2022年九级数学上册专题突破讲练巧添辅助线证相似三角形习题新版青岛版.pdf

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1、学习好资料欢迎下载专题课件巧添辅助线证相似三角形一、添加平行线构造“A” 、 “8”型1. 定理： 平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。（1）定理的基本图形：（2）燕尾图形辅助线的添加方法GFEDCBAGFEDCBAGFEDCBADEFCBA注意：（1）选择构造平行线的点的原则为不破坏已知条件中的数量关系；（2）一般会出现两组三角形相似，注意相似三角形的对应边；（3）通过线段比例之间的等量代换求解。2. 方法归纳：（1）遇燕尾，作平行，构造“A”字“ 8”字一般行。（2）引平行线应注意以下几点：选点：一般选已知（或求证） 中线段的比的前项或后项，

2、以同一直线的线段的端点作为引平行线的点。引平行线时， 不破坏已知条件中的数量关系，尽量使较多已知线段、求证线段成比例。二、作垂线构造相似直角三角形1. 基本图形精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载2. 所用知识点（1）等量代换等角的余角相等。（2）相似三角形对应高线的比等于相似比。注意：（1）相似三角形中对应边要找准。（2）利用高线解决问题，一般会用到设未知数，列方程的思想。例题平行四边形ABCD中，CEAE，CF

3、AF，求证：2AB AEAD AFAC。解析： 作BMAC于点M，可证ABMACE，则AB?AEAM?AC，易得BCMCAF，则BC?AFCM?AC，故得出结论。答案： 作BMAC于点M，则AMBAEC90，BAMCAE，ABMACE，AB?AEAM?AC，BCMCAF，易得BCMCAF，BC?AFCM?AC，2?AB AEBC AFAMACCMACAC AMCMAC。ADBC，2AB AEAD AFAC。点拨： 本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，注意辅助线的添加。【总结提高】本节所讲授内容中， 主要考查添加辅助线构造相似三角形来解决线段、角度之间的关系。需注意以下四点：（1

4、）添加辅助线的原则；（2）构造出的基本模型；（3）相似三角形中的对应关系。（4）复杂问题中等量代换的灵活应用。例题用一根手指顶住一个平面图形内的某点，如果平面图形能保持平衡，那么这个点叫这个平面图形的重心，平行四边形的重心是对角线的交点，三角形的重心是三条中线的交精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载点。请你用下图证明三角形的重心分一条中线所成的两条线段的比为1：2，即在ABC中，BE，CD是两条中线，它们交于G，求

5、证：DG：CGEG：BG1：2。解析： 连接AG，交DE于点H，延长AG交BC于点F。根据三角形中位线定理得到12DEBC，则12HEBEF。通过HEGFBG的对应边成比例证得结论。答案： 如图，连接AG，交DE于点H，延长AG交BC于点F。点G是ABC的重心，点F是BC的中点。BFFC。D、E是AB、AC的中点，DE是ABC的中位线，DEBC，12DEBC，HEBF，12HEBEF。HEGFBG，12GEHEGBBF，即EG：BG1：2 同理DG：CG1：2。12DG CGEG BG:。点拨：本题考查了三角形的重心定理的证明，作辅助线构造三角形的中位线和相似三角形是解题的关键，也是本题的难点

6、。本定理要求学生能记住，并熟练应用。（答题时间： 30 分钟）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载一、选择题*1. （绥化）如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE：EC2：3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则:DEFEBFABFSSS（）A. 2 ：5：23 B. 4：9：24 C. 2：3：5 D. 4 ：10：25 *2. 如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点，点G

7、、H在DC边上，且13GHDC。若AB15，BC16，则图中阴影部分的面积是（）A. 4 0 B. 60 C. 80 D. 70 *3. 如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q。求BP：PQ：QR（） 。A.3：1：2 B. 5 ：3：4 C. 6 ：5：4 D. 4 ：1：2 *4. 如图，在ABC中，D为AC上一点，CD2DA，BAC45，BDC60，CEBD于E，连接AE，过E作EFCD交BC于F。下列结论： BEEC；BC2AC?DC； SBEC：S BEA2：1；2EFAD；264sinBCA。其中正确结论的个数有（）A.

8、 2 个B. 3 个C. 4 个D. 5 个二、填空题精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载*5. （武清区一模）如图，RtABC中，BAC90，AB3，AC4，点P为BC上任意一点，连接PA， 以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC， 连接PQ， 则PQ的最小值为。*6. 如图，RtABC中，ACBC，AD平分BAC交BC于点D，DEAD交AB于点E，M为AE的中点，BFBC交CM的延长线于点F，BD4，CD3。下

9、列结论：AEDADC；34DEDA；AC?BE12；3BF4AC，其中结论正确的是。*7. （温州一模）如图，在RtABC中，ABC90，以点C为圆心作弧，分别交AC、CB的延长线于点D、F，连结DF，交AB于点E，已知940，BEFCDFSS，tanDFC 2，则BC，ABCS。*8. （嘉兴）如图，在RtABC中，ABC90，BABC。点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG丄CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF。给出以下四个结论：AGFGABFB；点F是GE的中点；23AFAB；5ABCBDFSS，其中正确结论的序号是。精品资料 - - - 欢

10、迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载三、解答题9. 如图，AB为半圆的直径，D为AB上一点，分别在半圆上取点E、F，使EADA，FBDB，过D作AB的垂线，交半圆于C。求证：CD平分EF。*10. 在ABC中，C90，AC4，BC3。（1）如图 1，四边形DEFG为ABC的内接正方形，求正方形的边长；（2）如图 2，三角形内并排的两个相等的正方形，它们组成的矩形内接于ABC，求正方形的边长；（3）如图 3，三角形内并排的三个相等的正方形，

11、它们组成的矩形内接于ABC，求正方形的边长；（4）如图 4，三角形内并排的n个相等的正方形，它们组成的矩形内接于ABC，求正方形的边长。*11. （丰台区二模）阅读下列材料：已知：如图1，在RtABC中，C90，AC4，BC3，P为AC边上的一动点，以PB，PA为边构造平行四边形APBQ，求对角线PQ的最小值及此时APAC的值是多少。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载在解决这个问题时，小明联想到在学习平行线间的距

12、离时所了解的知识：端点分别在两条平行线上的所有线段中，垂直于平行线的线段最短。进而，小明构造出了如图2 的辅助线，并求得PQ的最小值为3。参考小明的做法，解决以下问题：（1）继续完成阅读材料中的问题：当PQ的长度最小时，APAC；（2）如图 3，延长PA到点E，使AEnPA（n为大于 0 的常数）。以PE，PB为边作平行四边形PBQE，那么对角线PQ的最小值为，此时APAC；（3）如图 4，如果P为AB边上的一动点，延长PA到点E，使AEnPA（n为大于 0 的常数）， 以PE，PC为边作平行四边形PCQE， 那么对角线PQ的最小值为， 此时APAC。*12. 若已知：如图，ABBD，CDBD

13、，垂足分别为B、D，AD和BC相交于点E，EFBD，垂足为F，我们可以证明111ABCDEF成立（不要求考生证明）。若将图中的垂线改为斜交，如图，ABCD，AD，BC相交于点E，过点E作EFAB交BD于点F，则：（1）111ABCDEF还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；（2）请找出,和ABDBEDBDCSSS间的关系式，并给出证明。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载精品资料 - - - 欢迎

14、下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载1. D解析：根据平行四边形的性质求出DCAB，DCAB，求出DE：AB2： 5，根据相似三角形的判定推出DEFBAF，求出DEF和ABF的面积比，根据三角形的面积公式求出DEF和EBF的面积比，即可求出答案。2. D 解析：连接EF，过O作MNDC于N，交EF于M，求出四边形DEFC是矩形，推出EFCD，EFCD15，证EOFGOH，推出3EFOMGHON，求出ON2，OM6，根据阴影部分的面积S矩形

15、DEFCSEFOSHOG，分别求出，代入即可。3. A 解析：由四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，可证得PBCRBE，继而可 得12P CB CR EB E，PBPR， 又 由 点R为DE的 中 点 ， PCQRDQ， 可 得12PQPCPCQRDRRE，继而可求得BP：PQ：QR的值。4. C 解析：作AHBD的延长线于H，作BGCD于G，根据条件利用直角三角形的性质求出EBAEAB，就可以得出BEAE。由ECDEAD，得出CEAE。可以得出是正确的，设参数利用勾股定理就可以求出BC的值 ，从而得出结论；根据等底的两三角形面积之比等于高之比，运用相似三角形的性质求出高的比就可以得

16、出结论；根据平行线的性质得出三角形相似，根据性质求出EF与AD的数量关系， 而得出结论； 根据三角函数值的定义建立直角三角形，用参数表示出相应边的值就可以求出结论。5.125解析：以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，由平行四边形的性质可知O是AC中点，PQ最短也就是PO最短，所以应该过O作BC的垂线PO，然后根据POC和ABC相似，利用相似三角形的性质即可求出PQ的最小值。解题的关键是作高线构造各种相似三角形。6. 解析：AED90EAD，ADC90DAC，EADDAC；易证ADEACD，得DE：DADC：AC3：AC，AC不一定等于4。由证 BED BDA ，得ACDCADEDBDBE，

17、得DCBDACBE12；连接DM，可证DMBFAC，得FM：MCBD：DC4：3；易证FMBCMA，得比例线段求解。7. 987,3解析：由在RtABC中，ABC90，tanDFC2，可得BE2BF，又由S BEF9，即可求得BF与BE的长，然后过点C作CHDF于点H，设DHh，可求得h的值，继而由勾股定理求得BC的长；首先过点D作DMBC于点M，利用三角形的面积求得DM的长，然后由相似三角形的对应边成比例，求得AB的长，继而求得答案。8. 解析：根据题意首先易证得AFGCFB，根据相似三角形的对应边成比例与BABC，继而证得AGFGABFB正确；由点D是AB的中点，易证得BC2BD，由等角的

18、余角相等，可得DBEBCD， 即可得12AGAB， 继而可得12FGBF； 即可得13AFAC，又由等腰直角三角形的性质，可得2ACAB，即可求得23AFAB；则可得6ABCBDFSS。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载9. 证明：如图，分别过点E、F作AB的垂线，G、H为垂足，连FA、EB。易知：2222?DBFBAB HBADAEAGAB，。两式相减得：22?DBADABHB AG， 即?D B A D A

19、BA B H B A G。于是：DBADHBAGDBHBADAG，或。DHGD。显然，EGCDFH。故CD平分EF。10. 解： （1）在图 1 中作CNAB，交GF于点M，交AB于点N。在RtABC中，AC4，BC3，AB5，CN125，GFAB，CGFCAB，CMGFCNAB，设正方形边长为x，则1251255xx，x6037；（2）在图 2 中作CNAB，交GF于点M，交AB于点N。GFAB，CGFCAB，CMGFCNAB，设每个正方形边长为x，则12251255xx，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - -

20、- - - -第 10 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载x6049；（3）在图 3 中作CNAB，交GF于点M，交AB于点N，GFAB，CGFCAB，CMGFCNAB，设每个正方形的边长为x，则12351255xx，x6061；（4）设每个正方形的边长为x，同理得到：1251255xnx，则x601225n。11. 解： （1）如图 2，四边形APBQ是平行四边形，APBQ，APBQ。QPAC，ACB90，APQC90。PQBC。PCBQ，PQBC，C90，四边形PCBQ是矩形。QBPC。APPC。12APAC。（2）如图 5，精品资料 - - -

21、欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载由题意可知：当QPAC时，PQ最短。QPAC，ACB90，APQC90。PQBC。四边形PBQE是平行四边形，EPBQ，EPBQ。PCBQ，PQBC，C90，四边形PCBQ是矩形。QBPC，PQBC3。EPPC。AEnPA，1PCEPEAAPnPAAPnAP。12ACAPPCAPnAPnAP。122APAPACnAPn。（3）过点C作CHAB，垂足为H，如图 6，由题意可知：当QPAB时，PQ最短。

22、QPAB，CHAB，APQAHC90。PQHC。四边形PCQE是平行四边形，EPCQ，EPCQ。PHCQ，PQHC，PHC90，四边形PHCQ是矩形。QCPH，PQHC。EPPH。AEnPA，1EPEAAPnPAAPnAP。221EHEPnAP。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载ACB90，BC3，AC 4，AB5。HACCAB，AHCACB90，AHCACB。AHHCACACCBAB。BC3，AC4，AB5，

23、4435AHHC。165AH，125HC。125PQHC，165EHAEAHnPA。16215EHnAPnPA。16225nn AP。16510APn。1644 510510APACnn。12. 解： （1）成立。证明：ABEF EFDFABDBCDEF EFBFCDDB1EFEFDFBFDBABCDDBDBDB111ABCDEF；（2）关系式为：111+=ABDBDCBEDSSS证明如下：分别过A作AMBD于M，过E作ENBD于N，过C作CKBD交BD的延长线于K。由题设可得：111+=AMCKEN精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载222+=BD AMBD CKBD EN即111+=111222BD AMBD CKBD EN又12BD?AMSABD，12BD?CKSBCD，12BD?ENSBED111+=ABDBDCBEDSSS。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 14 页 - - - - - - - - - -