专题25 以分段函数为载体的应用题（解析版）.docx

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1、专题25 以分段函数为载体的应用题以分段函数为载体的应用题是应用题中一种重要的题型，可以更多的考查多个函数，由于参数的范围不同得到的函数的解析式不同，但要注意无论分成几段，都是一个函数，因此，解决分段函数要根据范围不同都要进行讨论，然后比较大小，得出最后的答案。一、 例题选讲例1、（江苏省泰州中学、江都中学、宜兴中学2020届高三10月月考数学试题）某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调 查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产万件，需另投入流动成本万元，当年产量小于7万件时，（万元）：当年产量不小于7万件时，（万元）.己知每件产品售价为6元，若该同学生产的产品当

2、年全部售完.（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注；年利润=年销售收人-固定成本-流动成本（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？（取解（1）产品售价为6万元，则万件产品销售收入为万元依据题意得，当 时，当时，（2）当 时，当 时，的最大值为万元当时，当时，单调递减，当时，的最大值为万元当时，的最大值为万元答：当年产量约为20万件时，该同学的这一产品所获得年利润最大，最大利润为万元变式1、(2016苏锡常镇调研）某经销商计划销售一款新型的空气净化器，经市场调研发现以下规律：当每台净化器的利润为x(单位：元，x0)时，销售量q(x)(

3、单位：百台)与x的关系满足：若x不超过20，则q(x)；若x大于或等于180，则销售量为零；当20x180时，q(x)ab(a，b为实常数)(1) 求函数q(x)的表达式；(2) 当x为多少时，总利润(单位：元)取得最大值，并求出该最大值 规范解答 (1)当20x180时，由得(2分)故q(x) (4分)(2) 设总利润f(x)xq(x)， 由(1)得f(x)(6分)当0x20时，f(x)126 000，f(x)在(0,20上单调递增，所以当x20时，f(x)有最大值120 000. (8分)当20x180时，f(x)9 000x300x，f(x)9 000450，令f(x)0，得x80. (

4、10分)当20x0，f(x)单调递增，当80x180时，f(x)180时，f(x)0答：当x为80时，总利润取得最大值240 000元(14分) 本题易错在忽视了题目中所给单位“百台”导致14分全部扣完应用题的数据上要注意两个方面：一题目所给单位是什么？如百台，千件；二是数据的值比较大，计算要谨慎，而这两类问题多出自函数应用题变式2：（2016常州期末）几名大学毕业生合作开3D打印店，生产并销售某种3D产品已知该店每月生产的产品当月都能销售完，每件产品的生产成本为34元该店的月总成本由两部分组成：第一部分是月销售产品的生产成本，第二部分是其他固定支出20 000元假设该产品的月销售量t(x)(

5、件)与销售价格x(元/件)(xN*)之间满足如下关系：当34x60时，t(x)a(x5)210 050；当60x76时，t(x)100x7 600.设该店月利润为M(元)(月利润月销售总额月总成本)，求：(1) M关于销售价格x的函数关系式；(2) 该打印店月利润M的最大值及此时产品的销售价格 规范解答 (1) 当x60时，t(60)1 600，代入t(x)a(x5)210 050，解得a2.(2分)所以M(x)即M(x)(4分)(注：写到上一步，不扣分)(2) 设g(u)(2u220u10 000)(u34)20 000，34u60，uR，则g(u)6(u216u1 780)令g(u)0，解

6、得u182(舍去)，u282(50,51)(7分)当34u0，g(u)单调递增；当51u60时，g(u)0，g(u)单调递减(10分)因为xN*，M(50)44 000，M(51)44 226，所以M(x)的最大值为44 226.(12分)当60 x76时，M(x)100(x2110x2 584)20 000单调递减，故此时M(x)的最大值为M(60)21 600.(14分)综上所述，当x51时，月利润M(x)取最大值44 226元(15分)故该打印店月利润最大为44 226元，此时产品的销售价格为51元/件(16分)例2、(2017苏州期末）某湿地公园内有一条河，现打算建一座桥(图1)将河两

7、岸的路连接起来，剖面设计图纸(图2)如下：其中，点A，E为x轴上关于原点对称的两点，曲线BCD是桥的主体，C为桥顶，且曲线段BCD在图纸上的图形对应函数的解析式为y，x2,2，曲线段AB，DE均为开口向上的抛物线段，且A，E分别为两抛物线的顶点设计时要求：保持两曲线在各衔接处(B，D)的切线的斜率相等(1) 求曲线段AB在图纸上对应函数的解析式，并写出定义域；(2) 车辆从A经B到C爬坡定义车辆上桥过程中某点P所需要的爬坡能力为：MP(该点P与桥顶间的水平距离)(设计图纸上该点P处的切线的斜率)，其中MP的单位：m.若该景区可提供三种类型的观光车：游客踏乘；蓄电池动力；内燃机动力，它们的爬坡能

8、力分别为0.8 m，1.5 m，2.0 m，又已知图纸上一个单位长度表示实际长度1 m，试问三种类型的观光车是否都可以顺利过桥？思路分析 (1) 首先B(2,1)设曲线段AB对应函数的解析式为f(x)，则f(2)1且f(2).(2) 先算出MP的最大值规范解答 (1) 首先B(2,1)，由y，得曲线段BCD在点B处的切线的斜率为.(2分)设曲线段AB对应函数的解析式为yf(x)a(xm)2(xm，2)，其中m2，a0.由题意，得解得(4分)所以曲线段AB对应函数的解析式为y(x6)2(x6，2)(5分)(2) 设P(x，y)，记g(x)MP(0x)y(7分)当x6，2时，g(x)的最大值为g(

9、3)；(10分)当x2,0时，g(x)g(2)0，即g(x)g(2)1，得g(x)的最大值为g(x)max.(13分)综上所述，g(x)max.(14分)因为0.81.52，所以，游客踏乘的观光车不能过桥，蓄电池动力、内燃机动力观光车能够顺利过桥(16分)变式1： 如图是一块镀锌铁皮的边角料，其中都是线段，曲线段是抛物线的一部分，且点是该抛物线的顶点，所在直线是该抛物线的对称轴. 经测量，2米，米，点到的距离的长均为1米现要用这块边角料裁一个矩形（其中点在曲线段或线段上，点在线段上，点在线段上）. 设的长为米，矩形的面积为平方米.（1）将表示为的函数；（2）当为多少米时，取得最大值，最大值是多

10、少？解析（1）以点为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系. 设曲线段所在抛物线的方程为，将点代入，得，即曲线段的方程为. 又由点得线段的方程为. 而，所以 （2）当时，因为，所以，由，得， 当时，所以递增；当时，所以递减，所以当时，； 当时，因为，所以当时，； 综上，因为，所以当米时，平方米. 变式2、如图，某新建小区有一片边长为1(单位：百米)的正方形剩余地块，中间部分是一片池塘，池塘的边缘曲线段为函数的图象，另外的边缘是平行于正方形两边的直线段为了美化该地块，计划修一条穿越该地块的直路（宽度不计），直路与曲线段相切（切点记为），并把该地块分为两部分记点到边距离为，表示该地块在直路 左

11、下部分的面积（1） 求的解析式； （2） 求面积的最大值解析（1）因为，所以，由于点到边距离为，所以点的坐标为，所以过点的切线方程为，即， 令，得，令，得.所以切线与轴交点，切线与轴交点.当即时，切线左下方的区域为一直角三角形，所以.当即时，切线左下方的区域为一直角梯形，当即时,切线左下方的区域为一直角梯形,所以，综上所求函数的解析式(2)由（1）得，当时, ，当时, ，所以所求面积的最大值为例3、(2016南京三模）如图，某森林公园有一直角梯形区域ABCD，其四条边均为道路，ADBC，ADC90，AB5千米，BC8千米，CD3千米现甲、乙两管理员同时从A地出发匀速前往D地，甲的路线是AD，速

12、度为6千米/小时，乙的路线是ABCD，速度为v千米/小时(1) 若甲、乙两管理员到达D的时间相差不超过15分钟，求乙的速度v的取值范围；(2) 已知对讲机有效通话的最大距离是5千米若乙先到达D，且乙从A到D的过程中始终能用对讲机与甲保持有效通话，求乙的速度v的取值范围 (1) 先求出AD12千米，用时间列出一个含绝对值的不等式，解出v的范围；(2) 解法3中用向量(即物理中的“位移”)更易显示PQ的长度利用，求出f(t)2关于时间t的四个时间段的表达式利用函数f(t)在四个时间段上的单调性，求出f(t)max，解不等式f(t)max25.规范解答 (1)由题意，可得AD12千米由题可知，(2分

13、)解得v.(4分)(2) 解法1 设经过t小时，甲、乙之间的距离的平方为f(t)由于乙先到达D地，故2，即v8.(6分)当0vt5，即0t时，f(t)(6t)2(vt)226tvtcosDAB t2.因为v2v360，所以当t时，f(t)取最大值，所以225，解得v.(9分)当5vt13，即t时，f(t)(vt16t)29(v6) 229.因为v8，所以，(v6) 20，所以当t时，f(t)取最大值，所以(v6) 2 2925，解得v.(13分)当13vt16，即t时，f(t)(126t)2(16vt)2，因为126t0,16vt0，所以f(t)在上递减，即当t时，f(t)取最大值，2225，

14、解得v.综上所述，8v.(16分)解法2 设经过t小时，甲、乙之间的距离的平方为f(t)由于乙先到达D地，故2，即v8.(6分)以A点为原点，AD为x轴建立直角坐标系， 当0vt5时，f(t)22.由于2225，所以22对任意0t都成立，所以22v2，解得v.(9分)当5vt13时，f(t)(vt16t)232.由于(vt16t)23225，所以4vt16t4对任意t都成立，即对任意t都成立，所以解得v.(13分) 当13vt16，即t，此时f (t)(126t)2(16vt)2.由及知8v，于是0126t1212784，又因为016vt3，所以f (t)(126t)2(16vt)242322

15、5恒成立综上所述，8v.(16分)解法3 首先，由乙先到达D，得8.(6分)设从A出发经过t小时，甲、乙两管理员的位置分别为P，Q，则(6t,0)当08，所以在相应的t的范围内，v2v36，(v6)t1,16vt,126t均为正数，可知f(t)在和上递增，在和上递减即f(t)在上递增，在上递减，所以f(t)maxf.令f25，得14，解得8v.二、达标训练1、.某驾驶员喝了1000mL某种酒后，血液中的酒精含量 (mg/mL)随时间x(h)变化的规律近似满足表达式酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚规定为驾驶员血液中酒精含量不得超过0.02mg/mL，据此可知，此驾驶员至少要过 h后才能开车(

16、精确到1h)答案 4解析 当0x1时，5x2，此时不宜开车；由0.02，得x4.2、(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）将一铁块高温熔化后制成一张厚度忽略不计、面积为100 dm2的矩形薄铁皮(如图)，并沿虚线l1，l2裁剪成A，B，C三个矩形(B，C全等)，用来制成一个柱体现有两种方案：方案：以l1为母线，将A作为圆柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面；方案：以l1为侧棱，将A作为正四棱柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个正方形(各边分别与l1或l2垂直)作为正四棱柱的两个底面(1) 设B，C都是正方形，且其内切圆恰为按方案制成的圆柱的底面，求

17、底面半径；(2) 设l1的长为x dm，则当x为多少时，能使按方案制成的正四棱柱的体积最大？规范解答 (1) 设所得圆柱的底面半径为r dm，则(2r2r)4r100，(4分) 解得r.(6分) (2) 设所得正四棱柱的底面边长为a dm，则即(9分) 解法1 所得正四棱柱的体积Va2x(11分) 记函数p(x)则p(x)在(0，2上单调递增，在(2，)上单调递减，所以当x2时，p(x)max20.所以当x2，a时，Vmax20 dm3.(14分) 解法2 2ax，从而a.(11分) 所得正四棱柱的体积Va2xa220a20.所以当a，x2时，Vmax20dm3.(14分) 答：(1) 圆柱的

18、底面半径为dm；(2) 当x为2时，能使按方案制成的正四棱柱的体积最大(16分) 这道题跳出了应用题的常规模式，它的目标函数是双变量函数，如何求它的最值，这里采用的是放缩兼消元的方法，这种方法不常见，解法1是消去a保留x，解法2是消去x保留a.3、（2016苏中三市、宿迁调研）为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y(单位：mg/m3)随着时间(单位：天)变化的函数关系式近似为y若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4mg/m3时，它才能起到净化空气的作用(1

19、) 若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？ (2) 若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a(1a4)个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a的最小值(精确到0.1，参考数据：取1.4) 规范解答 (1) 因为一次喷洒4个单位的净化剂，所以浓度f(x)4y则当0x4时，由44，解得x0，所以此时0x4.(3分)当4x10时，由202x4，解得x8，所以此时4x8.综上，得0x8.故一次投放4个单位的净化剂，则有效净化时间可达8天. (7分)(2) 设从第一次喷洒起，经x(6x10)天浓度g(x)2a10xa(14x)a4.(10分)因为14x4,8，而1a4，所以

20、44,8，故当且仅当14x4时，y有最小值为8a4.令8a44，解得2416a4，所以a的最小值为24161.6.(14分)4、（2014徐州、宿迁三检）根据统计资料，某工艺品厂的日产量最多不超过20件，每日产品废品率与日产量(件)之间近似地满足关系式(日产品废品率 100)已知每生产一件正品可赢利2千元，而生产一件废品则亏损1千元（该车间的日利润日正品赢利额日废品亏损额）（1）将该车间日利润(千元)表示为日产量(件)的函数；（2）当该车间的日产量为多少件时，日利润最大？最大日利润是几千元？规范解答（1）由题意可知 （4分）（2）考虑函数当时，令，得当时，函数在上单调增；当时，函数在上单调减所

21、以当时，取得极大值，也是最大值，又是整数，所以当时，有最大值 （10分）当时，所以函数在上单调减，所以当时，取得极大值，也是最大值由于，所以当该车间的日产量为10件时，日利润最大答：当该车间的日产量为10件时，日利润最大，最大日利润是千元（14分）5、（2014南通期末）如图，一块弓形薄铁片EMF，点M为的中点，其所在圆O的半径为4 dm(圆心O在弓形EMF内)，EOF.将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片ABCD(不计损耗)，ADEF，且点A，D在上，设AOD2.(1) 求矩形铁片ABCD的面积S关于的函数关系式；(2) 当裁出的矩形铁片ABCD面积最大时，求cos的值(第18题) 规范解答

22、 (1) 设矩形铁片的面积为S，AOM.当0时(如图1)，AB4cos2，AD24sin，SABAD(4cos2)(24sin)16sin(2cos1)(3分)当时(如图2)，AB24cos ，AD24sin ，故SABAD64sincos32sin 2.综上得，矩形铁片的面积S关于的函数关系式为S(7分)(2) 当0时，求导，得S16cos(2cos1)sin(2sin) 16(4cos2 cos 2)令S0，得cos.(10分)记区间内余弦值等于的角为0(唯一存在)，列表：(0，0)0S0S极大值又当时，S32sin2是单调减函数，所以当0，即cos时，矩形铁片的面积最大(16分)6、（2

23、018秋湖北期末）某公司每年生产、销售某种产品的成本包含广告费用支出和浮动成本两部分，该产品的年产量为x万件，每年投入的广告费为10x万元，另外，当年产量不超过50万件时，浮动成本为(12x2+10x)万元，当年产量超过50万件时，浮动成本为(52x+20000x-1300)万元若每万件该产品销售价格为60万元，且每年该产品都能销售完（1）设年利润为f（x）（万元），试求f（x）关于x的函数关系式；（2）年产量x为多少万件时，该公司所获利润了f（x）最大？并求出最大利润【解析】解：（1）由题意可得，f（x）=60x-10x-(12x2+10x)，x5060x-10x-(52x+20000x-1300)，x50=-12x2+40x，x50-2x-20000x+1300，x50；（2）当x50时，f（x）=-12(x-40)2+800，当x40时，f（x）max800（万元）；当x50时，f（x）2x-20000x+1300=-2(x+10000x)+1300-4x10000x+1300=900当且仅当x=10000x，即x100时取“”综上，当年产量x为100万件时，该公司所获利润了f（x）最大，最大利润为900万元【点睛】本题考查根据实际问题选择函数模型，训练了利用二次函数求最值与基本不等式求最值，是中档题