2022年中考数学专题复习教学案一元二次方程根的判别式及根与系数的关系.pdf

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1、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系【课前热身】1. 方程（ 2x1） （ 3x+1）=x2+2 化为一般形式为_，其中 a=_， b=_，c=_2. 关于 x 的一元二次方程mx2+nx+m2+3m=0有一个根为零，则m的值等于 _3. 关于 x 的一元二次方程x2+mx+n=0的两个根为x1=1，x2=2，则 x2+mx+n分解因式的结果是_4.关于 x 的一元二次方程2x23xa2+1=0的一个根为2，则 a 的值是（） A1 B3 C3 D35.若关于 x 的一元二次方程（m 1）x2+5x+m23m+2=0的常数项为0，则 m的值等于（） A1 B2 C1 或 2 D0 【参考答案

2、】1. 5x2x3=0 5 1 32.3 3. （x1） （x+2）5.D 6.B 【考点聚焦】知识点：一元二次方程根的判别式、判别式与根的个数关系、判别式与根、韦达定理及其逆定理大纲要求 : 1. 掌握一元二次方程根的判别式，会判断常数系数一元二次方程根的情况. 对含有字母系数的由一元二次方程，会根据字母的取值范围判断根的情况，也会根据根的情况确定字母的取值范围；2. 掌握韦达定理及其简单的应用；3. 会在实数范围内把二次三项式分解因式；4. 会应用一元二次方程的根的判别式和韦达定理分析解决一些简单的综合性问题. 【备考兵法】考查重点与常见题型1. 利用根的判别式判别一元二次方程根的情况，有

3、关试题出现在选择题或填空题中，如：关精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 于 x 的方程 ax22x1 0 中，如果 a0一元二次方程002acbxax有两个实数根，即2,1x. （2）acb42=0一元二次方程有相等的实数根，即21xx. （3）acb420一元二次方程002acbxax实数根 . 2一元二次方程根与系数的关系若关于 x 的一元二次方程20(0)axbxca有两根分别为1x，2x， 那么21xx，精品资料 - - -

4、 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 21xx. 【 典例精析 】例 1 已知关于x的一元二次方程x2 + 2 （k1）x + k21 = 0有两个不相等的实数根（1）求实数k的取值范围；（2）0 可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由【分析】这是一道确定待定系数m的一元二次方程，?又讨论方程解的情况的优秀考题，需要考生具备分类讨论的思维能力【答案】（1） = 2（k1） 24（k21）= 4k28k + 4 4k2 + 4

5、= 8k + 8 原方程有两个不相等的实数根，8k + 8 0，解得k1，即实数k的取值范围是k1（2）假设 0 是方程的一个根，则代入得 02 + 2 （k1） 0 + k21 = 0 ，解得k = 1 或k = 1 （舍去）即当k = 1 时，0 就为原方程的一个根此时，原方程变为x24x = 0 ，解得x1 = 0 ，x2 = 4 ，所以它的另一个根是4例 2 已知下列 n（n为正整数）个关于x 的一元二次方程： x21=0 （1） x2+x2=0 （2） x2+2x3=0 （3） x2+（n1）xn=0 （n）（1）请解上述一元二次方程（1） ， （2） ， （ 3） ， （n） ；（

6、2）请你指出这n 个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可【分析】由具体到一般进行探究【答案】（1）（x+1） （x 1）=0，所以 x1=1，x2=1 （x+2） （x1）=0，所以 x1=2，x2=1 （x+3） （x1）=0，所以 x1=3，x2=1 （x+n） （x1）=0，所以 x1=n，x2=1精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - - （2）比如：共同特点是：都有一个根为1；都有一个根为负整数；两个根都是整数根等【点评】 本例

7、从教材要求的基本知识出发，探索具有某种特点的方程的解题规律及方程根与系数之间的关系，注重了对学生观察、类比及联想等数学思想方法的考查例 3 某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内沿前侧内墙保留 3m宽的空地，其他三侧内墙各保留1m宽的通道当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288m2？【答案】解法一：设矩形温室的宽为xm ，则长为 2xm，根据题意，得（x2） （2x4）=288解这个方程，得x1=10（不合题意，舍去） ， x2=14所以 x=14，2x=214=28答：当矩形温室的长为28m ，宽为 14m时，蔬菜种植区域的面积是288m2解法二

8、：设矩形温室的长为xm，则宽为12xm根据题意，得（12x2） （x4）=288解这个方程，得x1=20（不合题意，舍去） ， x2=28所以 x=2812x=1228=14答：当矩形温室的长为28m ，宽 为 14m时，蔬菜种植区域的面积是288m2【解析】 在一元二次方程的应用中，列一元二次方程解应用问题的步骤和解法与前面讲过的列方程解应用题的方法步骤相同，但在解题中心须注意所求出的方程的解一定要使实际问题有意义，凡不满足实际问题的解（虽然是原方程的解）一定要舍去【迎考精练】一、选择题1. 若a、b为方程式x24(x1)=1 的两根，且ab，则ba=_？A5 B 4 C1 D. 3 2.

9、定义：如果一元二次方程20(0)axbxca满足0abc，那么我们称这个方精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 程为“凤凰” 方程 . 已知20(0)axbxca是“凤凰” 方程， 且 有两个相等的实数根，则下列结论正确的是AacBabCbcDabc3. 若关于x的一元二次方程2210kxx有两个不相等的实数根，则k的取值范围是A.1k B.1k且0kC.1kD.1k且0k4. 关于x的一元二次方程2210 xmxm的两个实数根分别是

10、12xx、， 且22127xx，则212()xx的值是（）A1 B12 C 13 D 25 5. 关于x的方程2(2)20axax只有一解（相同解算一解），则a的值为（）A0aB2aC1aD0a或2a6. 设ab，是方程220090 xx的两个实数根，则22aab的值为（）A2006 B2007 C2008 D 2009 7设方程x24x1=0 的两个根为x1与x2，则x1x2的值是 ( )A4 B 1 C1D 0 8下列方程中，有两个不相等实数根的是（） A0122xx B0322xxC3322xx D0442xx9若方程2310 xx的两根为1x、2x，则1211xx的值为 ( ) A3

11、B 3 C13D1310若n（0n）是关于x的方程220 xmxn的根，则m+n的值为（）A.1 B.2 C.-1 D.-2 二、填空题1. 如果关于x的方程20 xxk（k为常数）有两个相等的实数根，那么k2. 关于 x 的一元二次方程02) 12(22kxkx有实数根，则k 的取值范围是。3. 一元二次方程230 xmx的一个根为1，则另一个根为精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 4. 已知关于x的一元二次方程02mxx有两个不

12、相等的实数根，则实数m的取值范围是三、解答题1. 已知12xx，是方程220 xxa的两个实数根，且12232xx（1）求12xx，及a的值；（2）求32111232xxxx 的值2已知：关于x的方程2210 xkx（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是1，求另一个根及k值3. 已知、 、分别是 ABC的三边， 其中 1， 4， 且关于 x 的方程042bxx有两个相等的实数根，试判断ABC的形状 . 4如图，已知二次函数22)(mkmxy的图象与x轴相交于两个不同的点1(0)A x，、2(0)B x ，与y轴的交点为C设ABC的外接圆的圆心为点P（1）求P与y轴的另一个

13、交点D的坐标；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - - （2）如果AB恰好为P的直径，且ABC的面积等于5，求m和k的值5已知关于x的函数21yaxx（a为常数）（1）若函数的图象与x轴恰有一个交点，求a的值；（2）若函数的图象是抛物线，且顶点始终在x轴上方，求a的取值范围【参考答案】选择题1.A 2.A 3.B 4.C 【解析】 本题考查一元二次方程根与系数的关系及根的判别式. 由题意知：1212.21xxmx xm又222121212

14、27xxxxx x22 217mm得11m，25m，而当5m时，原方程的判别式254 9110，此时方程无解，5m不合 题意精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 舍去 . 12121.3xxx x222121212414313xxxxx x，故选 C 本题易出错，学生易在求得11m或25m的两个值后，代入1212.21xxmx xm，求出22121212413xxxxx x或 11，易漏掉检验方程是否存在实根. 5. D【解析】本题考

15、查方程的有关知识，关于x的方程2(2)20axax只有一解，有两种情况，该方程是一元一次方程，此时0a，该方程是一元二次方程，方程有两个相等等的实数根，22420aa，解得2a，故选 D. 6. C 7. B 8. A 9. B 10. D 填空题1.412.49k3. 3 4.14m解答题1.解： （1）由题意，得12122232.xxxx，解得121212xx，所以12(12)(12)1axx（2）法一：由题意，得211210 xx所以32111232xxxx =32211111223xxxxxx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳

16、 - - - - - - - - - -第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - - =21112211211xxxx法二：由题意，得21121xx，所以32111232xxxx =11112(21)3(21)2xxxxx=2111122632xxxxx =1122(21)33xxx=1121242331211xxxxx2. 解： （1）2210 xkx，2242( 1)8kk，无论k取何值，2k 0，所以280k，即0，方程2210 xkx有两个不相等的实数根（2）设2210 xkx的另一个根为x，则12kx，1( 1)2x，解得：12x，1k，2210 xkx的另一个根

17、为12，k的值为 13. 解: 方程240 xxb有两个相等的实数根 =2( 4)40bb=4. c=4. b=c=4. ABC为等腰三角形 . 4. 解（ 1）易求得点C的坐标为(0)k，由题设可知12xx，是方程0)(22mkmx即022kmxx的两根，故21 22( 2)42mmkx， 所以12122xxmxxk?，如图 3，P与y轴的另一个交点为D，由于AB、CD是P的两条相交弦，设它们的交点为点O，连结DB，AOCDOC，则. 121kkkxxOCOBOAOD精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - -

18、 - -第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 由题意知点C在y轴的负半轴上，从而点D在y轴的正半轴上，所以点D的坐标为（ 0，1）（2）因为 AB CD ，AB又恰好为P的直径，则C、D关于点O对称，所以点C的坐标为(01)，即1k）又2222212112()4( 2 )4221ABxxxxx xmkmkm，所以21121 1522ABCSABOCm解得.2m5. 解： （1）当0a时，函数为1yx，它的图象显然与x轴只 有一个交点( 10)，当0a时，依题意得方程210axx有两等实数根1 40a，14a当0a或14a时函数图象与x轴恰有一个交点（2）依题意有4104aa分类讨论解得14a或0a当14a或0a时，抛物线顶点始终在x轴上方精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - - -