初中数学最值问题典型例题含答案分析.doc

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1、. .中考数学最值问题总结考察知识点：1、“两点之间线段最短，“垂线段最短，“点关于线对称，“线段的平移。2、代数计算最值问题 3、二次函数中最值问题问题原型：饮马问题 造桥选址问题 完全平方公式 配方求多项式取值 二次函数顶点出题背景变式：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。解题总思路：找点关于线的对称点实现“折转“直ABPl几何根本模型：条件：如下左图，、是直线同旁的两个定点问题：在直线上确定一点，使的值最小方法：作点关于直线的对称点，连结交于点，那么的值最小例1、如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD不含B点上任意一点，将BM绕点B逆时针

2、旋转60得到BN，连接EN、AM、CM1求证：AMBENB；2当M点在何处时，AM+CM的值最小；当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；3当AM+BM+CM的最小值为 时，求正方形的边长。例2、如图13，抛物线y=ax2bxc(a0)的顶点为1,4，交x轴于A、B，交y轴于D，其中B点的坐标为3,01求抛物线的解析式2如图14，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中E点的横坐标为2，假设直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，那么x轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.假设存在，求出这个最小值及G、H的坐标；假设不存在，请说明理由.3如图

3、15，抛物线上是否存在一点T，过点T作x的垂线，垂足为M，过点M作直线MNBD，交线段AD于点N，连接MD，使DNMBMD，假设存在，求出点T的坐标；假设不存在，说明理由.例3、如图1，四边形AEFG与ABCD都是正方形，它们的边长分别为a,b(b2a),且点F在AD上以下问题的结果可用a,b表示 1求SDBF; (2) 把正方形AEFG绕点A逆时针方向旋转450得图2,求图2中的SDBF;(3) 把正方形AEFG绕点A旋转任意角度,在旋转过程中,SDBF是否存在最大值,最小值?如果存在,试求出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由。例4、如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A，B两点，

4、点A在x轴上，点B的纵坐标为3。点P是直线AB下方的抛物线上一动点不与A，B重合，过点P作x轴的垂线交直线AB与点C，作PDAB于点D1求a，b及的值2设点P的横坐标为 用含的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值； 连接PB，线段PC把PDB分成两个三角形，是否存在适合的值，使这两个三角形的面积之比为9：10？假设存在，直接写出值；假设不存在，说明理由.例5、如图，C的内接AOB中，AB=AO=4，tanAOB=,抛物线经过点A(4,0)与点-2,6.1求抛物线的函数解析式；2直线m与C相切于点A，交y于点D.动点P在线段OB上，从点O出发向点B运动；同时动点Q在线段DA上，从点D

5、出发向点A运动；点P的速度为每秒1个单位长，点Q的速度为每秒2个单位长，当PQAD时，求运动时间t的值；3点R在抛物线位于x轴下方局部的图象上，当ROB面积最大时，求点R的坐标.例1、证明：1ABE是等边三角形，BA=BE，ABE=60MBN=60，MBN-ABN=ABE-ABN即MBA=NBE又MB=NB，AMBENBSAS5分解：2当M点落在BD的中点时，A、M、C三点共线，AM+CM的值最小7分如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小9分理由如下：连接MN，由1知，AMBENB，AM=EN，MBN=60，MB=NB，BMN是等边三角形BM=MNAM+BM+

6、CM=EN+MN+CM10分根据“两点之间线段最短，得EN+MN+CM=EC最短当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长11分例2、 解：1设所求抛物线的解析式为：，依题意，将点B3，0代入，得： 解得：a1所求抛物线的解析式为： 2如图6，在y轴的负半轴上取一点I，使得点F与点I关于x轴对称， 在x轴上取一点H，连接HF、HI、HG、GD、GE，那么HFHI 设过A、E两点的一次函数解析式为：ykxbk0，点E在抛物线上且点E的横坐标为2，将x2代入抛物线，得点E坐标为2，3 又抛物线图像分别与x轴、y轴交于点A、B、D当y0时，x1或x3 当x0时，y143

7、,点A1，0，点B3，0，点D0，3 又抛物线的对称轴为：直线x1， 点D与点E关于PQ对称，GDGE分别将点A1，0、点E2，3代入ykxb，得： 解得：过A、E两点的一次函数解析式为：yx1当x0时，y1 点F坐标为0，1=2 又点F与点I关于x轴对称， 点I坐标为0，1 又要使四边形DFHG的周长最小，由于DF是一个定值，只要使DGGHHI最小即可 由图形的对称性和、，可知， DGGHHFEGGHHI 只有当EI为一条直线时，EGGHHI最小 设过E2，3、I0，1两点的函数解析式为：，分别将点E2，3、点I0，1代入，得：解得： 过A、E两点的一次函数解析式为：y2x1当x1时，y1；

8、当y0时，x；点G坐标为1，1，点H坐标为，0四边形DFHG的周长最小为：DFDGGHHFDFEI 由和，可知： DFEI四边形DFHG的周长最小为。 3如图7，由题意可知，NMDMDB， 要使，DNMBMD，只要使即可， 即：设点M的坐标为a，0，由MNBD，可得 AMNABD，再由1、2可知，AM1a，BD，AB4，式可写成： 解得：或不合题意，舍去点M的坐标为，0又点T在抛物线图像上，当x时，y点T的坐标为，.例3、解：1点F在AD上，AF2=a2a2，即AF=。2连接DF，AF，由题意易知AFBD，四边形AFDB是梯形。DBF与ABD等高同底，即BD为两三角形的底。由AFBD，得到平行

9、线间的距离相等，即高相等，。3正方形AEFG在绕A点旋转的过程中，F点的轨迹是以点A为圆心，AF为半径的圆。第一种情况：当b2a时，存在最大值及最小值，BFD的边BD=，当F点到BD的距离取得最大、最小值时，SBFD取得最大、最小值。如图，当DFBD时，SBFD的最大值=，SBFD的最小值=。第二种情况：当b=2a时，存在最大值，不存在最小值，SBFD的最大值=。例4、解：1由，得到x=2，A2，0。 由，得到x=4，B4，3。经过A、B两点，解得。设直线AB与y轴交于点E，那么E0，1。根据勾股定理，得AE=。PCy轴，ACP=AEO。2由1可知抛物线的解析式为。由点P的横坐标为，得P，C。

10、PC= 。在RtPCD中， ，当m=1时，PD有最大值。存在满足条件的值，。例5、解：1将点A4，0和点-2，6的坐标代入中，得方程组，解之，得.抛物线的解析式为.2连接AC交OB于E.直线m切C于A ACm， 弦 AB=AO， .ACOB，mOB. OAD=AOB，OA=4 tanAOB=，OD=OAtanOAD=4=3.作OFAD于F.那么OF=OAsinOAD=4=2.4.t秒时，OP=t,DQ=2t，假设PQAD，那么FQ=OP= t.DF=DQFQ= t.ODF中，t=DF=1.8秒.3令R(x, x22x) (0x4).作RGy轴于G 作RHOB于H交y轴于I.那么RG= x，OG= x2+2x.RtRIG中，GIR=AOB ，tanGIR=.IG=x IR= x, RtOIH中，OI=IGOG=xx2+2x=x2x.HI=x2x.于是RH=IRIH= xx2 x= x2+x= x2+x=( x)2+当x=时，RH最大.SROB最大.这时x22x=()22=.点R(,). .word.