2022年全国初中数学竞赛试题及答案.docx

《2022年全国初中数学竞赛试题及答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年全国初中数学竞赛试题及答案.docx（12页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精品学习资源2002 年全国中学数学竞赛试卷2222已知a 1999x 2000， b 1999x 2001 ，c 1999x 2002 ，就多项式 a b c ab bc ca 的值为【】A、0B、1C、2D、33. 如图，点E、 F 分别是矩形ABCD的边 AB、 BC 的中点，连AF、CE 交于点 G，就欢迎下载精品学习资源S四边形 AGCDS矩形 ABCD等于【】欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源54A、B、65D32C 、D、43CGF欢迎下载精品学习资源2AEB欢迎下载精品学习资源24. 设 a、b、 c 为实数， x a 2b， y b 2c233， z c 2a，就 x、

2、y、 z3欢迎下载精品学习资源中至少有一个值【】A、大于 0B、等于 0C、不大于 0D、小于 025. 设关于x 的方程 ax a 2x 9a0，有两个不等的实数根x1、x2，且 x 1 1x 2， 那么 a 的取值范畴是【】欢迎下载精品学习资源22A、a752B 、a5C 、a22D、711 a 0欢迎下载精品学习资源6. A1A2A3 A9 是一个正九边形，A1A2 a， A1A3 b，就 A1A5 等于【】欢迎下载精品学习资源22A、 abB 、 aabbC 、 1 a2bD 、a b欢迎下载精品学习资源22二、填空题27. 设 x1、x2 是关于 x 的一元二次方程 x ax a 2

3、 的两个实数根，就 x 1 2x2x 2 2x1的最大值为；8. 已知a、b为抛物线y x cx c d 2与 x轴交点的横坐标，a b，就accb 的值为；9. 如图，在 ABC中， ABC 600，点 P 是 ABC 内的一点，使得APB BPC CPA，且 PA 8， PC 6，就 PB；APCB210. 如图，大圆 O 的直径 AB acm，分别以 OA、OB为直径作 O1、 O2，并在 O 与 O1和 O2 的间隙间作两个等圆 O3 和 O4，这些圆相互内切或外切，就四边形 O1O2O3O4 的面积为 cm ；O3OAO1O2B O4欢迎下载精品学习资源11. 满意 n 2 n 1

4、n 2 1 的整数 n 有个；12. 某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏本，售价的折扣（即降价的百分数）不得超过d%，就 d 可以用 p 表示为；三、解答题欢迎下载精品学习资源13. 某项工程，假如由甲、乙两队承包，2 2 天完成，需付180000 元；由乙、丙两队承5欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源3包， 3天完成，需付 150000 元；由甲、丙两队承包，462天完成，需付 160000 元；现7欢迎下载精品学习资源在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队的承包费用最少？14. 如图，圆内接六边形ABCDEF满意 AB CDEF，且对角线 AD、

5、BE、CF 交于一点 Q，欢迎下载精品学习资源QD设 AD与 CE的交点为 P；1 求证：EDACCP（ 2）求证：ECPEAC 2CE 2欢迎下载精品学习资源ABQPEDFC216假如对一切 x 的整数值， x 的二次三项式ax bx c 的值都是平方数（即整数的平方）；证明：（ 1） 2a、2b、c 都是整数；（ 2） a、b、c 都是整数，并且 c 是平方数；反2过来，假如（ 2）成立，是否对一切的x 的整数值， x 的二次三项式 ax bx c 的值都是平方数？欢迎下载精品学习资源2002 年全国中学数学竞赛试卷一、 挑选题（每道题 5 分，共 30 分）欢迎下载精品学习资源221.设

6、 ab 0， a b 4ab，就 aab 的值为（）；b欢迎下载精品学习资源A、 3B、 6C、2D、3欢迎下载精品学习资源答案： A. 由题意 :0，且 aa2b=3 ；b欢迎下载精品学习资源2222.已知 a 1999x 2000， b 1999x 2001 ，c 1999x 2002，就多项式 a b c ab bc ca 的值为 ；A、0B、 1C、2D、 3欢迎下载精品学习资源答案：原式 =a-b2 +b-c2+c-a2=1+1+4=3 ；欢迎下载精品学习资源3. 如图，点 E、 F 分别是矩形ABCD的边 AB、BC 的中点，连 AF、 CE 交于点 G，就欢迎下载精品学习资源S四

7、边形 AGCDS矩形 ABCD等于 ；欢迎下载精品学习资源DC欢迎下载精品学习资源A、 5B、64C、53 D、 24 3G欢迎下载精品学习资源5 / 11AEB欢迎下载精品学习资源答案：设 S 矩形 ABCD=1；由于 E、F 是矩形 ABCD中边 AB、BC的中点，所以 S GCF=S GBF，设为 x； S GAE=S GBE，设为 y；就,得 2x+2y=.所以 S 四边形 AGCD=. 从而 S 四边形 AGCD S 矩形 ABCD=23.4. 设 a、b、c 为实数， xa2 2b， y b22c，z c2 2a，就 x、y、z333中至少有一个值 ；2222A、大于 0B、等于

8、0C、不大于 0D、小于 0欢迎下载精品学习资源22答案：由题意:x+y+z=a+b +c-2a-2b-2c+=a-1+b-1+c-1+-30, 所以欢迎下载精品学习资源x、y、z 中至少有一 个大于 0.25. 设关于x 的方程 ax a 2x 9a 0，有两个不等的实数根x1、x2 ，且 x 1 1x 2，那么 a 的取值范畴是 ；欢迎下载精品学习资源2A、 a72B、a52C、a522D、 a 0711欢迎下载精品学习资源答案：由题知 :x 1-1x2-10,即 x1 x2-x 1+x 2+10, 代入韦达定理并整理得0 知 a 为一切实数 . 由韦达定理 , 得原式 =9x 1x 2-

9、2x 1+x2 =-2a2+9a-18 -.8. 已知 a、 b 为抛物线y x cx c d 2 与 x轴交点的横坐标，a b，就accb 的值为；答案：由题知 :a-ca-c-d-2=0, b-cb-c-d-2=0.所以 a-c 和 b-c 是方程 tt-A欢迎下载精品学习资源d-2=0 即 t2-dt-2=0的两实根 . 所以 a-cb-c= -20.而 ab, 即 a-cb-c.所欢迎下载精品学习资源以 a-c0.所以原式 =b-a.PC09. 如图，在 ABC 中， ABC 60 ，点 P 是 ABC 内的一点，使得APB BPCBCPA，且 PA 8， PC 6，就 PB；欢迎下载

10、精品学习资源答案：易证 : PAB BCP,所以=, 得 PB=4210. 如图，大圆 O 的直径 AB acm，分别以 OA、OB为直径作 O1、 O2，并在 O 与 O1和 O2 的间隙间作两个等圆 O3 和 O4，这些圆相互内切或外切，就四边形 O1O2O3O4的面积为 cm；答 案 ： 设 O3 的 半 径 为 x, 就 O1O3=+x ， O1O=,O 3O=-x.所 以 2222欢迎下载精品学习资源+x= +（- x） , 解得 x=, 易得菱形 O1O3O2O4 的面积为a .n2O3欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2O11. 满意 n n 1 1 的整数 n 有个；AO

11、1O2B O4欢迎下载精品学习资源2答案：由题设得n -n-1= 1, 有 5 个根 :0,1,-1,2.和-212. 某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏本，售价的折扣（即降价的百分数）不得超过d%，就 d 可以用 p 表示为；答案：设成本为 a, 就 a1+p%1-d%=a,得 d=.三、 解答题（每道题 20 分，共 60 分）欢迎下载精品学习资源13. 某项工程，假如由甲、乙两队承包，2 2 天完成，需付 180000 元；由乙、丙两队承5欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源3包， 3天完成，需付150000 元；由甲、丙两队承包，462天完成，需付1600007

12、欢迎下载精品学习资源元；现在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队的承包费用最少？欢迎下载精品学习资源答案：设单独完成 , 甲、乙、丙各需a、b、c 天. 就解得 a=4,b=6,c=10 （ c7, 舍去 .又设每天付给甲、乙、丙的费用分别为x、y、z 元, 就y180000z150000x16000012 x515 y320 z7解得 x=45500,y=29500,所以甲 4 天完成的总费用为182000 元, 乙 6 天完成的总费用为177000 元, 所以由乙承包 .14. 如图，圆内接六边形ABCDEF满意 AB CD EF，且对角线 AD、BE、CF 交于一点 Q，

13、A设 AD与 CE的交点为 P；B欢迎下载精品学习资源QDACCPAC 2FQC欢迎下载精品学习资源(1) 求证：（ 2）求证：2欢迎下载精品学习资源EDECPECEPED欢迎下载精品学习资源答案： 1 易证 3= 4, 所以 AEC= DEQ,而 ACE= 2,所以 ACE QDE.可得结论成立 .(2) 分析 : 易证 6=4, 所以 FC ED,所以=所以只需证=,由1 有=；2所以只需证=, 即 QD=CQ EQ.这只需证 CQD EQD.而由题设有 7= 3+ 5= 4+5,由1 有 9= EAC,而 EAC= 8= QCD,所以可证得 CQD EQD.215. 假如对一切x 的整数

14、值， x 的二次三项式 ax bxc 的值都是平方数（即整数的平2方）；证明：（1） 2a、2b、c都是整数；（ 2） a、b、c 都是整数，并且c 是平方数；反过来，假如（ 2）成立，是否对一切的x 的整数值， x 的二次三项式ax bx c 的值都是平方数？答案： 1 由题设知 , 可分别令 x=0、-1 、1，得欢迎下载精品学习资源2就有 c=m,2a=n2+k2,2b=n2-k 2均为整数 . 其中 m、n、k 为整数 欢迎下载精品学习资源2 假设 2b 为奇数 2t+1t为整数 .欢迎下载精品学习资源取 x=4 得 16a+4b+m2=h2h 为整数 .因 2a 为整数 , 从而 1

15、6a 可被 4 整除 . 所以 16a+4b=16a+4t+2除以 4 余 2. 所以 16a+4b 为偶数 . 又由于 16a+4b=h+mh-m.如 h、m的奇偶性不同 , 就 16a+4b=h+mh-m 为奇数 , 这与冲突 .如 h、m的奇偶性相同 , 就 16a+4b=h+mh-m 能被 4 整除, 从而 2b 为偶数 , 这与假设冲突 .所以假设不成立 , 即 2b 应为偶数 , 从而 b 为整数 .欢迎下载精品学习资源所以 a=k2+b-c 为整数 .欢迎下载精品学习资源反之 , 如 a、 b、c 都是整数 , 且 c 是平方数 , 就对一切 x 的整数值 ,x的二次三项式ax2+bx+c 的值不肯定是平方数 . 例如 : 取 a=b=x=c=1, 就 ax2+bx+c=3, 不是平方数 .欢迎下载