2022年二次函数中以三角形为主的中考压轴题问题解析精选 .pdf

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1、二次函数中以三角形为主的中考压轴题（等腰三角形、直角三角形、相似三角形）问题解析精选【例 1】 （2013?抚顺）如图1，已知直线y=x+3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点B，抛物线 y=x2+bx+c 经过 A、B 两点，与 x 轴交于另一个点C，对称轴与直线AB 交于点 E，抛物线顶点为 D（1）求抛物线的解析式；（2）在第三象限内，F 为抛物线上一点，以A、E、F 为顶点的三角形面积为3，求点 F 的坐标；（3）点 P 从点 D 出发，沿对称轴向下以每秒1 个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t 秒，当 t 为何值时，以P、B、C 为顶点的三角形是直角三角形？直接写出所有符合

2、条件的t值考点 ：二次函数综合题分析： （1）先由直线AB 的解析式为y=x+3 ，求出它与x 轴的交点 A、与 y 轴的交点B 的坐标，再将 A、B 两点的坐标代入y=x2+bx+c ，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）设第三象限内的点F 的坐标为（ m， m22m+3） ，运用配方法求出抛物线的对称轴及顶点D 的坐标，再设抛物线的对称轴与x 轴交于点G，连接 FG，根据SAEF=SAEG+SAFGSEFG=3，列出关于 m 的方程，解方程求出m 的值， 进而得出点 F 的坐标；（3）设 P 点坐标为（ 1，n） 先由 B、C 两点坐标，运用勾股定理求出BC2=10，再分三种情况进

3、行讨论： PBC=90 ，先由勾股定理得出PB2+BC2=PC2，据此列出关于 n 的方程，求出n 的值，再计算出PD 的长度，然后根据时间=路程 速度，即可求出此时对应的t 值； BPC=90 ，同 可求出对应的t 值； BCP=90 ，同 可求出对应的 t 值解答： 解： （1） y=x+3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点B，当 y=0 时，x=3，即 A 点坐标为（ 3，0） ，当 x=0 时， y=3，即 B 点坐标为（ 0，3） ，将 A（ 3，0） ， B（0，3）代入 y=x2+bx+c ，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下

4、载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 得，解得，抛物线的解析式为y=x22x+3；（2） 如图 1，设第三象限内的点F 的坐标为 （m，m22m+3） ，则 m0， m22m+30y=x22x+3=（ x+1）2+4，对称轴为直线x=1，顶点 D 的坐标为（1，4） ，设抛物线的对称轴与x 轴交于点 G，连接 FG，则 G（ 1，0） ，AG=2 直线 AB 的解析式为y=x+3 ，当 x=1 时，y=1+3=2，E 点坐 标为（ 1，2） SAEF=SAEG+SAFGSEFG= 2 2+ 2（m2+2m3） 2（

5、1m） =m2+3m，以 A、E、F 为顶点的三角形面积为3 时， m2+3m=3，解得 m1=，m2=（舍去），当 m=时， m2 2m+3=m23m+m+3= 3+m+3=m=，点 F 的坐标为（，） ；（3）设 P 点坐标为（ 1，n） B（0，3） ，C（1，0） ，BC2=12+32=10分三种情况： 如图 2，如果 PBC=90 ，那么 PB2+BC2=PC2，即（0+1）2+（n3）2+10=（1+1）2+（n0）2，化简整理得6n=16，解得 n=，P 点坐标为（ 1，） ，顶点 D 的坐标为（ 1，4） ，PD=4 =，点 P 的速度为每秒1 个单位长度，t1=； 如图 3，

6、如果 BPC=90 ，那么 PB2+PC2=BC2，即（0+1）2+（n3）2+（1+1）2+（n0）2=10，化简整理得n23n+2=0，解得 n=2 或 1，P 点坐标为（ 1，2）或（ 1，1） ，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 顶点 D 的坐标为（ 1，4） ，PD=4 2=2 或 PD=4 1=3，点 P 的速度为每秒1 个单位长度，t2=2，t3= 3； 如图 4，如果 BCP=90 ，那么 BC2+PC2=PB2，

7、即 10+（1+1）2+（n0）2=（0+1）2+（n3）2，化简整理得6n=4，解得 n=，P 点坐标为（ 1，） ，顶点 D 的坐标为（ 1，4） ，PD=4+=，点 P 的速度为每秒1 个单位长度，t4=；综上可知，当t 为秒或 2 秒或 3 秒或秒时，以 P、B、C 为顶点的三角形是直角三角形精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 点评： 本题考查了二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求抛物线的解析式， 函数图

8、象上点的坐标特征，抛物线的顶点坐标和三角形的面积求法，直角三角形的性质，勾股定理综合性较强， 难度适中 （2） 中将 AEF 的面积表示成SAEG+SAFGSEFG，是解题的关键； （3）中由于没有明确哪一个角是直角，所以每一个点都可能是直角顶点，进行分类讨论是解题的关键【例 2】 （2013?大连）如图，抛物线y=x2+x4 与 x 轴相交于点A、B，与 y 轴相交于点 C，抛物线的对称轴与x 轴相交于点MP是抛物线在x 轴上方的一个动点（点 P、M、C 不在同一条直线上） 分别过点A、B 作直线 CP 的垂线，垂足分别为D、 E，连接点 MD 、ME（1）求点 A，B 的坐标（直接写出结果

9、） ，并证明 MDE 是等腰三角形；（2） MDE 能否为等腰直角三角形？若能，求此时点P 的坐标；若不能，说明理由；（3）若将 “ P 是抛物线在x 轴上方的一个动点（点P、M、C 不在同一条直线上）” 改为 “ P 是抛物线在 x 轴下方的一个动点” ，其他条件不变， MDE 能否为等腰直角三角形？若能，求此时点 P 的坐标（直接写出结果） ；若不能，说明理由精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 考点 ：二次函数综合题分析： （1

10、）在抛物线解析式中，令y=0，解一元二次方程，可求得点A、点 B 的坐标；如答图 1 所示，作辅助线，构造全等三角形AMF BME ，得到点 M 为为 RtEDF斜边 EF 的中点，从而得到MD=ME ，问题得证；（2）首先分析，若MDE 为等腰直角三角形，直角顶点只能是点M如答图 2 所示，设直线 PC 与对称轴交于点N，首先证明 ADM NEM ，得到 MN=AM ，从而求得点 N 坐标为（ 3，2） ；其次利用点N、点 C 坐标，求出直线PC 的解析式；最后联立直线 PC 与抛物线的解析式，求出点P的坐标（3）当点 P是抛物线在x 轴下方的一个动点时，解题思路与（2）完全相同解答：解：

11、（1）抛物线解析式为y=x2+x4，令 y=0，即x2+x4=0，解得 x=1 或 x=5， A（1，0） ，B（5，0） 如答图 1 所示，分别延长AD 与 EM ，交于点 FAD PC，BEPC， AD BE， MAF= MBE 在AMF 与BME 中，AMF BME （ASA） ，ME=MF ，即点 M 为 RtEDF 斜边 EF 的中点，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 25 页 - - - - - - - - - - MD=ME ，即 MDE 是等腰三角形（2）答：能抛

12、物线解析式为y=x2+x4=（x3）2+，对称轴是直线x=3，M（3，0） ；令 x=0，得 y=4， C（0，4） MDE 为等腰直角三角形，有3 种可能的情形： 若 DE EM，由 DEBE，可知点 E、M、 B 在一条直线上，而点 B、M 在 x 轴上，因此点E 必然在 x 轴上，由 DEBE，可知点 E 只能与点 O 重合，即直线PC 与 y 轴重合，不符合题意，故此种情况不存在； 若 DE DM ，与 同理可知，此种情况不存在； 若 EM DM ，如答图 2 所示：设直线 PC 与对称轴交于点N，EMDM ，MN AM ， EMN= DMA 在ADM 与NEM 中，ADM NEM （

13、ASA ） ，MN=MA 抛物线解析式为y=x2+x4=（x3）2+，故对称轴是直线x=3，M（3，0） ，MN=MA=2 ，N（3，2） 设直线 PC 解析式为 y=kx+b ，点 N（3，2） ， C（ 0， 4）在抛物线上，解得 k=2，b=4，y=2x4将 y=2x4 代入抛物线解析式得：2x4=x2+x 4，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 解得： x=0 或 x=，当 x=0 时，交点为点C；当 x=时，y=2x 4=

14、3P（，3） 综上所述， MDE 能成为等腰直角三角形，此时点P坐标为（， 3） （3）答：能如答题 3 所示，设对称轴与直线PC 交于点 N与（2）同理，可知若MDE 为等腰直角三角形，直角顶点只能是点MMD ME，MA MN ， DMN= EMB 在DMN 与 EMB 中，DMN EMB （ASA） ，MN=MB N（3，2） 设直线 PC 解析式为 y=kx+b ，点 N（3， 2） ，C（0， 4）在抛物线上，解得 k=，b=4， y=x4将 y=x4 代入抛物线解析式得：x4=x2+x4，解得： x=0 或 x=，当 x=0 时，交点为点C；当 x=时，y=x4=P（，） 精品资料

15、- - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 综上所述， MDE 能成为等腰直角三角形，此时点P坐标为（，） 点评： 本题是二次函数综合题型，考查了二次函数与一次函数的图象与性质、待定系数法、 全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形、解方程等知识点，题目难度较大第（2）（3）问均为存在型问题，且解题思路完全相同，可以互相借鉴印证【例 3】 （2013 凉山州）如图，抛物线y=ax22ax+c（a 0）交 x 轴于 A、B 两点， A 点坐标为（ 3，0

16、） ，与 y 轴交于点 C（0，4） ，以 OC、OA 为边作矩形OADC 交抛物线于点G（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴l 在边 OA（不包括 O、A 两点）上平行移动，分别交x 轴于点 E，交CD 于点 F，交 AC 于点 M，交抛物线于点P，若点 M 的横坐标为m，请用含 m 的代数式表示PM 的长；（3）在（ 2）的条件下， 连结 PC，则在 CD 上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以 P、C、F 为顶点的三角形和AEM 相似？若存在， 求出此时m 的值， 并直接判断 PCM 的形状；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题分析：（1）将 A（3，0） ，C（0， 4

17、）代入 y=ax22ax+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）先根据 A、C 的坐标，用待定系数法求出直线AC 的解析式，进而根据抛物线和直线AC的解析式分别表示出点P、点 M 的坐标，即可得到PM 的长；（3）由于 PFC 和AEM 都是直角， F 和 E 对应，则若以 P、C、F 为顶点的三角形和AEM相似时，分两种情况进行讨论： PFC AEM ， CFP AEM ；可分别用含m 的代数式表示出AE、EM 、CF、PF的长，根据相似三角形对应边的比相等列出比例式，求出m 的值，再根据相似三角形的性质，直角三角形、等腰三角形的判定判断出PCM 的形状解答：解：（1）抛物线y=a

18、x2 2ax+c（a 0）经过点A（3，0） ，点 C（0，4） ，解得，抛物线的解析式为y=x2+x+4；（2）设直线 AC 的解析式为y=kx+b ，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 25 页 - - - - - - - - - - A（3，0） ，点 C（0，4） ，解得，直线 AC 的解析式为y=x+4点 M 的横坐标为m，点 M 在 AC 上，M 点的坐标为（ m，m+4） ，点 P的横坐标为m，点 P 在抛物线 y=x2+x+4 上，点 P的坐标为（ m，m2+m+4

19、） ，PM=PEME=（m2+m+4）（m+4）=m2+4m，即 PM= m2+4m（0m3） ；（3）在（ 2）的条件下，连结PC，在 CD 上方的抛物线部分存在这样的点P，使得以 P、C、F 为顶点的三角形和AEM 相似理由如下： 由题意， 可得 AE=3m，EM= m+4，CF=m，PF=m2+m+44=m2+m若以 P、C、F 为顶点的三角形和AEM 相似，分两种情况： 若PFC AEM ，则 PF：AE=FC ：EM ，即（m2+m） ： （3m）=m： （m+4） ，m 0 且 m 3，m= PFCAEM ， PCF=AME ， AME= CMF ， PCF=CMF 在直角 CMF

20、 中， CMF+ MCF=90 ， PCF+MCF=90 ，即 PCM=90 ， PCM 为直角三角形； 若 CFP AEM ，则 CF：AE=PF ：EM，即 m： （3m）=（m2+m） ： （m+4） ，m 0 且 m 3，m=1 CFPAEM ， CPF=AME ， AME= CMF ， CPF=CMF CP=CM ， PCM 为等腰三角形精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 综上所述，存在这样的点P 使PFC 与AEM 相似

21、此时m 的值为或 1， PCM 为直角三角形或等腰三角形点评：此题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形、等腰三角形的判定，难度适中要注意的是当相似三角形的对应边和对应角不明确时，要分类讨论，以免漏解【例 4】 （2013?本溪）如图，在平面直角坐标系中，点O 是原点，矩形OABC 的顶点 A在 x 轴的正半轴上，顶点C 在 y 的正半轴上，点B 的坐标是（ 5，3） ，抛物线y=x2+bx+c 经过 A、C 两点，与 x 轴的另一个交点是点D，连接 BD（1）求抛物线的解析式；（2）点 M 是抛物线对称轴上的一

22、点，以M、B、D 为顶点的三角形的面积是6，求点 M 的坐标；（3） 点 P 从点 D 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿DB 匀速运动， 同时点 Q 从点 B 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿BAD 匀速运动，当点P 到达点 B 时， P、Q 同时停止运动，设运动的时间为t 秒，当 t 为何值时，以D、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？请直接写出所有符合条件的值考点：二次函数综合题精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 分析

23、：（1）求出点 A、C 的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）如答图 1 所示，关键是求出MG 的长度，利用面积公式解决；注意，符合条件的点M 有 2 个，不要漏解；（3）DPQ 为等腰三角形，可能有三种情形，需要分类讨论： 若 PD=PQ，如答图 2 所示； 若 PD=DQ ，如答图 3 所示； 若 PQ=DQ ，如答图 4 所示解答：解： （1）矩形 ABCD ，B（ 5，3） ，A（5，0） ，C（0，3） 点 A（5，0） ，C（0，3）在抛物线y=x2+bx+c 上，解得： b=，c=3抛物线的解析式为：y=x2x+3（2）如答图 1 所示，y=x2x+3=（x3）2，抛物

24、线的对称轴为直线x=3如答图 1 所示，设对称轴与BD 交于点 G，与 x 轴交于点 H，则 H（3，0） 令 y=0，即x2x+3=0 ，解得 x=1 或 x=5D（1，0） ， DH=2 ，AH=2 ，AD=4 tanADB=， GH=DH ?tanADB=2 =，G（3，） SMBD=6，即 SMDG+SMBG=6，MG?DH+MG?AH=6 ，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 即：MG 2+MG 2=6，解得： MG=3

25、 点 M 的坐标为（ 3，）或（ 3，） （3）在 RtABD 中， AB=3 ， AD=4 ，则 BD=5 ， sinB=，cosB=以 D、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形，则： 若 PD=PQ，如答图 2 所示：此时有 PD=PQ=BQ=t ，过点 Q 作 QEBD 于点 E，则 BE=PE，BE=BQ ?cosB=t， QE=BQ?sinB=t，DE=t+t=t由勾股定理得：DQ2=DE2+QE2=AD2+AQ2，即（t）2+（t）2=42+（3t）2，整理得： 11t2+6t25=0，解得： t=或 t=5（舍去），t=； 若 PD=DQ ，如答图 3 所示：此时 PD=t，DQ=

26、AB+AD t=7t，t=7t，t=； 若 PQ=DQ ，如答图 4 所示：PD=t ，BP=5t；DQ=7t， PQ=7t，AQ=4 （ 7t）=t3过点 P作 PFAB 于点 F，则 PF=PB?sinB=（5t） =4t，BF=PB ?cosB= （5t） =3t精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 25 页 - - - - - - - - - - AF=AB BF=3（ 3t）=t过点 P作 PEAD 于点 E，则 PEAF 为矩形，PE=AF=t，AE=PF=4 t， E

27、Q=AQ AE= （t 3）（ 4t） =t7在 RtPQE 中，由勾股定理得：EQ2+PE2=PQ2，即： （t7）2+（t）2=（7t）2，整理得： 13t256t=0，解得： t=0（舍去）或t=t=综上所述，当t=，t=或 t=时，以 D、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形点评：本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、图形面积、解直角三角形、勾股定理等知识点分类讨论的数学思想是本题考查的重点，在第（2） （3）问中均有所体现，解题时注意全面分析、认真计算【例 5】 （2013?衡阳）如图，已知抛物线经过A（1，0） ，B（ 0，3）两点，对称轴是x=1（1）求抛

28、物线对应的函数关系式；（2）动点 Q 从点 O 出发，以每秒1 个单位长度的速度在线段OA 上运动，同时动点M 从 M从 O 点出发以每秒3 个单位长度的速度在线段OB 上运动，过点Q 作 x 轴的垂线交线段AB于点 N，交抛物线于点P，设运动的时间为t 秒 当 t 为何值时，四边形OMPQ 为矩形； AON 能否为等腰三角形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由考点 ：二次函数综合题分析： （1）利用顶点式、待定系数法求出抛物线的解析式；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 2

29、5 页 - - - - - - - - - - （2） 当四边形 OMPQ 为矩形时，满足条件OM=PQ ，据此列一元二次方程求解； AON 为等腰三角形时，可能存在三种情形，需要分类讨论，逐一计算解答： 解： （1）根据题意，设抛物线的解析式为：y=a（x+1）2+k，点 A（1，0） ， B（0，3）在抛物线上，解得： a=1，k=4，抛物线的解析式为：y=（ x+1）2+4（2） 四边形 OMPQ 为矩形，OM=PQ ，即 3t=（ t+1）2+4，整理得： t2+5t3=0，解得 t=，由于 t=0，故舍去，当 t=秒时，四边形OMPQ 为矩形； RtAOB 中，OA=1 ，OB=3

30、， tanA=3若AON 为等腰三角形，有三种情况：（I）若 ON=AN ，如答图 1 所示：过点 N 作 ND OA 于点 D，则 D 为 OA 中点， OD=OA=，t=；（II）若 ON=OA ，如答图 2 所示：过点 N 作 ND OA 于点 D，设 AD=x ，则 ND=AD ?tanA=3x ，OD=OA AD=1 x，在 RtNOD 中，由勾股定理得：OD2+ND2=ON2，即（1x）2+（3x）2=12，解得 x1=，x2=0（舍去），x=，OD=1 x=，t=；（III ）若 OA=AN ，如答图3 所示：过点 N 作 ND OA 于点 D，设 AD=x ，则 ND=AD ?

31、tanA=3x ，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 在 RtAND 中，由勾股定理得：ND2+AD2=AN2，即（x）2+（3x）2=12，解得 x1=，x2=（舍去），OD=1x=1，t=1综上所述，当t 为秒、秒， （1）秒时， AON 为等腰三角形点评： 本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、解一元二次方程、勾股定理、解直角三角形、矩形性质、 等腰三角形的性质等知识点，综合性比较强， 有一定的难度 第（2）问为运动型

32、与存在型的综合性问题，注意要弄清动点的运动过程，进行分类讨论计算【例 6】已知函数2322ykxx（k是常数）若该函数的图像与x轴只有一个交点，求k的值；若点1,Mk在某反比例函数的图像上，要使该反比例函数和二次函数2322ykxx都是y随x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；设抛物线2322ykxx与x轴交于12,0 ,0A xB x两点，且12xx，22121xx，在y轴上，是否存在点P，使 ABP是直角三角形？若存在，求出点P及 ABP的面积；若不存在，请说明理由。解析 ：解： (1) 当0k时，函数322yx的图像与x轴只有一个交点2 分当0k时，若函数2322ykxx的图

33、像与x轴只有一个交点，则方程23202kxx有两个相等的实数根，所以23( 2)402k，即23k. 综上所述，若函数的图像与x轴只有一个交点，则k的值为 0 或23.4分（2）设反比例函数为myx，则1mk，即mk. 所以，反比例函数为kyx要使该反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，则0k. .5 分二 次 函 数2231132()22ykxxk xkk的 对 称 轴 为1xk， 要 使 二 次 函 数2322ykxx是y随着x的增大而增大，在0k的情况下，x必须在对称轴的左边，即精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - -

34、 - - - - - - - -第 15 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 1xk时，才能使得y随着x的增大而增大 . .6分综上所述，要使该反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，0k且1xk.7 分(3) 抛物线2322ykxx与x轴有两个交点，一元二次方程方程23202kxx的判别式23( 2)40,2k即23k又121222122,3,21.xxkx xkxx2340kk，4k或1k.又23k，4k. .8分在y轴上，设(0, )Pb是满足条件的点，则222221221()()()bxbxxx，212bx x，64b. 46b. 4718322)(2221

35、2212xxbxx. 2172xx.9分21117642()222416Rt ABPSxxb. 在y轴上，存在点)46,0(),46,0(21PP, 使ABP是直角三角形，ABP的面积为421610 分【例 7】 （2013?张家界）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a 0）的图象过点C（0， 1） ，顶点为Q（2，3） ，点 D 在 x 轴正半轴上，且OD=OC （1）求直线 CD 的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线 CD 绕点 C 逆时针方向旋转45 所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：CEQ CDO；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - -

36、 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 25 页 - - - - - - - - - - （4）在（ 3）的条件下，若点P 是线段 QE 上的动点，点F 是线段 OD 上的动点，问：在P点和 F 点移动过程中，PCF 的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由考点 ：二次函数综合题分析： （1）利用待定系数法求出直线解析式；（2）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（3）关键是证明 CEQ 与 CDO 均为等腰直角三角形；（4）如答图 所示，作点C 关于直线 QE 的对称点C，作点 C 关于 x 轴的对称点C ，连接 C C ，交 O

37、D 于点 F，交 QE 于点 P，则PCF 即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，PCF 的周长等于线段C C 的长度利用轴对称的性质、两点之间线段最短可以证明此时PCF 的周长最小如答图 所示，利用勾股定理求出线段C C 的长度，即 PCF 周长的最小值解答： 解： （1） C（0，1） ，OD=OC ， D 点坐标为（ 1，0） 设直线 CD 的解析式为y=kx+b （k 0） ，将 C（0，1） ，D（1，0）代入得：，解得： b=1，k=1，直线 CD 的解析式为： y=x+1（2）设抛物线的解析式为y=a（x2）2+3，将 C（0，1）代入得： 1=a （2）2+3，解

38、得 a=y=（x2）2+3=x2+2x+1（3）证明：由题意可知，ECD=45 ，OC=OD ，且 OCOD， OCD 为等腰直角三角形，ODC=45 ，ECD= ODC ，CEx 轴，则点 C、E 关于对称轴（直线x=2）对称，点 E 的坐标为（ 4，1） 如答图 所示，设对称轴（直线x=2）与 CE 交于点 F，则 F（2，1） ，ME=CM=QM=2 ， QME 与QMC 均为等腰直角三角形，QEC=QCE=45 又 OCD 为等腰直角三角形，ODC=OCD=45 ，QEC=QCE=ODC=OCD=45 ，CEQCDO（4）存在精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - -

39、- - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 如答图 所示，作点C 关于直线 QE 的对称点 C，作点 C 关于 x 轴的对称点C ，连接C C ，交 OD 于点 F，交 QE 于点 P，则PCF 即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，PCF 的周长等于线段C C 的长度（证明如下： 不妨在线段OD 上取异于点F 的任一点F，在线段 QE 上取异于点P 的任一点 P ，连接 F C ，F P ，PC 由轴对称的性质可知，PCF 的周长 =FC +F P +P C ；而 F C +FP

40、+P C 是点 C ，C 之间的折线段，由两点之间线段最短可知：F C +F P+P C C C ，即P CF 的周长大于 PCE 的周长）如答图 所示，连接C E，C，C 关于直线 QE 对称， QCE 为等腰直角三角形，QC E 为等腰直角三角形，CEC 为等腰直角三角形，点 C 的坐标为（ 4，5） ；C，C 关于 x 轴对称，点C 的坐标为（1，0） 过点 C 作 CNy 轴于点 N，则 NC=4，NC =4+1+1=6 ，在 RtC NC 中，由勾股定理得：CC =综上所述，在P 点和 F 点移动过程中，PCF 的周长存在最小值，最小值为精品资料 - - - 欢迎下载 - - - -

41、 - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 点评： 本题是中考压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、等腰直角三角形、 勾股定理、轴对称的性质等重要知识点，涉及考点较多， 有一点的难度 本题难点在于第 （4）问，如何充分利用轴对称的性质确定PCF 周长最小时的几何图形，是解答本题的关键【例 8】 （2013?长春）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx2 与 x 轴交于点 A（ 1，0） 、B（4，0） 点 M、N 在 x 轴上，点 N 在点 M 右

42、侧， MN=2 以 MN 为直角边向上作等腰直角三角形CMN ，CMN=90 设点 M 的横坐标为m（1）求这条抛物线所对应的函数关系式（2）求点 C 在这条抛物线上时m 的值（3）将线段 CN 绕点 N 逆时针旋转90 后，得到对应线段DN 当点 D 在这条抛物线的对称轴上时，求点D 的坐标 以 DN 为直角边作等腰直角三角形DNE ，当点 E 在这条抛物线的对称轴上时，直接写出所有符合条件的m 值（参考公式：抛物线y=ax2+bx+c （a 0）的顶点坐标为（，） ）考点 ：二次函数综合题分析： （1）将 A（ 1，0） 、B（4，0）两点的坐标代入y=ax2+bx2，运用待定系数法即可求

43、出抛物线的解析式；（2） 先根据等腰直角三角形的性质求出点C 的坐标为（m， 2） ， 再将 C 的坐标代入y=x2x2，即可求出m 的值；（3） 先由旋转的性质得出点D 的坐标为（ m， 2） ，再根据二次函数的性质求出抛精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 物线 y=x2x2 的对称轴为直线x=，然后根据点D 在直线 x=上，即可求出点D的坐标； 以 DN 为直角边作等腰直角三角形DNE 时，分别以D、 N 为直角顶点，在DN

44、的两侧分别作出等腰直角三角形DNE，E 点的位置分四种情况讨论针对每一种情况，都可以先根据等腰直角三角形的性质求出点E 的坐标，然后根据点E 在直线 x=上，列出关于 m 的方程，解方程即可求出m 的值解答： 解： （1）抛物线经过点A（ 1，0） 、B（4，0） ，解得抛物线所对应的函数关系式为y=x2x2；（2） CMN 是等腰直角三角形CMN ， CMN=90 ，CM=MN=2 ，点 C 的坐标为（ m，2） ，点 C（m，2）在抛物线上，m2m2=2，解得 m1=，m2=点 C 在这条抛物线上时，m 的值为或；（3） 将线段 CN 绕点 N 逆时针旋转90 后，得到对应线段DN ，CN

45、D=90 ，DN=CN=CM=MN ，CD=CN=2CM=2MN ，DM=CM=MN，DMN=90 ，点 D 的坐标为（ m， 2） 又抛物线y=x2x2 的对称轴为直线x=，点 D 在这条抛物线的对称轴上，点 D 的坐标为（， 2） ； 如图，以 DN 为直角边作等腰直角三角形DNE ，E 点的位置有四种情况：如果 E 点在 E1的位置时，点 D 的坐标为（ m， 2） ，MN=ME1=2，点 N 的坐标为（ m+2， 0） ，点 E1的（m2，0） ，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2

46、0 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 点 E1在抛物线 y=x2x2 的对称轴 x=上，m2=，解得 m=；如果 E 点在 E2的位置时，点 D 的坐标为（ m， 2） ，点 N 的坐标为（ m+2，0） ，点 E2的（m+2， 4） ，点 E2在抛物线 y=x2x2 的对称轴 x=上，m+2=，解得 m=；如果 E 点在 E3的位置时，点 D 的坐标为（ m， 2） ，点 E3的（m，2） ，点 E3在抛物线 y=x2x2 的对称轴 x=上，m=；如果 E 点在 E4的位置时，点 D 的坐标为（ m， 2） ，点 N 的坐标为（ m+2，0） ，点 E4的（m+4，

47、2） ，点 E4在抛物线 y=x2x2 的对称轴 x=上，m+4=，解得 m=；综上可知，当点E 在这条抛物线的对称轴上时，所有符合条件的m 的值为 m=或m=或 m=或 m=点评： 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质等知识，综合性较强， 难度适中 其中（3） 要注意分析题意分情况讨论E 点可能的位置，这是解题的关键精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 21 页，共 25 页 - - - - - - - - - -

48、 【例 9】 （2013?济南）如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB ，O 为坐标原点， OA=1 ，tanBAO=3 ，将此三角形绕原点O 逆时针旋转90 ，得到 DOC，抛物线 y=ax2+bx+c 经过点A、B、C（1）求抛物线的解析式；（2）若点 P 是第二象限内抛物线上的动点，其坐标为t， 设抛物线对称轴l 与 x 轴交于一点E，连接 PE，交 CD 于 F，求出当 CEF 与COD 相似点 P 的坐标； 是否存在一点P，使PCD 得面积最大？若存在，求出 PCD 的面积的最大值；若不存在，请说明理由考点 ：二次函数综合题分析： （1）先求出 A、B、C 的坐标，再运用待定系数法

49、就可以直接求出二次函数的解析式；（2） 由（ 1）的解析式可以求出抛物线的对称轴，分类讨论当CEF=90 时，当CFE=90 时，根据相似三角形的性质就可以求出P 点的坐标； 先运用待定系数法求出直线CD 的解析式， 设 PM 与 CD 的交点为N，根据 CD 的解析式表示出点N 的坐标，再根据SPCD=SPCN+SPDN就可以表示出三角形PCD 的面积，运用顶点式就可以求出结论解答：解： （1）在 RtAOB 中， OA=1 ，tanBAO=3，OB=3OA=3 DOC 是由AOB 绕点 O 逆时针旋转90 而得到的，DOC AOB ，OC=OB=3 ，OD=OA=1 ，A、B、C 的坐标分

50、别为（1，0） ， （0，3） （ 3，0） 代入解析式为，解得：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 22 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 抛物线的解析式为y=x22x+3；（2） 抛物线的解析式为y=x22x+3，对称轴 l=1，E 点的坐标为（1，0） 如图，当 CEF=90 时，CEF COD此时点P在对称轴上，即点P 为抛物线的顶点，P（ 1，4） ；当CFE=90 时， CFE COD，过点 P作 PMx 轴于点 M，则 EFC EMP ，MP=3EM P