2022年必修4__三角函数知识点归纳总结.docx

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1、【学问网络】三角函数应用弧长公式同角三角函数的基本关系式诱导应用公式运算与化简证明恒等式任意角的概念应用角度制与弧度制任意角的三角函数三角函数的图像和性质应用已知三角函数值求角和角公式应用倍角公式应用差角公式应用一、任意角的概念与弧度制1、将沿 x 轴正向的射线,环绕原点旋转所形成的图形称作角.逆时针旋转为 正角 ,顺时针旋转为 负角 ,不旋转为零角2、同终边的角可表示为k 360kZx 轴上角：k 180kZy 轴上角：90k 180kZ3、第一象限角：0k 36090k 360kZ其次象限角：90k 360180k 360kZ第三象限角：180k 360270k 360kZ第四象限角：27

2、0k 360360k 360kZ4、区分第一象限角、锐角以及小于90 的角第一象限角：0k 36090k 360kZ锐角：090小于 90 的角：905、如为其次象限角,那么为第几象限角？22k2k2kk422k0,42k1, 53,42所以在第一、三象限26、弧度制：弧长等于半径时,所对的圆心角为1弧度的圆心角,记作 1rad .7、角度与弧度的转化：13045609012013515018023564323468、角度与弧度对应表： 角度0弧度01800.01745118057.3057 1836029、弧长与面积运算公式弧长： lR；面积： S1 lR1R2,留意：这里的均为弧度制 .2

3、2二、任意角的三角函数y1、正弦： sinr；余弦 cosxy；正切 tanrxPx, yr其中x, y 为角终边上任意点坐标,rx2y2 .2、三角函数值对应表：304560901201351501802356432346度0270360弧度0322sin01232313222211210102223cos10222222101tan03313无31330无03、三角函数在各象限中的符号口诀：一全正,二正弦,三正切,四余弦. （简记为“全 s t c”）sintancos第一象限： .x0, y0sin0,cos0,tan0,其次象限： .x0, y0sin0,cos0,tan0,第三象限：

4、 .x0, y0sin0,cos0,tan0,第四象限： .x0, y0sin0,cos0,tan0,4、三角函数线设任意角的顶点在原点 O ,始边与 x 轴非负半轴重合, 终边与单位圆相交与P x, y ,过 P 作 x 轴的垂线,垂足为M ；过点延长线交于点T.A1,0 作单位圆的切线,它与角的终边或其反向yyTPPAMoxAoMx（）T（）yTyMP由四个图看出：Ao x（）MAo xPT（）当角的终边不在坐标轴上时,有向线段yyOMx, MPy ,于是有xxsinyMPr1,c o sxOMr1,tanyMPATAT xOMOA我们就分别称有向线段MP , OM, AT 为正弦线、余弦

5、线、正切线；5、同角三角函数基本关系式sin 2tancos2sin cos1tancot1sincos212 sincossin2cos12 sincos sincos, sincos, sincos,三式之间可以相互表示6、诱导公式n口诀：奇变偶不变 , 符号看象限 所谓奇偶指的是2n中整数 n 的奇偶性, 把看作锐角 nsin n 1 2 sin, n为偶数； cos n 12 co s,n为偶数.2n 1 1 22cos, n为奇数n 1 1 2sin, n为奇数. 公式（一）：与2k , kZsin2 ksin； cos2kcos； tan2 ktan. 公式（二）：与sinsin；

6、 coscos； tantan. 公式（三）：与sinsin； coscos； tantan. 公式（四）：与sinsin； coscos； tantan. 公式（五）：与2sin2cos； cos2sin；. 公式（六）：与2sin2cos； cos2sin；. 公式（七）：与 32sin32cos； cos 32sin；. 公式（八）：与 32sin32cos； cos32sin；三、三角函数的图像与性质1 、将函数ysinx 的图象上全部的点,向左（右）平移个单位长度,得到函数ysinx的图象；再将函数ysinx的图象上全部点的横坐标伸长（缩短）到原先的 1 倍（纵坐标不变） ,得到函数

7、 ysinx的图象； 再将函数 ysinx的 图象 上 所 有 点 的 纵 坐 标 伸 长 （ 缩 短 ） 到 原 来的 A 倍 （ 横 坐 标 不 变 ）, 得 到 函 数yAsinx的图象；2、函数yAsinxA0,0的性质：振幅： A；周期： T21；频率： fT；相位：x；初相：；23、周期函数：一般地,对于函数fx ,假如存在一个非零常数T ,使得定义域内的每一个 x 值,都满意 fxTfx ,那么函数fx 就叫做周期函数, T 叫做该函数的周期 .4、 yAsinx对称轴：令kxk,得 x22对称中心：xk,得 xk, k,0kZ ； yA cosx对称轴：令xk,得 xk；对称中

8、心：x周期公式 :kk,得 x22k, 2,0 kZ ；函数yA sinx 及 yAcosx 的周期 T2A 、 为常数,且 A0.函数 yA tanx的周期 TA 、 、为常数,且 A0.5、三角函数的图像与性质表格性函 数质ysin xycosxytan x图像定义RR域x xk,kZ2值域1,11,1R当 x2kkZ 时,2当 x2kkZ时,最值当 xymax1 ；2kkZ 时,ymax1 ；当 x2k既无最大值也无最小值2ymin1 kZ时, ymin1 周期22性奇偶奇函数偶函数奇函数性在2 k,2k 22在2k,2 kkZ单kZ上是增函数； 调性3在 2k上是增函数；,2 kkZ在

9、 k, k22在2 k,2kkZ上是增函数22kZ上是减函数上是减函数对对称中心k,0kZ对称中心对称中心k,0kZ称性对称轴xkkZ 2k,0kZ 22无对称轴对称轴 xkkZ6. 五点法作 yAsinx 的简图 ,设 tx,取 0、 3、 2来求相22应 x 的值以及对应的 y 值再描点作图；7. yAsinx的的图像8. 函数的变换：（1） 函数的平移变换 yf xyf xaa0 将 yf x 图像沿 x 轴向左（右）平移 a 个单位（左加右减） yf xyf xbb0 将 yf x 图像沿 y 轴向上（下）平移 b 个单位（上加下减）（2） 函数的伸缩变换： yfxyf wx w0 将

10、 yf x 图像纵坐标不变,横坐标缩到原先的1 倍（ ww1缩短, 0w1伸长） yfxyAf x A0将 yf x 图像横坐标不变,纵坐标伸长到原先的 A 倍（ A1伸长, 0A1缩短）（3） 函数的对称变换： yf xyf x) 将 yf x 图像绕 y 轴翻折 180（整体翻折）（对三角函数来说：图像关于x 轴对称） yf xyf x 将 yf x 图像绕 x 轴翻折 180（整体翻折）（对三角函数来说：图像关于y 轴对称） yf xyf x将 yf x 图像在 y 轴右侧保留, 并把右侧图像绕 y 轴翻折到左侧（偶函数局部翻折） yfxyf x 保留 yf x 在 x 轴上方图像, x

11、 轴下方图像绕x 轴翻折上去（局部翻动） 四、三角恒等变换1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式：1 ）sinsincossincos2 ）sinsincossincos3 ）coscoscossinsin4 ）coscoscossinsin5 ）tantantant ant ant an1t ant a n1tantan6 ）tantantant ant ant a n1t ant an7asin1bcostan2=atan2b sin 其中 , 帮助角所在象限由点a, b 所在的象限打算 ,sinba2b2,cosaa2b2, tanb,该法也叫合一变形 .a81 1tan tantan4

12、1tan1tantan42. 二倍角公式（1） sin 2a2 sinacosa（2） cos 2acos2 asin 2 a1 2 sin 2 a2 cos2 a1（ 3）tan 2a2 tan a1tan 2 a3. 降幂公式：cos2 a1cos2a（ 2）sin2 a1cos2a（ 1）224. 升幂公式（1） 1cos2 cos22（ 2） 1cos2sin 22（3） 1sinsin2cos22（ 4） 1sin 2cos2（5） sin2 sincos225. 半角公式 （符号的挑选由所在的象限确定）2（1）sin a21cosa,2（ 2）cosa21cosa,2（3）atan

13、21cosa1cosasin a1cos a1 a sin a6. 万能公式 :（1） sin2 tan21tan22,（ 2）cos1tan22 ,1tan22（3） tan2 tan22.1 tan27. 三角变换：三角变换是运算化简过程中运用较多的变换,提高三角变换才能,要学会创设条件, 敏捷运用三角公式,把握运算、化简的方法技能；（ 1） 角的变换：角之间的和差、倍半、互补、互余等关系对角变换,仍可作添加、删除角的恒等变形（ 2） 函数名称变换：三角变形中经常需要变函数名称为同名函数；采纳公式：asinbcosa2b2 sin 其中cosaa 2b2,sinba2b2 ,比ysin x

14、如：3 cos x123 2 1213 2sin x3123 2cos x212sin x3 cos x22sinxcos3cos x sin 32 sin x 3（ 3）留意“凑角”运用：,12例如： 已知 、 3,4 , sin3 ,sin512413,就 cos.4（ 4）常数代换：在三角函数运算、求值、证明中有时候需将常数转化为三角函数,特别是常数“ 1”可转化为“sin 2cos2”（ 5）幂的变换：对次数较高的三角函数式一般采纳降幂处理,有时需要升幂例如：1cosa常用升幂化为有理式；（ 6）公式变形：三角公式是变换的依据,应娴熟把握三角公式的顺用、逆用及变形；（ 7）结构变化：在

15、三角变换中经常对条件、结论的结构进行调整,或重新分组,或移项,或变乘为除, 或求差等等； 在形式上有时需要和差与积的互化、分解因式、 配方等；（ 8）消元法：假如所要证明的式子中不含已知条件中的某些变量,可用此法（ 9）思路变换：假如一种思路无法再走下去,试着转变自己的思路,通过分析比较去挑选更合适、简捷的方法去解题目；（ 10）利用方程思想解三角函数；如对于以下三个式子：sin acosa, sin acosasin acosa ,已知其中一个式子的值,其余二式均可求出,且必要时可以换元；8. 函数的最值 （ 几种常见的函数及其最值的求法）： ya sin xb （或a cos xb 型：利

16、用三角函数的值域,须留意对字母的争论 ya sin xb cosx 型：引进帮助角化成ya2b2 sinx 再利用有界性 ya sin 2 xbsin xc 型：配方后求二次函数的最值,应留意sin x1的约束 ya sin x c sin xb 型：反解出dsinx ,化归为sin x1解决 ya sin xcos xbsin xcos xc 型：常用到换元法：tsin xcosx ,但须留意 t 的取值范畴： t2 ；9. 三角形中常用的关系：ABCsin Asin BC ,cos AcosBC ,sin2cos,2sin 2 Asin 2 BC ,cos 2 Acos 2 BC10. 常见数据：sin15cos7562 ,sin75cos15462 ,423 ,tan 7523tan15,