专题14 运用函数的图像研零点问题（解析版）.docx

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1、专题14 运用函数的图像研零点问题一、题型选讲题型一： 运用函数图像判断函数零点个数可将零点个数问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题，并作出函数图像。作图与根分布综合的题目，其中作图是通过分析函数的单调性和关键点来进行作图，在作图的过程中还要注意渐近线的细节，从而保证图像的准确。例1、(2019苏州三市、苏北四市二调）定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间2，4)上则函数的零点的个数为 【答案】 5【解析】因为f(x4)f(x)，可得f(x)是周期为4的奇函数，先画出函数f(x)在区间2，4)上的图像，根据奇函数和周期为4，可以画出f(x)在R上的图

2、像，由yf(x)log5| x|0，得f(x)log5| x|，分别画出yf(x)和ylog5|x|的图像，如下图，由f(5)f(1)1，而log551，f(3)f(1)1，log5|3|1，可以得到两个图像有5个交点，所以零点的个数为5. 本题考查了函数的零点问题，以及函数的奇偶性和周期性，考查了转化与化归、数形结合的思想，函数的零数问题，常转化为函数的图像的交点个数来处理，其中能根据函数的性质作出函数的图像并能灵活地运用图像，找到临界点是解题的关键也是难点例2、(2017苏锡常镇调研）若函数f(x)则函数y|f(x)|的零点个数为_【答案】 4【解析】设g(x)，则由g(x)0，可得x，所

3、以g(x)在(1，)上单调递增，在(，)上单调递减，当x时，g(x)0，故g(x)在(1，)上的最大值为g().在同一平面直角坐标系中画出y|f(x)|与y的图像可得，交点有4个，即原函数零点有4个易错警示 答案中出现了3和5这两种错误结果，3的主要原因是弄错了(1，)上的单调性或者忘了处理绝对值，5的主要原因是没有发现图像趋近于x轴题型二 运用函数图像研究复合函数零点个数复合函数零点问题的特点：考虑关于的方程根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于的方程，观察有几个的值使得等式成立；第二层是结合着第一层的值求出每一个被几个对应，将的个数汇总后即为的根的个数例3、(2017南

4、通期末） 已知函数f(x)是定义在1，)上的函数，且f(x)则函数y2xf(x)3在区间(1,2 015)上的零点个数为_【答案】11【解析】解法1 由题意得当1x2时，f(x)设x2n1,2n)(nN*)，则1,2)，又f(x)f，当时，则x2n1,32n2，所以f(x)f，所以2xf(x)32x30，整理得x222n2x322n40.解得x32n2或x2n2.由于x2n1,32n2，所以x32n2；当时，则x(32n2,2n)，所以f(x)f，所以2xf(x)32x30，整理得x242n2x322n40.解得x32n2或x2n2.由于x(32n2,2n)，所以无解综上所述，x32n2.由x

5、32n2(1,2 015)，得n11，所以函数y2xf(x)3在区间(1,2 015)上零点的个数是11.解法2 由题意得当x2n1,2n)时，因为f(x)f，所以f(x)maxf.令g(x).当x2n1时，g(x)g，所以当x2n1,2n)时，x2n1为y2xf(x)3的一个零点下面证明：当x2n1,2n)时，y2xf(x)3只有一个零点当x2n1,32n2时，yf(x)单调递增，yg(x)单调递减，f(32n2)g(32n2)，所以x2n1,32n2时，有一零点x32n2；当x(32n2,2n)时，yf(x)，k1f(x)，g(x)，k2g(x)，所以k11)相切，设切点(x0，lnx0)

6、，则切线斜率为k，又k，则，解得x0e3，此时k，当k0时，当ykx2与曲线y相切于点(0，2)时，函数yf(x)和ykx2的图像只有三个公共点，不符合题意，此时k1，当1k0时，函数yf(x)和ykx2的图像只有三个公共点，不符合题意，当直线ykx2与yf(x)(0x1)相切时，两图像只有三个公共点，设切点(x0，lnx0)，则切线的斜率k，又k，则，解得x0e1，此时ke不符合题意，当ke时，两图像只有两个公共点，不合题意，而当ek0时，当且仅当点(16，8)在直线yk(x3)的上方且点(32，16)在直线yk(x3)的下方(或在其上)时，两图像有两个公共点，可求出k；当k0时，当且仅当点

7、(2，1)在直线yk(x3)的上方时，两图像有两个公共点，可求出1k0，故所求的实数k的取值范围是(1，0).题型四、运用函数图像研究与零点有关的复合函数的参数问题求解复合函数零点问题的技巧：（1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出的图像（2）若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于的方程中解的个数，再根据个数与的图像特点，分配每个函数值被几个所对应，从而确定的取值范围，进而决定参数的范围例6、(2018南京、盐城、连云港二模）已知函数f(x)tR.若函数g(x)f(f (x)1)恰有4个不同的零点，则t的取值范围为_【答案】4，0)【解析】 本题是“复合函数零点”问题，常

8、见思路是借助函数图像，由求外函数零点切入，进而再分析内函数零点个数当x0时，有f(x)3x26x3x(2x)，故函数f(x)在区间(，0)上单调递减，则函数f(x)在区间(，0)上至多一个零点，进而分类讨论即可当x0时，有f(x)3x26x3x(2x)，故函数f(x)在区间(，0)上单调递减，此时f(0)t.当t0时，令f(x)0得，x0，从而当g(x)f(f(x)1)0时，f(x)1，借助图像1知，此时至多两个零点，不符合题意；当t0时，令f(x)0得，x0，或xm(m0)，且m33m2t0，从而当g(x)f(f(x)1)0时，f(x)10或f(x)1m，即f(x)1或f(x)1m，借助图像

9、2知，欲使得函数g(x)恰有4个不同的零点，则m10，从而1m0，故t(m)在区间1，0)上单调递增，从而t4，0),图1),图2)二、达标训练1、(2018南京、盐城一模）设函数f(x)是偶函数，当x0时，f(x)若函数yf(x)m有四个不同的零点，则实数m的取值范围是_【答案】 【解析】先画出x0时的函数图像，再利用偶函数的对称性得到x1时，g(x)单调递增，此时g(x)；当x1时，g(x)单调递减，此时g(x)，所以当t，时，yg(x)t有且只有一个零点解后反思 应用数形结合的方法研究函数的零点是一种常用的方法，在用此法时，一般地，会将函数的零点转化为两个函数的图像的交点来加以研究，这两

10、个函数中，一个函数为定函数，另一个函数为动函数，这样，可有效地降低解题的难度6、（2016苏州期末）已知函数f(x)|sinx|kx(x0，kR)有且只有三个零点，设此三个零点中的最大值为x0，则_.【答案】 【解析】思路分析 转化为定曲线y|sinx|(x0)与动直线ykx的位置关系问题由y|sinx|(x0)和ykx的图像可知，当曲线与直线恰有三个公共点时，直线ykx与曲线ysinx(x，2)相切，设切点横坐标为x0，斜率为cosx0.由得tanx0x0.因为sin2x0，所以.解后反思 “函数零点个数”通常转化为“定曲线与动直线的公共点个数”来解决7、(2015苏州期末） 已知函数f(x

11、)若函数g(x)f(x)2x恰有三个不同的零点，则实数m的取值范围是_【答案】(1,2【解析】解法1 问题转化为g(x)0，即方程f(x)2x有三个不同的解，即或解得或或因为方程f(x)2x有三个不同的解，所以解得1m2.解法2 由题意知函数g(x)画出函数y42x和yx22x3的图像，可知函数g(x)的三个零点为3，1,2，因此可判断m在1与2之间当m1时，图像不含点(1,0)，不合题意；当m2时，图像包含点(2,0)，符合题意所以1m2.合（1）、（2），得实数的取值范围为.8、(2019扬州期末）已知函数f(x)a3|xa|有且仅有三个零点，并且这三个零点构成等差数列，则实数a的值为_【

12、答案】 或1【解析】 函数f(x)有且仅有三个零点，通常转化为方程f(x)0有三相异实根，再转化为两个新函数的图像有三个不同的交点，这两个新函数如何构建是关键，通常的原则是：一是两个新函数图像是常见初等函数图像，二是一个函数图像是定的，另一个函数图像是动的，三是参数放在直线型中，即定曲线动直线，这样便于解决问题，基于这三点，所以构造的是函数y3与y|xa|a的图像有且仅有三个不同的交点，再通过分类讨论的思想方法和三个零点构成等差数列建立关于a的方程，从而求得a的值 注意所研究的函数为分段函数f(x)因此，分别来研究每一段中的零点的个数，由于函数分为两段，因此，只有两种可能，一段为两个零点，另一

13、段为一个零点另外，注意到当xa时，函数为f(x)x3不含参数，可以直接求解，因此需对这两个零点是否在解法1由f(x)a3|xa|0，得3|xa|a，原函数有三个零点，即可转化为函数y3与y|xa|a图像有且仅有三个不同的交点，设三个交点的横坐标为x1，x2，x3，且x1x20.如图1所示,图1)由解得x21，x34.又三个零点构成等差数列，则x2，得x16，则有3(6)2a，解得a符合题意(2)a0，但a0，则a满足题意解法2因为f(x)所以由f(x)x30得x1或4.(1)若1a，即a1时，由于函数有三个零点，且成等差数列，所以，另一个零点x01，故24x0，从而x06，故632a0，解得a

14、，满足条件；(2)若1a，即a1时，设函数f(x)x32a(xa)的两个零点为x1，x2(x10，而a12a，t212a，因为方程f(t)0的一个解为t1，故按照12a与1的大小关系，分三种情况讨论得出a的取值范围设g(x)t，因为函数yf(g(x)有四个不同的零点，所以方程f(t)0有且仅有两个不相等的根t1，t2，且由g(x)x212at，得x2t(12a)，故t112a，t212a.当t0时，由ln(t)0得t1.若12a1，则a1，易得函数f(g(x)有五个不同的零点，舍去若12a1，所以f(0)1，则a12a，t212a.因为t0时，f(t)t22ata1，所以a0，4a24(a1)0，f(0)0，f(12a)(12a)22a(12a)a10，解得a1.综上可知，a1，即a|a1 本题考查复合函数的零点问题，处理f(g(x)0解的个数问题，往往通过换元令tg(x)，f(t)0，研究t的解的个数，再讨论每一个解对应的g(x)t的解x的个数，常用数形结合的方法来处理