2022年人教A版高中数学选修1-1课时提升作业2.2.2双曲线的简单几何性质第2课时双曲线方程及性质的应用 .pdf

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1、温馨提示：此套题为Word版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭 Word文档返回原板块。课时提升作业 ( 十四 ) 双曲线方程及性质的应用(25 分钟60 分) 一、选择题 ( 每小题 5 分，共 25 分 ) 1. 若 ab0，则 ax-y+b=0 和 bx2+ay2=ab 所表示的曲线只可能是下图中的( ) 【解析】选C.方程可化为y=ax+b 和+=1. 从 B，D中的两椭圆看a，b(0，+) ，但 B中直线有 a0，b0 矛盾，应排除； D中直线有a0 矛盾，应排除；再看 A中双曲线的a0，但直线有a0，b0，也矛盾，应排除；C中双曲线的a0，b0

2、和直线中 a，b 一致 . 2.(2015 德化高二检测) 直线 y=k(x+) 与双曲线-y2=1 有且只有一个公共点，则k 的不同取值有( ) A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个【解析】选 D.由已知可得，双曲线的渐近线方程为y=x， 顶点 (2， 0) ， 而直线恒过 (-，0)，故有两条与渐近线平行，有两条切线，共4 条直线与双曲线有一个交点. 3. 已知曲线-=1 与直线 x+y-1=0 相交于 P，Q两点， 且=0(O 为原点 ) ，则-的值为( ) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - -

3、 - -第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - - A.1 B.2 C.3 D.【解析】选B.将 y=1-x 代入-=1，得 (b-a)x2+2ax-(a+ab)=0.设 P(x1，y1) ， Q(x2， y2) ，则 x1+x2=， x1x2=.因为=x1x2+y1y2=x1x2+(1-x1)(1-x2)=2x1x2-(x1+x2)+1 ，所以-+1=0，即 2a+2ab-2a+a-b=0 ，即 b-a=2ab ，所以-=2. 4.(2015 邢台高二检测) 已知点 F1，F2分别是双曲线-=1 的左、右焦点，过F2且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于A，B 两点，若 A

4、BF1是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是( ) A.(+1，+) B.(1 ，) C.(1 ，1+) D.(，+) 【解析】选C.如图所示 . 由于 F1AB= F1B A，ABF1为锐角三角形，故AF1B为锐角 . 故只需要AF1F245即可即1，所以=1 即 c2-a22ac. 即 e2-2e-10 ，解得 1-e1，故 1e0 ，b0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点 F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若 ABE是钝角三角形，则该双曲线精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - -

5、- - - -第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 的离心率的取值范围是( ) A.(1 ，) B.(，+ ) C.(1 ，2) D.(2 ，+) 【解析】选D.设 A(-c ，y0)，代入双曲线方程得-=1，所以=. 所以 |y0|=，所以 |AF|=. 因为 ABE是钝角三角形，所以AEF45 . 则只需 |AF|EF|，即a+c，所以 b2a2+ac，即 c2-a2a2+ac，c2-ac-2a20. 所以 e2-e-20 ，解得 e2，e0 ，b0)的一个焦点为F(2， 0) ，且双曲线的渐近线与圆+y2=3 相切，则双曲线的方程为( ) A.-=1 B.-=

6、1 C.-y2=1 D.x2-=1 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 【解析】选D.由双曲线的渐近线bx-ay=0 与圆 (x-2)2+y2=3 相切可知=，又因为 c=2，所以有a=1，b=，故双曲线的方程为x2-=1. 二、填空题 ( 每小题 5 分，共 15 分 ) 6. 双曲线中心在原点，一个焦点坐标为F(，0) ，直线 y=x-1 与其相交于M ，N两点， MN中点的横坐标为-，则双曲线的方程为_. 【解析】由题意知中点

7、坐标为，设双曲线方程为-=1. M(x1，y1) ，N(x2，y2) ，则-=1 ，-=1，-得=，即=，所以=，解得 a2=2，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 故双曲线方程为-=1. 答案：-=1 【拓展延伸】弦的中点及弦长问题的解决思路(1) 联立直线与双曲线方程. (2) 消元得关于x 或 y 的一元二次方程. (3) 根的判别式、根与系数的关系. (4) 弦长问题、弦的中点问题的解决. 7.(2014 浙江高考 ) 设直

8、线 x-3y+m=0(m0)与双曲线-=1(a0 ，b0) 的两条渐近线分别交于点 A，B，若点 P(m，0) 满足 |PA|=|PB| ，则该双曲线的离心率是_. 【解题指南】求出A，B的坐标，写出AB中点 Q的坐标，因为 |PA|=|PB| ，所以 PQ与已知直线垂直，寻找a 与 c 的关系 . 【解析】 由双曲线的方程可知，它的渐近线方程为y=x 与 y=-x，分别与 x-3y+m=0(m 0)联立方程组，解得A，B，设 AB的中点为 Q，则 Q(，) ，因为 |PA|=|PB| ，所以 PQ与已知直线垂直，所以kPQ=-3，解得 2a2=8b2=8(c2-a2) ，即=，=. 精品资料

9、 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 答案：8. 已知双曲线-=1 的右焦点为F， 若过点 F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是_. 【解析】由题意知F(4，0) ，双曲线的两条渐近线方程为y=x，当过 F 点的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图形， 通过图形可知， -k. 答案：【拓展延伸】数形结合思想在研究直线与双曲线问题中的应用直线过定点时， 根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的

10、大小关系确定其位置关系 . 直线斜率一定时，通过平行移动直线，比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系. 三、解答题 ( 每小题 10 分，共 20 分) 9. 双曲线-=1(a1 ，b0) 的焦距为 2c，直线l过点 (a ，0)和(0 ，b) ，且点(1，0) 到直线l的距离与点 (-1 ，0)到直线l的距离之和sc，求双曲线离心率e 的取值范围 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 【解析】由题意知直线l的方程为+=1

11、，即 bx+ay-ab=0 ，则+c，整理得 5ab2c2. 又因为 c2=a2+b2，所以 5ab2a2+2b2. 所以2.e=所以e. 10.(2015 合肥高二检测) 直线l：y=kx+1 与双曲线 C：2x2-y2=1 的右支交于不同的两点A，B. (1) 求实数 k 的取值范围 . (2) 是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由. 【解题指南】 (1) 与右支交于两点，则联立直线与双曲线后得到的一元二次方程有两正根. (2) 以 AB为直径的圆过点F 则 FAFB. 【解析】(1) 将直线l的方程 y=kx+1 代入双曲

12、线 C的方程 2x2-y2=1后， 整理得 (k2-2)x2+2kx+2=0，依题意，直线l与双曲线 C的右支交于不同两点，所以精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 解得 k 的取值范围为 k|-2k0，b0) 的右焦点为F，O为坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于O ，A 两点，若 AOF的面积为b2，则双曲线的离心率等于( ) A.B.C.D.【解析】选D.因为 A在以 OF为直径的圆上，所以AO AF ，所以 A

13、F：y=-(x-c)与 y=x 联立解得 x=， y=，因为 AOF的面积为 b2，所以c=b2，所以 e=. 2. 过双曲线-=1 的右焦点的直线被双曲线所截得的弦长为，这样的直线的条数为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 【解析】选D.依题意可得右焦点F(5 ，0) ，所以垂直 x 轴，过 F的直线是x=5. 代入-=1，求得 y=，所以此时弦长 =+=. 不是垂直 x 轴的，如果直线与双曲线有两个交点，则弦长一定比它长，所以这里只有一条，因为两个顶点距离=4，即左右两支上的点最短是4，所以如果是交于两支的话，弦长不可能为，所以只有1 条. 二、填空题 ( 每小题 5 分，共 10 分

14、 ) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 3.(2015 南昌高二检测 ) 已知双曲线-=1(a0 ，b0) 与直线 y=2x 有交点，则双曲线的离心率的取值范围是_. 【解析】双曲线的渐近线方程为y=x. 若双曲线-=1 与直线 y=2x 有交点，则2，从而4. 所以4，解得 e2=5，故 e. 答案： (，+) 4.(2015 重庆高考改编) 双曲线-=1(a0 ，b0) 的右焦点为F，左、右顶点为A1，A2，过 F 作 A1A

15、2的垂线与双曲线交于B，C 两点，若A1BA2C，则该双曲线的渐近线斜率为_. 【解析】由题意知F(c，0) ，A1(-a ，0) ，A2(a ，0) ，其中 c=. 联立可解得 B，C，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 所以=，=，又因为 A1BA2C ，所以=(c+a)(c-a)-=0，解得 a=b，所以该双曲线的渐近线斜率为1. 答案： 1 三、解答题 ( 每小题 10 分，共 20 分) 5.(2015 黄石高二检测 )

16、 已知双曲线3x2-y2=3，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45，与双曲线交于 A，B两点，试问A，B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长 . 【解题指南】联立方程后根据两根的符号确定两个交点的位置. 【解析】因为a=1，b=，c=2，又直线l过点 F2(2 ，0)，且斜率k=tan 45 =1，所以l的方程为 y=x-2 ，由消去 y 并整理得 2x2+4x-7=0 ，设 A(x1，y1) ， B(x2，y2) ，因为 x1x2=-0，所以 A，B两点分别位于双曲线的左、右两支上. 因为 x1+x2=-2 ，x1x2=-，所以 |AB|=|x1-x2| =精品资料 - - - 欢迎下

17、载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 15 页 - - - - - - - - - - =6. 6. 已知直线 y=ax+1 与双曲线 3x2-y2=1 交于 A，B两点 . (1) 若以 AB为直径的圆过坐标原点，求实数a 的值 . (2) 是否存在这样的实数a，使 A， B两点关于直线y=x 对称？若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由. 【解析】 (1) 由消去 y 得，(3-a2)x2-2ax-2=0. 依题意即-a0. 解得 k. 故不存在被点B(1，1) 所平分的弦 . 【一题多解】设存在被

18、点B平分的弦 MN ，设 M(x1，y1) ，N(x2，y2). 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 则 x1+x2=2，y1+y2=2，且- 得 (x1+x2)(x1-x2)-(y1+y2)(y1-y2)=0. 所以 kMN=2，故直线 MN ：y-1=2 (x-1). 由消去 y 得， 2x2-4x+3=0 ，=-80. 这说明直线MN与双曲线不相交，故被点B平分的弦不存在. 关闭 Word 文档返回原板块精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 15 页 - - - - - - - - - -