2022年分别是-正弦-余弦-正切-余切-正割-余割.docx

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1、精品学习资源维基百科正弦性质奇偶性奇定义域- ,到达域-1,1周期2特定值当 x=00当 x=+ N/A当 x=- N/A最大值2k+ . ,1最小值2k- . ,-1其他性质渐近线N/A根k 欢迎下载精品学习资源临界点k - /2拐点k 不动点0k 是一个 整数.余弦性质奇偶性偶定义域- , 到达域-1,1周期2 特定值当 x=00当 x=+ N/A当 x=- N/A最大值2k ,1最小值2k+1 ,-1其他性质欢迎下载精品学习资源渐近线N/A根k - /2临界点k 拐点k - /2不动点0k 是一个 整数.正切性质奇偶性奇x|x k + /2 ，定义域k Z到达域- , 周期特定值当 x=

2、00当 x=+ N/A当 x=- N/A欢迎下载精品学习资源最大值最小值- 其他性质渐近线N/A根k 不动点0k 是一个 整数.欢迎下载精品学习资源余切性质奇偶性奇x R x k ，定义域k Z到达域- , 周期特定值当 x=00当 x=+ N/A当 x=- N/A最大值最小值- 其他性质渐近线N/A欢迎下载精品学习资源根k +不动点0k 是一个 整数 .正割欢迎下载精品学习资源性质奇偶性偶x|x k + /2 ，定义域k Z到达域|secx| 1周期2 特定值当 x=00当 x=+ N/A当 x=- N/A最大值最小值- 其他性质渐近线N/A根无实根临界点k 拐点k - /2不动点0欢迎下载

3、精品学习资源k 是一个 整数.余割欢迎下载精品学习资源性质奇偶性奇定义域x|x k ， k Z到达域|csc x| 1周期2特定值当 x=00当 x=+ N/A当 x=- N/A最大值, 最小值,- 其他性质渐近线N/A根无实根临界点k - /2拐点k 欢迎下载精品学习资源不动点0k 是一个 整数 .反正弦欢迎下载精品学习资源性质奇偶性奇定义域-1, 1到达域周期N/A特定值当 x=00当 x=+ N/A当 x=- N/A最大值最小值其他性质渐近线N/A根0欢迎下载精品学习资源反余弦性质奇偶性非 奇 非 偶 函数欢迎下载精品学习资源定义域到达域-1, 1周期N/A特定值当 x=0当 x=+ N

4、/A当 x=- N/A最大值最小值其他性质渐近线N/A根1欢迎下载精品学习资源反正切性质奇偶性奇函数定义域实数集欢迎下载精品学习资源到达域周期N/A特定值当 x=00当 x=+当 x=- 其他性质渐近线根0拐点原点名称常用符号定义定义域值域反 正弦反 余弦反 正切反 余切反 正割反 余割百度文库下载分别是正弦 余弦 正切 余切 正割 余割欢迎下载精品学习资源角 的全部三角函数见: 函数图形曲线在平面直角坐标系xOy 中，从点O 引出一条射线OP ，设旋转角为，设 OP=r ，P 点的坐标为x， y有正弦函数sin =y/r 余弦函数cos =x/r 正切函数tan =y/x 余切函数cot =

5、x/y 正割函数sec =r/x 余割函数csc =r/y斜边为 r，对边为 y，邻边为 x；以及两个不常用，已趋于被剔除的函数： 正矢 函数 versin =1 - cos余矢 函数 covers =1 -sin 正弦 sin : 角 的对边比上斜边余弦 cos :角 的邻边比上斜边正切 tan : 角 的对边比上邻边余切 cot : 角 的邻边比上对边正割 sec :角 的斜边比上邻边余割 csc :角 的斜边比上对边 编辑本段 同角三角函数间的基本关系式：平方关系：sin2 cos2 1 1 tan2 sec2 1 cot2 csc2 积的关系：sin =tan cos cos=cot

6、sin tan =sin sec欢迎下载精品学习资源cot =cos csc sec=tan csc csc=sec cot 倒数关系：tan cot 1 sin csc 1 cos sec 1商的关系：sin /cos tan sec/csc cos/sin cot csc/sec 直角三角形 ABC 中,角 A 的正弦值就等于角A 的对边比斜边,余弦等于角A 的邻边比斜边正切等于对边比邻边,1 三角函数恒等变形公式两角和与差的三角函数：cos +=cos cos-sin sin cos -=cos cos+sin sin sin =sin cos cos sin tan +=tan +ta

7、n /-1tan tan tan -=tan -tan /1+tan tan 三角和的三角函数：sin +=sin cos cos+cos sin cos+cos-csoinsssinin sin cos +=cos cos c-ocsos sin s-insin cos s-insin sin cos tan +=tan +tan +tan-tan tan tan -t/an1 tan-tan tan-tan tan帮助角公式：Asin +Bcos=A²+B²1/2sin +arctanB/A ，其中sint=B/A²+B²1/2 cost=A/A&s

8、up2;+B²1/2 tant=B/AAsin -Bcos=A²+B²1/2cos -t ， tant=A/B倍角公式：sin2 =2sin cos=2/tan +cot cos2 =cos² -sin² =2cos² -1=1- 2sin² tan2 =2tan /1-tan² 三倍角公式：sin3 =3sin -4sin³ =4sin sin60+ sin6-0欢迎下载精品学习资源cos3 =4cos³ -3cos=4cos cos60+ cos60 - tan3 =tanatan /3+a

9、 tan /3-a半角公式：sin /2= -c1os/2 cos /2= 1+cos /2tan /2= -1cos/1+cos =sin /1+cos =1-cos/sin降幂公式sin² =1 -cos2 /2=versin2 /2 cos² =1+cos2 /2=covers2 /2 tan² =1 -cos2 /1+cos2 万能公式：sin =2tan /2/1+tan² /2cos=1 - tan² /2/1+tan²/2 tan =2tan /2/1 - tan² /2积化和差公式：sin cos=1/2si

10、n+sin- cos sin =1/2sin+- sin - cos cos=1/2cos+cos- sin sin - =1/2cos+-cos - 和差化积公式：sin +sin =2sin +/2cos - /2sin -sin =2cos +/2sin-/2cos+cos=2cos +/2cos-/2欢迎下载精品学习资源cos- cos=- 2sin+/2sin推导公式tan +cot =2/sin2 tan -cot =-2cot2 1+cos2=2cos² 1- cos2=2sin² 1+sin =sin /2+cos /2²其他：-/2欢迎下载精品学

11、习资源sin +sin +2/n+sin+2*2/n+sin+2*3/n+ +sin +2*-1n/n=0 cos+cos +2/n+cos +2*2/n+cos+2*3/n+ +cos +2*n -1/n=0以及sin² +sin² -2/3+sin²+2/3=3/2 tanAtanBtanA+B+tanA+tanB-tanA+B=0cosx+cos2x+.+cosnx=sinn+1x+sinnx-sinx/2sinx证明：欢迎下载精品学习资源左边 =2sinxcosx+cos2x+.+cosnx/2sinx=sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-s

12、in2x+.+sinnx-sinn-2x+sinn+1x-sinn-1x/2s inx积化和差=sinn+1x+sinnx-sinx/2sinx=右边等式得证sinx+sin2x+.+sinnx=-cosn+1x+cosnx-cosx-1/2sinx证明 :左边 =-2sinxsinx+sin2x+.+sinnx/-2sinx=cos2x-cos0+cos3x-cosx+.+cosnx-cosn-2x+cosn+1x-cosn-1x/-2sinx=-cosn+1x+cosnx-cosx-1/2sinx=右边等式得证三倍角公式推导sin3a=sin2a+a=sin2acosa+cos2asina

13、=2sina1-sin²a+1-2sin²asina=3sina-4sin³a cos3a=cos2a+a=cos2acosa-sin2asina=2cos²a-1cosa-21-sin²acosa=4cos³a-3cosa sin3a=3sina-4sin³a=4sina3/4-sin²a=4sina 3/2²-sin²a=4sinasin²60 -sin²a=4sinasin60+sinasin60-sina=4sina*2sin60+a/2cos60 -a/2*2sin

14、60-a/2cos60+a/2=4sinasin60+asin60 -a cos3a=4cos³a-3cosa=4cosacos²a-3/4=4cosacos²a- 3/2²=4cosacos²a-cos²30 =4cosacosa+cos30 cosa-cos30 =4cosa*2cosa+30 /2cosa-30/2*-2sina+30/2sina-30/2=-4cosasina+30 sina-30=-4cosasin90 -60 -asin-90+60 +a=-4cosacos60 -a-cos60+a欢迎下载精品学习资源=4

15、cosacos60 -acos60 +a 上述两式相比可得tan3a=tanatan60 -atan60+a 编辑本段 三角函数的诱导公式公式一：设 为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin 2k sin cos 2k cos tan 2k tan cot 2k cot 公式二：设 为任意角，+的三角函数值与的三角函数值之间的关系：sin sin cos cos tan tan cot cot 公式三：任意角 与 -的三角函数值之间的关系： sin sin cos cos tan tan cot cot 公式四：利用公式二和公式三可以得到-与 的三角函数值之间的关系：sin sin

16、 cos cos tan tan 欢迎下载精品学习资源cot cot 公式五：利用公式一和公式三可以得到2-与 的三角函数值之间的关系：sin 2 sin cos 2 cos tan 2 tan cot 2 cot 公式六：/2 及 3/2 与 的三角函数值之间的关系：sin /2 cos cos /2 sin tan /2 cot cot /2 tan sin /2 cos cos /2 sin tan /2 cot cot /2 tan sin 3/2 cos cos 3/2 sin tan 3/2 cot cot 3/2 tan sin 3/2 cos cos 3/2 sin tan 3

17、/2 cot cot 3/2 tan 以上 k Z补充： 69 54 种诱导公式的表格以及推导方法定名法就和定号法就欢迎下载精品学习资源f f sin cos tan cot seccsc欢迎下载精品学习资源360k+sin costan cot seccsc 90-cossin cot tan csc sec90 +cos-sin -cot -tan -csc sec欢迎下载精品学习资源180-sin -cos-tan -cot -seccsc 180 +-sin -costan cot -sec-csc 270-cos-sin cot tan -csc -sec270 +-cossin -

18、cot -tan csc -sec360-sin cos-tan -cot sec-csc -sin cos-tan -cot sec-csc 定名法就90的奇数倍 + 的三角函数，其肯定值与三角函数的肯定值互为余函数；90的偶数倍 + 的三角函数与定号法就将 看做锐角留意是是“象限定号，符号看象限比方 :90 +；定名：的三角函数肯定值相同；也就是 “奇余偶同， 奇变偶不变 ”“看做 ”，按所得的角的象限，取三角函数的符号；也就”90是 90的奇数倍，所以应取余函数；定号：将角，那么90+是其次象限角，其次象限角的正弦为负，余弦为正；所以看做锐sin90 +=cos ,cos90 + -si

19、n 这个特别奇妙，屡试不爽 编辑本段 三角形与三角函数1 、正弦定理：在三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即a/sinA=b/si nB=c/sinC=2R 其中 R 为外接圆的半径2 、第一余弦定理：三角形中任意一边等于其他两边以及对应角余弦的交叉乘积的和，即 a=ccosB+ bcosC3 、其次余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方之和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2 倍，即 a2=b2+c2-2bccosA4 、正切定理 napier比拟 ：三角形中任意两边差和的比值等于对应角半角差和的正切比值，即a-b /a+b=tanA-B/2/tanA+B/2=tanA-B

20、/2/cotC/25 、三角形中的恒等式：对于任意非直角三角形中, 如三角形 ABC, 总有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC证明 :已知 A+B= -C所以 tanA+B=tan -C欢迎下载精品学习资源就 tanA+tanB/1-tanAtanB=tan -tanC/1+tantanC 整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC欢迎下载精品学习资源类似地 , 我们同样也可以求证:当 +=nn tan tan 编辑本段 部分高等内容Z 时，总有 tan +tan +tan =tan欢迎下载精品学习资源高等代数中三角函数的指数表示由泰勒级数易得： si

21、nx=eix-e-ix/2icosx=eix+e-ix/2tanx=eix-e-ix/ieix+ie-ix泰勒绽开有无穷级数，ez=expz 1 z/1 ！ z2/2 ！ z3/3 ！ z4/4 ！ zn/n ！ 此时三角函数定义域已推广至整个复数集；三角函数作为微分方程的解：对于微分方程组y=-y;y=y，有通解 Q, 可证明Q=Asinx+Bcosx，因此也可以从今动身定义三角函数；补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数 双曲函数 ，其拥有许多与三角函数的类似的性质，二者相映成趣；:角度 a0 30 45 60 90 1801.sina01/22/2 3/2 102.cosa13

22、/2 2/2 1/20-13.tana03/3 13 /04.cota/3 13/3 0/注： “为”根号 编辑本段 三角函数的运算幂级数c0+c1x+c2x2+.+cnxn+.=cnxn n=0. c0+c1x-a+c2x-a2+.+cnx-an+.=cnx -ann=0. 它们的各项都是正整数幂的幂函数,其中 c0,c1,c2,. 及 a 都是常数 ,这种级数称为幂级数.泰勒绽开式 幂级数绽开法:fx=fa+fa/1.*x-a+fa/2.*x-a2+.fna/n.*x-an+.有用幂级数：ex=1+x+x2/2.+x3/3.+.+xn/n.+.欢迎下载精品学习资源ln1+x=x-x2/3+

23、x3/3-.-1k-1*xk/k+.|x|1sinx=x-x3/3.+x5/5.-.-1k-1*x2k-1/2k-1.+.- xcosx=1-x2/2.+x4/4.-.-1k*x2k/2k.+.- x arcsinx=x+1/2*x3/3+1*3/2*4*x5/5+.|x|1arccosx= -x+ 1/2*x3/3+1*3/2*4*x5/5+.|x|1 arctanx=x-x3/3+x5/5-.x 1sinhx=x+x3/3.+x5/5.+.-1k-1*x2k-1/2k-1.+.- xcoshx=1+x2/2.+x4/4.+.-1k*x2k/2k.+.- x arcsinhx=x-1/2*x

24、3/3+1*3/2*4*x5/5-.|x|1 arctanhx= x+x3/3+x5/5+.|x|1在解初等三角函数时，只需记住公式便可轻松作答，在竞赛中，往往会用到与图像结合的方法求三角函数值、三角函数不等式、面积等等；傅立叶级数 三角级数 fx=a0/2+n=0. ancosnx+bnsinnx欢迎下载精品学习资源a0=1/ -.an=1/ -.bn=1/ -. fxdx fxcosnxdx fxsinnxdx欢迎下载精品学习资源三角函数的数值符号正弦第一，二象限为正，第三，四象限为负余弦第一，四象限为正其次，三象限为负正切第一，三象限为正其次，四象限为负 编辑本段三角函数定义域和值域si

25、nx,cosx的定义域为R, 值域为 -1,1 tanx 的定义域为 x 不等于 /2+k ,值域为 R cotx 的定义域为x 不等于 k,值域为 R 编辑本段 初等三角函数导数y=sinx-y=cosx y=cosx-y=-sinxy=tanx-y=1/cosx2;=secx2;y=cotx-y=-1/sinx2=-cscx2; y=secx-y=secxtanxy=cscx-y=-cscxcotx y=arcsinx-y=1/ 1-x2; y=arccosx-y=-1/ 1-x2;欢迎下载精品学习资源y=arctanx-y=1/1+x2; y=arccotx-y=-1/1+x2;反三角函

26、数三角函数的 反函数 编辑本段 ，是多值函数；它们是反正弦Arcsinx ，反余弦 Arccosx ， 反正切 Arctanx ，反余切 Arccotx 等，各自表示其正弦、余弦、正切、余切、正割、余割为 x 的角；为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y 限在 y=- /2 y /2，将 y 为反正弦函数的主值，记为y=arcsinx；相应地，反余弦函数y=arccosx 的主值限在0y；反正切函数y=arctanx 的主值限在 -/2y /2 ；反余切函数y= arccotx 的主值限在0y ；反三角函数实际上并不能叫做函数，由于它并不满意一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数y=x 对称；其概念第一由欧拉提出，并且第一使用了 arc+ 函数名的形式表示反三角函数，而不是f-1x.反三角函数主要是三个：y=arcsinx，定义域 -1,1 ，值域 - /2, /2， 图象用红色线条；y=arccosx，定义域 -1,1 ，值域 0, ，图象用兰色线条；欢迎下载精品学习资源y=arctanx，定义域 - ,+ ，值域 - /2, /2， sinarcsinx=x,定义域 -1,1, 值域 【-/2, /2】图象用绿色线条；欢迎下载精品学习资源证明方法如下：设arcsinx=y,就 siny=x,将这两个式子代如上式即可得其他几个用类似方法可得；欢迎下载