2022年人教版初中数学第二十二章二次函数知识点 .pdf

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1、第二十二章二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.1 二次函数1二次函数的概念：一般地，形如2yaxbxc（abc， ，是常数，0a）的函数，叫做二次函数. 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a，而bc，可以为零二次函数的定义域是全体实数2. 二次函数2yaxbxc的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2abc， ，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项22.1.2 二次函数2yax的图象和性质1. 二次函数基本形式：2yax的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小. 例1 若 抛 物 线y=ax2经过 P（1，2） ，则它也

2、经过( ) A （2，1） B （ 1，2） C （1，2） D （ 1， 2）【答案】【解析】试题解析：抛物线y=ax2经过点 P（1，-2） ，x=-1 时的函数值也是-2，即它也经过点（-1，-2） 故选 D考点：二次函数图象上点的坐标特征例 2若点 (2，-1)在抛物线2yax上，那么，当x=2 时， y=_ 【答案】 -1 a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上00，y轴0 x时，y随x的增大而增大；0 x时，y随x的增大而减小；0 x时，y有最小值00a向下00，y轴0 x时，y随x的增大而减小；0 x时，y随x的增大而增大；0 x时，y有最大值0精品资料 - - - 欢迎下载

3、 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 【解析】试题分析：先把(2，-1)直接代入2yax即可得到解析式，再把x=2 代入即可 . 由题意得14a，41a，则241xy，当2x时，.1441y考点：本题考查的是二次函数点评：解答本题的关键是掌握二次函数图象上的点适合这个二次函数的关系式. 2. 2yaxc的性质：上加下减 . 例 1若抛物线y=ax2+c 经过点 P （l， 2） ，则它也经过（）AP1（ 1， 2 ）BP2（ l， 2 ）C P3（ l， 2）D

4、P4（2， 1）【答案】 A 【解析】试题分析：因为抛物线y=ax2+c 经过点 P （l，2） ，且对称轴是y 轴，所以点P （l， 2）的对称点是（1，2） ，所以 P1（ 1，2）在抛物线上，故选：A. 考点：抛物线的性质. 例 2已知函数y=ax+b 经过（ 1，3） ， （0， 2） ，则 ab=（）A 1 B3 C3 D7 【答案】 D【解析】试题分析：函数y=ax+b 经过（ 1，3） ， （0， 2） ，ab3b2，解得a5b2ab=5+2=7故选 D考点： 1直线上点的坐标与方程的关系；2求代数式的值例 3两条直线y1axb 与 y2bxa 在同一坐标系中的图象可能是下图中的

5、( ) a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上0c，y轴0 x时，y随x的增大而增大；0 x时，y随 x的增大而减小；0 x时，y有最小值 c 0a向下0c，y轴0 x时，y随 x 的增大而减小；0 x时，y随x的增大而增大；0 x时，y有最大值 c 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 【答案】无正确答案【解析】分析：首先根据两个一次函数的图象，分别考虑a，b 的值，看看是否矛盾即可解： A、由 y1的图象可知， a0，b0；由

6、 y2的图象可知， a0，b0，两结论矛盾，故错误；B、由 y1的图象可知， a0，b0；由 y2的图象可知， a0，b0，b0；由 y2的图象可知， a0，b0，两结论相矛盾，故错误；D、由 y1的图象可知， a0，b0；由 y2的图象可知， a0，b0)【或左 (h0)【或下 (k0)【或左 (h0)【或左 (h0)【或下 (k0)【或向下 (k0)】平移 |k|个单位y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax2（2）平移规律在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移” 概括成八个字 “ 左加右减，上加下减” 精品资料 - - - 欢迎下载 - - -

7、- - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 方法二：（1）cbxaxy2沿y轴平移 :向上（下）平移m个单位，cbxaxy2变成mcbxaxy2（或mcbxaxy2）（2）cbxaxy2沿轴平移： 向左（右） 平移m个单位，cbxaxy2变成cmxbmxay)()(2（或cmxbmxay)()(2）例 1将二次函数yx2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为() Ayx21 Byx21 Cy(x1)2Dy(x1)2【答案】 A 【解析】直接根据上加下减的原则进行解答即

8、可，将二次函数yx2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为：yx21.故选 A. 例 2将二次函数y=x2的图象向右平移1 个单位，再向上平移2 个单位后，所得图象的函数表达式是Ay=(x 1)2+2 By=(x+1)2+2 Cy=(x 1)2 2 Dy=(x+1)2 2 【答案】 A【解析】试题分析： 原抛物线的顶点为 （0， 0） ，向右平移 1 个单位，再向上平移2 个单位， 那么新抛物线的顶点为（1， 2） 可设新抛物线的解析式为y=（xh）2+k，代入得 y=（x1）2+2故选 A考点：二次函数图象与几何变换例 3将二次函数2xy的图象如何平移可得到342xxy的图象

9、（）A向右平移2 个单位，向上平移一个单位B向右平移2 个单位，向下平移一个单位C向左平移2 个单位，向下平移一个单位D向左平移2 个单位，向上平移一个单位【答案】 C 【解析】2243(2)1yxxx，根据二次函数的平移性质得：向左平移 2 个单位，向下平移一个单位.故选C. 例 4已知点 P（1，m）在二次函数y=x21 的图象上，则m 的值为；平移此二次函数的图象，使点P 与坐标原点重合，则平移后的函数图象所对应的解析式为【答案】 0，y=x22x精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5

10、页，共 15 页 - - - - - - - - - - 【解析】点 P（1，m）在二次函数y=x21 的图象上，（ 1）21=m，解得 m=0，平移方法为向右平移1 个单位，平移后的抛物线的二次函数的顶点坐标为（1， 1） ，平移后的函数图象所对应的解析式为y=（x1）21=x22x，即 y=x22x故答案为： 0，y=x22x2、二次函数2ya xhk与2yaxbxc的比较从解析式上看，2ya xhk 与2yaxbxc是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424bacbya xaa，其中2424bacbhkaa，3、二次函数2yaxbxc图象的画法五点绘图法：利用配方法将二

11、次函数2yaxbxc 化为顶点式2()ya xhk，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点0c，、以及0c，关于对称轴对称的点2hc，、与 x 轴的交点10 x ，20 x ，（若与 x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点 . 4、二次函数2yaxbxc的性质1. 当0a时，抛物线开口向上，对称轴为2bxa，顶点坐标为2424bacbaa，当2bxa时，y随 x 的增大而减小； 当2bxa时，y随 x 的增大而增大； 当2bxa时，y有最

12、小值244acba2. 当0a时，抛物线开口向下，对称轴为2bxa，顶点坐标为2424bacbaa，当2bxa时，y随 x 的增大而增大；当2bxa时，y随 x 的增大而减小；当2bxa时，y有最大值244acba例 1当 a 0 时，方程 ax2+bx+c=0 无实数根，则二次函数y=ax2+bx+c 的图像一定在（）A、x 轴上方B、x 轴下方C、y 轴右侧D、y 轴左侧【答案】 B 【解析】试题分析：方程ax2+bx+c=0 无实数根， b2+4ac0，即函数图形与x 轴没有交点精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - -

13、 - - - - - -第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 又 a 0，二次函数y=ax2+bx+c 的图像一定在x 轴下方故选 B考点：二次函数的性质例 2已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图，则a、b、c 满足（）A、a0，b0，c0 B、a0，b0，c0 C、a0，b0，c0 D、a 0，b0，c0 【答案】 A 【解析】试题分析：由于开口向下可以判断a0，由与 y 轴交于正半轴得到c0，又由于对称轴x=-2ba0，可以得到b0，所以可以找到结果试题解析：根据二次函数图象的性质，开口向下，a0，与 y 轴交于正半轴，c0，又对称轴x=-2ba0，b0

14、，所以 A 正确考点：二次函数图象与系数的关系例 3已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图，其对称轴x=1，给出下列结果：b24ac； abc0； 2a+b=0； a+b+c0；ab+c0，则正确的结论是（）A.B.C.D.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 【答案】 D 【解析】试题分析：根据抛物线与x 轴有两个交点，可得=b24ac0，即 b24ac，故正确；根据抛物线对称轴为x=2ba0，与 y 轴交于负半轴，因此可知a

15、b0，c0，abc0，故错误；根据抛物线对称轴为x=2ba=1， 2ab=0，故错误；当 x=1 时，y0，即 a+b+c0，故正确；当 x=1 时，y0，即 ab+c0，故正确；正确的是故选 D考点：二次函数图象与系数的关系例 4如果二次函数yax2+bx+c （a0 ）的图象如图所示，那么（）Aa0，b0，c0 Ba0，b0，c0 Ca0，b0，c0 Da0，b0，c0 【答案】 D 【解析】试题分析：因为抛物线开口向上，所以a0，又对称轴在y 轴右侧，所以2ba0，所以 b0，又因为抛物线与y轴的交点在x 轴下方，所以c0，所以 a0，b0，c0，故选： D考点：抛物线的性质例 5 已知

16、抛物线y=ax2+bx+c 与 x 轴的公共点是 （ 4， 0） ， （2， 0） ， 则这条抛物线的对称轴是直线【答案】 x=-1【解析】试题分析： 因为点（-4， 0） 和 （2， 0）的纵坐标都为0，所以可判定是一对对称点，把两点的横坐标代入公式x=122xx求解即可试题解析：抛物线与x 轴的交点为（ -4，0） ， （2，0） ，两交点关于抛物线的对称轴对称，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 则此抛物线的对称轴是直线x=4

17、212，即 x=-1考点：抛物线与x 轴的交点5、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2yaxbxc（ a，b， c 为常数，0a） ；2. 顶点式：2()ya xhk（ a，h，k为常数，0a） ；3. 两根式：12()()ya xxxx（0a，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 x 轴有交点，即240bac时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化. 6、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2yaxbxc中， a 作为二

18、次项系数，显然0a 当0a时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； 当0a时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴 在0a的前提下，当0b时，02ba，即抛物线的对称轴在y轴左侧；当0b时，02ba，即抛物线的对称轴就是y轴；当0b时，02ba，即抛物线对称轴在y轴的右侧 在0a的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b时，02ba，即抛物线的对称轴在y轴右侧；当0b时，02ba，即抛物

19、线的对称轴就是y轴；当0b时，02ba，即抛物线对称轴在y轴的左侧总结起来，在a 确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置ab的符号的判定： 对称轴abx2在y轴左边则0ab， 在y轴的右侧则0ab， 概括的说就是“ 左同右异 ”总结：3. 常数项 c精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 当0c时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； 当0c时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；

20、当0c时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负总结起来， c 决定了抛物线与y轴交点的位置总之，只要abc， ， 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式7、二次函数图象的对称二次函数图象

21、的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于 x轴对称2ya xb xc关于 x轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2ya xhk 关于 x 轴对称后，得到的解析式是2ya xhk ；2. 关于y轴对称2ya xb xc关于y轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2ya xhk 关于y轴对称后，得到的解析式是2ya xhk ；3. 关于原点对称2ya xb xc关于原点对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2yaxhk 关于原点对称后，得到的解析式是2ya xhk ；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180 ）2ya xb xc关于顶点对称后，得到的解析式是222bya

22、xbxca；2ya xhk 关于顶点对称后，得到的解析式是2ya xhk 5. 关于点mn，对称2ya xhk 关于点mn，对称后，得到的解析式是222ya xhmnk根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变 求抛物线的精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向

23、，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式22.2 二次函数与一元二次方程1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20axbxc是二次函数2yaxbxc当函数值0y时的特殊情况. 图象与 x 轴的交点个数： 当240bac时，图象与x 轴交于两点1200A xB x，12()xx，其中的12xx，是一元二次方程200axbxca的两根这两点间的距离2214bacABxxa. 当0时，图象与x 轴只有一个交点； 当0时，图象与x 轴没有交点 . 1当0a时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y；2当0a时，图象落在x

24、 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y2. 抛物线2yaxbxc 的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0 ，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图象的位置判断二次函数2yaxbxc 中 a，b，c 的符号，或由二次函数中a，b， c 的符号判断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与 x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax

25、bxc a本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 例 1已知函数kxxy632（k为常数）的图象经过点A（0 8，1y）， B（11，2y），C（2，3y），则有（）A1y2y3yB1y2y3yC3y1y2yD1y3y2y【答案】 C 【解析】试题分析：因为函数kxxy632的对称轴是6126bxa，且抛物线开口向上，所以可以画出函

26、数图象的草图，观察图象可得：3y1y2y，故选： C考点：二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特点例 2已知二次函数y=x22mx2，当 x2 时，y 的值随 x 的增大而增大，则实数m 的取值范围是. 【答案】 m -2【解析】试题分析：根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于2 列式计算即可得解试题解析：抛物线的对称轴为直线x=-22 1m=-m，当 x2 时， y 的值随 x 值的增大而增大，-m 2 ，0抛物线与x 轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根0抛物线与x 轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根0抛物线与x 轴

27、无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 解得 m -2考点：二次函数的性质例 3函数cbxxy2的图象经过点（1，2） ，则 b-c 的值为【答案】 1 【解析】试题分析：把点（1，2）代入cbxxy2，得：12bc，所以1bc. 考点：函数图象上的点. 例 4已知抛物线y=ax2+bx+3 的对称轴是直线x=1（1）求证： 2a+b=0；（2）若关于 x 的方程 ax2+bx8=0

28、的一个根为4，求方程的另一个根【答案】（ 1）见解析；（2）x=2 【解析】试题分析：直接利用对称轴公式代入求出即可；根据（1）中所求，再将x=4 代入方程求出a，b 的值，进而解方程得出即可试题解析：（1）证明：对称轴是直线x=1=2ba，b=2a 2a+b=0；（2） ax2+bx8=0 的一个根为4， 16a+4b8=0，b=2a， 16a8a8=0，解得： a=1，则 b=2， a2x+bx8=0 为：2x2x8=0，则（ x4） （x+2）=0，解得：1x=4，2x=2，故方程的另一个根为：2考点：二次函数的性质；二次函数图象与系数的关系；抛物线与x 轴的交点例 5已知函数21yxb

29、x的图象经过点（3，2） （1）求这个函数的解析式；（2）当0 x时，求使2y的 x 的取值范围【答案】（ 1）221yxx； （2）3x【解析】试题分析：（1）把（ 3，2）代入函数解析式求出b 的值，即可确定出解析式；（2）利用二次函数的性质求出满足题意x 的范围即可试题解析：（1）函数21yxbx的图象经过点（3，2） ，9312b，解得：2b，则函数解析式为：221yxx；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 15 页 - - - - - - - - - - （2）当3x时

30、，2y，根据二次函数性质当3x时，2y，则当0 x时，使2y的 x 的取值范围是3x考点：待定系数法求二次函数解析式22.3 实际问题与二次函数例 1在同一坐标系内，一次函数y=ax+b 与二次函数y=ax2+8x+b 的图象可能是（）【答案】 C 【解析】试题分析： A、对于一次函数a0，对于二次函数a0，则不正确； B、对于一次函数b0，对于二次函数b0，则不正确； C、正确； D、对于一次函数b0，对于二次函数b0，则不正确考点：函数图象例 2学生校服原来每套的售价是100 元，后经连续两次降价，现在的售价是81 元，则平均每次降价的百分数是（）A9% B85% C9 5% D10% 【

31、答案】 D【解析】试题分析：设平均每次降价的百分数是x，根据等量关系“ 校服原来每套的售价是100 元 （1-下降率）2=每套校服现在的售价是81 元” ，列出方程100（1-x）2= 81 元，解得 x 即可，故答案选D考点：一元二次方程的应用x精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 15 页 - - - - - - - - - -