 24 天完成,做 1 天完成答略；2、一项工程,由甲工程队修建需要20 天,由乙工程队修建需要 30解：把这项工程的工作总量看作1,由甲工程队修建需要 20 天,知甲工3、一项工程,甲、乙合做 5 天可以完成,甲单独做15 天可以完成；乙单独做多少天可以完成？（适于六年级程度）解：把这项工程的工作量看作 1；甲、乙合做 5 天可以完成,甲、乙合需要多长的时间；=7.5 （天）答：乙单独做 7.5 天可以完成；例2.1：一件工作,甲做 9

12、天可以完成,乙做 6天可以完成；现在甲先做了 3天,余下的工作由乙连续完成,乙需要做几天可以完成全部工作？解一： 把这件工作看作 1,甲每天可完成这件工作的九分之一,做3天完成的1/3；乙每天可完成这件工作的六分之一, （1-1/3） 1/6=4（天）答：乙需要做 4天可完成全部工作 .解二：9与6的最小公倍数是 18.设全部工作量是 18份.甲每天完成 2份,乙每天完成3份.乙完成余下工作所需时间是（18- 23）3= 4（天） .解三：甲与乙的工作效率之比是6 9= 2 3.甲做了 3天,相当于乙做了 2天.乙完成余下工作所需时间是 6-2=4（天） .练习 二1、一项工程,甲独做需 15

13、 天,乙独做需 12 天,现在甲乙合作如干天后,乙再接着做 3 天,就完成了全部工程,问甲乙合作了多少天？2、一项工程,甲队单独做需 20 天完成,假如甲乙合作 12 天可以完成,假如乙队单独做,多少天可以完成？例 3.1：一件工作,甲、乙两人合作 30天可以完成,共同做了 6天后,甲离开了,由乙连续做了 40天才完成 .假如这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？解：共做了 6天后,原先,甲做 24天,乙做 24天,现在,甲做 0天,乙做 40=（ 24+16）天.这说明原先甲 24天做的工作,可由乙做 16天来代替 .因此甲的工作效率假如乙独做,所需时间是50天假如甲独做,所需时间是75天答

14、：甲或乙独做所需时间分别是75天和50天.练习三1、甲乙两人合作生产一批零件, 6 天可以完成任务,甲先做 5 天,因有事外出,4这时只完成任务的 1,假如接下来由乙完成,仍需要多少天？42、一批零件,先由 20 人生产了 10 天完成任务的 1,余下的工程要提前 10 天完成,仍要增加多少人？3、甲乙二人合作一批零件需 20 天,甲比乙多做了这批零件的 1/9 ,甲单独做需多少天完成？4、一项工程,甲乙两队需 10 天完成,甲乙两队合作了几天,因乙队有事调离, 由甲队又干了 8 天,又知甲队独做需20 天完成,问甲、乙两队合干了多少天？例4.1 ： 一件工程,甲队单独做 10天完成,乙队单独

15、做 30天完成 .现在两队合作,其间甲队休息了 2天,乙队休息了 8天（不存在两队同一天休息） .问开头到完工共用了多少天时间？ 解一：甲队单独做 8天,乙队单独做 2天,共完成工作量余下的工作量是两队共同合作的,需要的天数是2+8+ 1= 11（天） .答：从开头到完工共用了 11天.解二：设全部工作量为 30份.甲每天完成 3份,乙每天完成 1份.在甲队单独做 8天,乙队单独做 2天之后,仍需两队合作（30- 38- 1 2）（3+1）= 1（天） .解三：甲队做 1天相当于乙队做 3天.在甲队单独做 8天后,仍余下（甲队） 10-8= 2（天）工作量 .相当于乙队要做23=6（天） .乙

16、队单独做 2天后,仍余下（乙队） 6-2=4（天）工作量 .4=3+1,其中3天可由甲队 1天完成,因此两队只需再合作 1天.解四：方法：分休合想（题中说甲乙两队没有在一起休息,我们就假设他们在一起休息 .甲队每天工作量为 1/10,乙为 1/30,由于甲休息了 2天,而乙休息了 8天,由于82,所以我们假设甲休息两天时,乙也在休息；那么甲开头工作时,乙仍要休息：8-2=6天）那么这6天内甲独自完成了这项工程的 1/10 6=6/10,剩下的工作量为 1-6/10=4/10,而这剩下的 4/10为甲乙两人一起合作完成的工程量,所以,工程量的 4/10 需要甲乙合作： 4/10 1/10+1/3

17、0=3天；所以从开头到完工共需： 8+3=11天）例4.2 ： 一项工程,甲队单独做 20天完成,乙队单独做 30天完成 .现在他们两队一起做, 其间甲队休息了 3天,乙队休息了如干天 .从开头到完成共用了 16天. 问乙队休息了多少天？解一：假如 16天两队都不休息,可以完成的工作量是 （ 120） 16+（ 130） 16=4/3由于两队休息期间未做的工作量是 4/3-1=1/3乙队休息期间未做的工作量是1/3-1/20 3=11/60乙队休息的天数是 11/60 1/30=11/2答：乙队休息了 5天半.解二：设全部工作量为 60份.甲每天完成 3份,乙每天完成 2份.两队休息期间未做的

18、工作量是（3+2） 16- 60= 20（份） .因此乙休息天数是（20- 33）2= 5.5（天） .解三：甲队做 2天,相当于乙队做 3天.甲队休息 3天,相当于乙队休息 4.5天.假如甲队 16天都不休息, 只余下甲队 4天工作量,相当于乙队 6天工作量, 乙休息天数是16-6-4.5=5.5（天） .练习四1、一件工程, 甲队单独做 10 天完成,乙队单独做 30 天完成. 现在两队合作, 其间甲队休息了 2 天,乙队休息了 8 天（不存在两队同一天休息） . 问开头到完工共用了多少天时间？2、加工一批零件,甲单独做 20 天完成,乙单独做 30 天完成,现在两人合作完成,中间甲休息了

19、 2.5 天,乙休息了如干天（两人没有同事休息一天） ,这样共用 14 天完工,问乙休息了多少天？3、一件工作,甲单独做需要 12 天完成,乙单独做需要 10 天完成,现在甲乙合作 8 天完成任务,已知这段时间甲休息了2 天看,那么乙休息了多少天？4、一项工程, 甲单独做需要 12 天完成,乙单独做需要 8 天完成,现在两人合作, 中途休息了 2 天,乙没有休息,完成这件工程共用了多少天？例题 5 一项工程,甲、乙两队合作 15 天完成,如甲队做 5 天,乙队做 3 天,7只能完成工程的 30 ,乙队单独完成全部工程需要几天？15【思路导航 】此题已知甲、乙两队的工作效率和是1,只要求出甲队货

20、乙队的工作效率,就问题可解,然而这正是此题的难点,用“组合法”将 甲队独做 5 天,乙队独做 3 天,组合成甲、乙两队合作了 3 天后,30甲队独做 2 天来考虑,就可以求出甲队 2 天的工作量 71 15 3130 ,从而求出甲队的工作效率；所以171练习五1【15 （ 30 15 3）（ 53）】 20（天）答：乙队单独完成全部工程需要20 天；1、 师、徒二人合做一批零件, 12 天可以完成；师傅先做了 3 天,因事外出,20由徒弟接着做 1 天,共完成任务的 3；假如这批零件由师傅单独做,多少天可以完成？242、 某项工程,甲、乙合做 1 天完成全部工程的 5；假如这项工程由甲队独做2

21、42 天,再由乙队独做 3 天,能完成全部工程的 13；甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？3、 甲、乙两队合做, 20 天可完成一项工程；先由甲队独做8 天,再由乙队独15做 12 天,仍剩这项工程的 8；甲、乙两队独做各需几天完成？例题 6一项工程,甲队独做 12 天可以完成；甲队先做了 3 天,再由乙队做 2 天,1就能完成这项工程的 2 ；现在甲、乙两队合做如干天后,再由乙队单独做；做完后发觉两段所用时间相等；求两段一共用了几天？2【思路导航 】此题很简单先求乙队的工作效率是： （ 111213）2 8；再由条件“做完后发觉两段所用时间相等”的题意,可组合成由两个乙队和一个甲队合做需

22、如干天完成,即可求出相等的时间；（1） 乙队每天完成这项工程的111（2 12 3） 28（2） 两段时间一共是11练习六1（ 8 2+12 ） 26（天）答：两段时间一共是 6 天；1、 一项工程, 甲队独做 15 天完成；如甲队先做 5 天,乙队再做 4 天能完成这项15工程的 8；现由甲、乙两队合做如干天后,再由乙队单独做；做完后发觉,两段时间相等；这两段时间一共是几天？2、 一项工程,甲、乙合做 8 天完成；假如先让甲独做 6 天,再由乙独做,完成任务时发觉乙比甲多了3 天；乙独做这项工程要几天完成？3、 某工作,甲单独做要 12 天,乙单独做要 18 天,丙单独做要 24 天；这件工

23、作先由甲做了如干天,再由乙接着做；乙做的天数是甲3 倍,再由丙接着做,丙做的天数是乙的 2 倍；最终完成了这一工作；问总共用了多少天？（二）、多人的工程问题例 1. 一件工作,甲、乙两人合作 36 天完成,乙、丙两人合作 45 天完成,甲、丙两人合作要 60 天完成,问甲一人独做需要多少天完成？解： 13611 214560301 1301 1301 1301 90 （天）451 60 （天）601 180 （天）36答：独做完成,甲需 90 天,乙需 60 天,丙需 180 天；【解析】此题有别与以上 3 题,是要对工作效率更深刻的懂得, 查找数学量之间的关系；1、有一项工程,甲队独做需 8

24、 天,乙队独做需 10 天,丙队独做需 20 天,现在由丙队先独做 9 天后,再由甲乙合作,问再需多少天可以完成？2、一项工程,甲乙两人合作 8 天完成,乙丙两人合作 9 天完成,甲丙两人合作18 天完成,假如丙一人来做,完成这项工程需要多少天？3、一项工程,甲乙两人合作 8 天完成,乙丙两人合作 6 天完成,丙丁两人合作12 天完成,那么甲丁两人合作多少天可以完成？4、一项工程,甲乙两人合作 6 天完成,乙丙两人合作 9 天完成,甲丙两人合作 15 天完成,现在甲乙丙三人合作需多少天？5、生产一批零件,甲乙两人合作12 小时完成,乙丙两人合作 15 小时完成,甲丙两人合作 20 小时完成,现

25、在甲乙丙三人合作需多少小时？6、某工程假如由甲乙丙合作 18 天完成,有乙丙丁队合作 15 天完成,由甲乙丁队合作 12 天完成, 有甲丙丁队合作 20 天完成, 由甲队单独做需要多少天完成？例题 2；一项工作,甲、乙、丙 3 人合做 6 小时可以完成；假如甲工作 6 小时后,乙、2丙合做 2 小时,可以完成这项工作的 3 ；假如甲、乙合做 3 小时后,丙做 6 小时,3也可以完成这项工作的 2；假如由甲、丙合做,需几小时完成？【思路导航 】将条件“甲工作 6 小时后,乙、丙合做 2 小时,可以完成这项工作的23 ”组合成“甲工作 4 小时,甲、乙、丙合做 2 小时可以完成这3项工作的 2”,

26、就求出甲的工作效率；同理,运用“组合法”再求出丙的工作效率；甲每小时完成这项工程的几分之几211（3 6 2）（ 6 2） 12丙每小时完成这项工程的几分之几211（3 6 3）（ 6 3） 18甲、 丙合做需完成的时间为：+1（ 1111218 ） 75 （小时）1练习二答：甲、丙合做完成需要 75 小时；1、 一项工作, 甲、乙、丙三人合做, 4 小时可以完成； 假如甲做 4 小时后, 乙、13丙合做 2 小时,可以完成这项工作的 18 ；假如甲、乙合做 2 小时后,丙再18做 4 小时,可以完成这项工作的 11 ；这项工作假如由甲、丙合做需几小时完成？2、 一项工程,甲、乙合做 6 天可

27、以完成,乙、丙合做 10 天可以完成；现在先由甲、乙、丙合做 3 天后,余下的乙再做 6 天就可以完成；乙独做这项工程要几天就可以完成？3、 一项工程,甲、乙两队合做 10 天完成,乙、丙两队合做 8 天完成；现在甲、乙、丙三队合做 4 天后,余下的工程由乙队独做项工程需多少天可以完成？125天完成；乙队单独做这4、 一件工作,甲、乙合做 4 小时完成,乙、丙合做 5 小时完成；现在由甲、丙合做 2 小时后,余下的由乙6 小时完成；乙独做这件工作需几小时才能完成？例题 3；一条大路,甲队独修 24 天可以完成,乙队独修 30 天可以完成；先由甲、乙两队合修 4 天,再由丙队参与一起修 7 天后

28、全部完成；假如由甲、乙、丙三队同时开工修这条大路,几天可以完成？【思路导航 】将条件“先由甲、乙两队合修 4 天,再由丙队参与一起修 7 天后全部完成”组合成“甲、乙两队各修（ 4+7） 11 天后,再由丙队单独修了 7 天才全部完成；”就可以求出丙队的工作效率；丙队每天修这条大路的111【1（ 24 +30 ）】（ 4+7） 40三队合修完成时间为1111（ 24 +30 +40 ） 10（天）答： 10 天可以完成；练习三1、 一件工作,甲单独做 12 小时完成；现在甲、乙合做 4 小时后,乙又用 6 小时才完成；这件工作始终由甲、乙合做几小时可以完成？2、 一条水渠, 甲队独挖 120

29、天完成, 乙队独挖 40 天完成；现在两队合挖 8 天, 剩下的由丙队加入一起挖,又用12 天挖完；这条水渠由丙队单独挖,多少天可以完成？3、 一件工作, 甲、乙合做 6 天可以完成,乙、丙合做 10 天可以完成；假如甲、丙合做 3 天后,由乙单独做,仍要 9 天才能完成；假如全部工作由 3 人合做,需几天可以完成？4、一项工程,甲、乙两队合做 30 天完成,甲队单独做24 天后,乙队加入,两队又合做了 12 天；这时甲队调走,乙队又连续做了独做这项工程需要多少天？15 天才完成；甲队综合练习1、一项工程,甲、乙两人合做,10 天完成；乙、丙两人合做, 15 天完成；甲、丙两人合做,18 天完成；甲、乙、丙独做,各需多少天完成？2、一项工作,甲单独做8 小时完成；现在甲、乙合做3 小时后,乙又用5 小时才完成；这件工作始终由甲、乙合做几小时可以完成；3、一项工程,甲、乙合做8 天可以完成,乙、丙合做10 天可以完成；现在先由甲、乙、丙合做 2 天后,余下的乙再做4 天就可以完成；乙独做这项工程要几天就可以完成？4、一项工作,甲、乙、丙三人合做4 小时可以完成；甲工作3 小时后,乙、丙合做2 小时,可以完成这项工作的；假如甲、乙合做 1 小时后,丙做 4 小时,也可以完成这项工作的 ；假如由甲、丙合做,需几小时完成？