2022年关于高级高中数学不等式知识点总结归纳教师版.docx

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1、精品word学习资料可编辑资料- - - - - - - - - - - - - - - -高中数学不等式专题老师版一、高考动态考试内容：不等式不等式的基本性质不等式的证明不等式的解法含肯定值的不等式 考试要求：（ 1）懂得不等式的性质及其证明（ 2）把握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,并会简洁的应用（ 3）把握分析法、综合法、比较法证明简洁的不等式（ 4）把握简洁不等式的解法（ 5）懂得不等式 a- b a+b a + b.二、 不 等 式 学问要点1. 不等式的基本概念- - -细心整理 - - - 欢迎下载 - - -第 14 页,共 13 页（ 1）

2、不等（等）号的定义：ab0ab; ab0ab; ab0ab.（ 2） 不等式的分类：肯定不等式；条件不等式；冲突不等式.（ 3） 同向不等式与异向不等式 .（ 4） 同解不等式与不等式的同解变形.2. 不等式的基本性质（ 1） abba （对称性）（ 2） ab, bcac （传递性）（ 3） abacbc （加法单调性）（ 4） ab, cdacbd （同向不等式相加）（ 5） ab, cda cbd （异向不等式相减）（ 6） a.（ 7） ab, c0b, c0acbcacbc （乘法单调性）（ 8） ab 0, cd0acbd（同向不等式相乘）9 ab0,0cdab （异向不等式相除）

3、cd10ab, ab01 1 （倒数关系） ab（ 11） ab0anb n nZ , 且n1 （平方法就）（ 12） ab0n an bnZ,且n1 （开方法就）3. 几个重要不等式（ 1） 如aR,就 | a |0, a 20（ 2）如a、bR ,就a 2b 22ab或a 2b 22 | ab |2ab（当仅当 a=b 时取等号）（ 3）假如 a, b 都是正数,那么abab. （当仅当 a=b 时取等号）2极值定理：如x, yR, xyS, xyP, 就：1 假如 P是定值 ,那么当 x=y 时, S 的值最小；2 假如 S是定值 ,那么当 x=y 时, P 的值最大 .利用极值定理求最

4、值的必要条件：一正、二定、三相等 .(4) 如a、b、cR,就 abc33 abc （当仅当 a=b=c 时取等号）(5) 如ab0, 就 baab2 （当仅当 a=b 时取等号）（ 7） 如a、bR, 就| a |b | | ab | |a | b |4. 几个着名不等式（1）平均不等式：假如 a, b 都是正数,那么2aba ba2b （当仅当2.1122aba=b 时取等号）即：平方平均算术平均几何平均调和平均（a、b 为正数）：特殊地, ab ab 2a 2b 2 （当 a = b 时, ab 2a 2b 2ab）a2n2222a1幂平均不等式：22.21 aa1nna2.a 2注：例

5、如：acbd 2 a 2b 2 c 2d 2 .常用不等式的放缩法：111p 1 p111 n2nn1nn1n 2n n1n1n n1n1p1p nn12n1nn1nn1n1（ 2）柯西不等式：如a1 ,a 2 , a3 , anR,b1 ,b 2 ,b3, bnR;就（ a ba ba ba b 2a 2a 2a 2a 2 b 2b 2b2b 2 1 12 23 3n n123n123n当且仅当 a1b1a 2a 3b2b3an 时取等号bn（ 3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数如定义在某区间上的函数fx,对于定义域中任意两点x1, x2 x1x2 , 有就称 fx为凸（或凹）函数 .5

6、. 不等式证明的几种常用方法比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.6. 不等式的解法（ 1）整式不等式的解法（根轴法）.步骤：正化,求根,标轴,穿线（偶重根打结）,定解.特例 一元一次不等式 axb 解的争论；2一元二次不等式 ax +bx+c0 a 0 解的争论 .（ 2）分式不等式的解法：先移项通分标准化,就（ 3）无理不等式：转化为有理不等式求解（ 4） . 指数不等式：转化为代数不等式（ 5）对数不等式：转化为代数不等式（ 6）含肯定值不等式1 应用分类争论思想去肯定值；2 应用数形思想；3 应用化归思想等价转化注：常用不等式的解法举例（x 为正数）： x1x 21

7、2x1x1x1 2 3422 3272 x21x 2 1x 2 1 2 34y2 3223279 yx1x 2 y 2类似于 ysinx cos 2 xsinx1sin2 x , | x111| | x | x与 同号,故取等 2 xxx三、利用均值不等式求最值的方法均值不等式 abab a20,b0, 当且仅当 ab 时等号成立） 是一个重要的不等式,利用它可以求解函数最值问题；对于有些题目,可以直接利用公式求解；但是有些题目必需进行必要的变形才能利用均值不等式求解；下面是一些常用的变形方法；一、配凑1. 凑系数例 1. 当 0x4 时,求 yx82 x 的最大值；解析：由 0x4 知, 8

8、2x0,利用均值不等式求最值,必需和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定值；留意到2x82x8 为定值,故只需将 yx82x 凑上一个系数即可；当且仅当 2x82x ,即 x2 时取等号；所以当 x 2 时, yx82x 的最大值为 8；评注：此题无法直接运用均值不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用均值不等式求最大值；2. 凑项例 2. 已知 x5 ,求函数 f4 x4 x214x5的最大值；解析：由题意知 4 x50,第一要调整符号,又 4 x21 4x不是定值,故5需对 4 x2 进行凑项才能得到定值； xf x4 x5 ,54 x412054 x13254

9、x132314 x554 x54 x当且仅当 54x154 x,即 x1 时等号成立；评注：此题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值；3. 分别例 3. 求 yx27 x10 x1) 的值域；x1解析：此题看似无法运用均值不等式,不妨将分子配方凑出含有（x 1）的项,再将其分别；当 x10 ,即 x1 时y2x41x159 （当且仅当 x 1 时取“”号）；当 x10 ,即 x1 时y52 x141（当且仅当 x 3 时取“”号）；x1x 27x yx110 x 1 的值域为 ,1 9 , ；评注： 分式函数求最值, 通常化成 ymg xAg xB A0, m0 ,gx 恒正或恒负

10、的形式,然后运用均值不等式来求最值；二、整体代换例 4. 已知 a0, b0, a2b1 ,求 t11 的最小值；ab解法 1：不妨将 11 乘以 1,而 1 用 a 2b 代换；ab当且仅当 2baa 时取等号,由b2baa21ab,得2a2b1b12a21即2b12时, t11 的最小值为 322 ；ab解法 2：将 11 分子中的 1 用 aab2b 代换；评注：此题奇妙运用“ 1”的代换,得到 t32ba ,而 2b 与 a 的积为定值,即可用均值不等式求得 t三、换元11 的最小值；ababab例 5. 求函数 yx 2 x2 的最大值；5解析：变量代换,令 tx2 ,就 xt 2当

11、 t 0 时, y 02t0,就 yt2t 21当t0 时, y12t1 t1222t 14 t当且仅当 2t1 ,即 t2时取等号；t故 x3 时, y 222max；4评注：此题通过换元法使问题得到了简化,而且将问题转化为熟识的分式型函数的求最值问题,从而为构造积为定值制造有利条件；四、取平方例 6. 求函数 y2x152 x 12x5 的最大值；2解析：留意到 2x1与52 x 的和为定值；又 y0 ,所以 0y22当且仅当 2 x152 x ,即 x3 时取等号；2故 ymax22 ；评注：此题将解析式两边平方构造出“和为定值”,为利用均值不等式制造了条件；总之,我们利用均值不等式求最

12、值时,肯定要留意“一正二定三相等”,同时仍要留意一些变形技巧,积极制造条件利用均值不等式；高中数学一轮复习专讲专练 （教材回扣 +考点分类 +课堂内外 +限时训练）：基本不等式一、挑选题1如 a 0,b0,且 ln a b 0,就111 的最小值是 abA. 4B 1C4D 8解析： 由 a0,b 0, ln a b 0,得a b 1, a 0, b 0.11ab111故a bab aba b 224.1221当且仅当 ab2时,上式取等号 .答案： C2. 已知不等式 xy1a xy9对任意正实数 x,y 恒成立,就正实数 a 的最小值为 A2B 4C9D 1 6解析： xy1a xy 1x

13、yy axa. x 0, y0, a 0, 1axy a1 a 2a. yx由 91 a2a,得 a2a80, a4a2 0. a 0, a2, a4, a 的最小值为 4.答案： Bx3. 已知函数 f x lg 5x 4 m的值域为 R,就 m的取值范畴是 5A 4, B 4, C , 4 D , 4x4x4解析： 设 g x 5故 m 4,应选 D.答案： D 5x m,由题意 g x 的图像与 x 轴有交点,而 5 5x4,4. 当点 x,y 在直线 x3y 2 0 上移动时,表达式 3x 27y 1 的最小值为A3B 5C1D 7解析： 方法一：由 x3y 2 0,得 3y x 2.

14、 3x 27y 1 3x 33y 1 3x3 x 2 1 3x9 3x 1x923 3x1 7.x9x当且仅当 3 3x,即 3 3,即 x 1 时取得等号xyx3yx3y2方法二： 3答案： D27 1 3 3 12 3 3 1 23 1 7.5已知 x 0, y 0,x2y 2xy8,就 x 2y 的最小值是 A3B 4911C. 2D. 2解析： 2xyx2 y x2y22,2原式可化为 x2y 4 x 2y 320.又 x 0, y 0, x2y4. 当 x2,y 1 时取等号 答案： Bxy1162022苍山调研 已知 x 0,y 0,lg2是A2B 22C4D 23x 3yxy解析

15、： 由 lg2 lg8 lg2 ,得 lg2 lg2.lg8 lg2 ,就x 3y的最小值1111x3y x 3y 1, 3 x 3y x3y 2 4.xy答案： C二、填空题2113yx27设 x、yR,且 xy0,就 x y2x2 4y的最小值为2112221解析： x y2x2 4y 1 4 4x y x2y2 1 4249.2212当且仅当 4x y x2y2 时等号成立,即 | xy| 2 时等号成立 .答案： 982022台州调研 如实数 a,b 满意 ab4ab1 0 a 1 ,就 a 1 b 2 的最小值为 解析： ab 4ab 1 0, b4a 1a1 ,ab4ab 1. a

16、 1 b 2 ab2ab2 6a 2b 14a 1 6a 6aa 1 2 14. a 1.3 2a 1 16 6a 8 1a 16 6 a1 a 115. a 1, a 10.原式 6 a 1 6a1152 66 1527.2当且仅当 a 1 1,即 a 2 时等号成立最小值为 27.答案： 2792022聊城质检 经观测,某大路段在某时段内的车流量y 千辆/ 小时920v与汽车的平均速度v 千米/ 小时 之间有函数关系： yv2 3v 1 600 v0 ,在该时段内,当车流量 y 最大时,汽车的平均速度v千米/ 小时 解析： v0, y92092092011.08 ,1 600v v 31

17、6002v v 380 3当且仅当 v答案： 40三、解答题1 600v,即 v40 千米/ 小时时取等号 .10已知 x0,y 0, z 0,且 xyz 1.149求证：x yz36.解析： x0, y 0,z0,且 xyz 1,14 xy9z xyz149xyz14y 4xyxz 9xzx4z9y yz14 2y 4x x y 2z 9xx z 24z9yy z 14 4 6 12 36.21 21 2当且仅当 x y 49z ,111即 x 6,y3,z时等号成立2149 x yz36.11某学校拟建一块周长为400 m 的操场如下列图,操场的两头是半圆形, 中间区域是矩形,同学做操一般

18、支配在矩形区域,为了能让同学的做操区域尽可能大,试问如何设计矩形的长和宽2解析： 设中间矩形区域的长,宽分别为x m,y m, 中间的矩形区域面积为S m ,y就半圆的周长为2m. y操场周长为 400 m,所以 2x2 2 400,即 2x y4000 x 200,0 y400 112x y 220 000 S xy 22 x y 22 .2x y,由 2x y 400,解得x 100,200y .当且仅当x100,200y 时等号成立即把矩形的长和宽分别设计为100 m 和200 m 时,矩 形区域面积最大12已知 x,y 都是正实数,且xy 3xy 5 0.(1) 求 xy 的最小值；(

19、2) 求 xy 的最小值解析： 1 由 xy 3xy5 0,得 xy 5 3xy. 2xy5 xy 5 3xy. 3xy 2xy 5 0. xy 13xy5 0.5xy3,即 xy5259 ,等号成立的条件是 x y.25此时 xy,故 xy 的最小值是. 392 方法一： xy 5 3xy 3 xy 23 x y 222 4,3 xy 4 xy 50.2即 3 xy 4 xy 200.即 xy 23xy 10 0.10 x y 3 .5等号成立的条件是 xy,即 xy3时取得10故 xy 的最小值为 3 .25方法二：由 1 知, xy5 3xy ,且 xy min 9 ,25 3 xy min 3 .25105 xy min 3 5,此时 xy .33