2019年考研数学二真题与解析.pdf

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1、1 2019 年考研数学二真题解析一、选择题18 小题每小题4 分，共 32 分1当0 x时，若tanxx与kx是同阶无穷小，则k（）（A）1（B）2（C）3（D）4【答案 】 （C）【详解 】当0 x时，331tan()3xxxo x，所以331tan()3xxxo x，所以3k2曲线3sin2cos()22yxxxx的拐点是（）（A）(0, 2)（B）(, 2)（C）(,)22（D）33(,)22【答案 】 （D）【详解 】sin2cosyxxx，cossinyxxx，sinyxx，sincosyxxx；令sin0yxx得120,xx，且( )0f，所以(, 2)是曲线的拐点；而对于点(0

2、,0)，由于(0)0f，而(4)(0)0f，所以不是曲线的拐点3下列反常积分发散的是（）（A）0 xxe dx（B）20 xxedx(C）20arctan1xdxx（ D）201xdxx【答案 】 （D）【详解 】 （1）当x时，2( )1xf xx是关于1x的一阶无穷小，当然201xdxx发散；（2）用定义：20201ln(1)|12xdxxx，当然201xdxx发散4已知微分方程xyaybyce的通解为12()xxyCC x ee，则, ,a b c依次为（）（A）1,0,1（B）1,0,2(C）2,1,3（ D）2,1,4【答案 】 （D）【详解 】 （1）由非齐次线性方程的通解可看出1

3、21rr是特征方程20rarb的实根，从而确定2,1ab；（2）显然，*xye是非齐次方程的特解，代入原方程确定4c5 已 知 平 面 区 域(, ) |2Dx yxy， 记221DIxy dxdy，222sinDIxy dxdy，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 2 223(1cos)DIxydxdy，则（）（A）321III（B）213III（C）123III（ D）231III【答案 】 （A）【 详 解 】（ 1 ） 显

4、然 在 区 域D22202xy， 此 时 由 结 论 当0 x时sinxx知 道2222sinxyxy，所以12II；（2）当0 x时，令( )1cossinf xxx，则( )sincosfxxx，( )sincosfxxx；令( )0fx得到在(0,)2唯一驻点4x，且04f，也就是( )1cossinf xxx在4x取得极小值04f，在0,2xx同时取得在0,2上的最大值(0)()02ff，也就有了结论，当(0,)2x时，1cossinxx，也就得到了32II；由（ 1） 、 （2）可得到321III6设函数( ),( )f xg x的二阶导函数在xa处连续，则2( )( )lim0()

5、xaf xg xxa是两条曲线( )yf x，( )yg x在xa对应的点处相切及曲率相等的（）（A）充分不必要条件（B）充分必要条件（C）必要不充分条件（D）既不充分也不必要条件【答案 】 （A）【详解】充分性： （1）当2( )( )lim0()xaf xg xxa进，由洛必达法则，2( )( )1( )( )10limlim( )( )( )( )()22xaxaf xg xfxg xfag afag axaxa也就是两条曲线在xa对应的点处相切；（2）2( )( )1( )( )10limlim( )( )( )( )()22xaxaf xg xfxgxfagafagaxaxa由曲率公

6、式23(1)yky可知两条曲线在xa对应的点处曲率相等必要性不正确的原因在于，虽然相切能得到( )( )fag a，但在相切前提下，曲率相等，只能得到精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 3 ( )( )faga，不能确定( )( )faga，当然得不到2( )( )lim0()xaf xg xxa7 设A是四阶矩阵，*A为其伴随矩阵，若线性方程组0Ax的基础解系中只有两个向量，则( *)r A（）（A）0（B）1（C）2（ D）3【

7、答案 】 （A）【详解】线性方程组0Ax基础解系中只有两个向量，也就是4()2( )213r Ar An，所以( *)0r A8设A是三阶实对称矩阵，E是三阶单位矩阵，若22AAE，且4A，则二次型Tx Ax的规范形是（）（A）222123yyy（B）222123yyy（C）222123yyy（D）222123yyy【答案 】 （C）【详解】假设是矩阵A的特征值，由条件22AAE可得220，也就是矩阵A特征值只可能是1和2而1234A，所以三个特征值只能是1231,2，根据惯性定理，二次型的规范型为222123yyy二、填空题（本题共6 小题，每小题4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线

8、上）920lim2xxxx【答案 】24e解：02(21)22lim2(1ln2)200lim2lim 1214xxxxxxxxxxxxeee10曲线sin1cosxttyt在32t对应点处的切线在y的截距为【答案 】322【详解 】32sin,|11costdytdydxtdx，所以切线方程为331(1)222yxx，在y的截距为32211.设函数( )f u可导，2yzyfx，则2zzxyxy.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - -

9、 4 【答案 】22zzyxyyfxyx【详解 】3222222,zyyzyyyfffxxxyxxx，22zzyxyyfxyx12曲线ln cos(0)6yxx的弧长为【答案 】1ln 32【详解 】2211tansecdsy dxxdxxdx66001secln(sectan ) |ln 3.2sxdxxx13已知函数21sin( )xtf xxdtt，则10( )f x dx【答案 】1(cos11)4【详解 】 （1）用定积分的分部积分：211111200001021122010211212201002 10sin( )( ) |( )()sin1sin()sin21sin11|sins

10、in22211cos|(cos1 1)44xxxtf x dxxf xxfx dxxdt dxxx dxttdt dxxx dxttxdtxx dxxx dxtx（2）转换为二重积分：22211111120010000sinsinsin11( )sin(cos1 1)24xtxtttf x dxxdt dxxdxdtdtxdxtt dtttt14已知矩阵1100211132210034A，ijA表示元素ija的代数余子式，则1112AA【答案 】4【详解 】1112111213141100211100432210034AAAAAA精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - -

11、- - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 5 三、解答题15 （本题满分10 分）已知函数2,0( )1,0 xxxxf xxex，求( )fx，并求函数( )f x的极值【详解 】当0 x时，22ln( )xxxf xxe，2( )2(ln1)xfxxx；当0 x时，( )1xf xxe，( )(1)xfxxe；在0 x处，22000( )(0)12(ln1)(0)limlimlim1xxxxxf xfxxxfxx，所以( )f x在0 x处不可导综合上述：22(ln1),0( )(1),0 xxx

12、xxfxxex；令( )0fx得到1211,xxe当1x时，( )0fx， 当10 x时，( )0fx， 当10 xe时，( )0fx， 当1xe时，( )0fx；故11x是函数的极小值点，极小值为1( 1)1fe；0 x是函数的极大值点，极大值为(0)1f；21xe是函数的极小值点，极小值为21( )efee16 （本题满分10 分）求不定积分2236(1) (1)xdxxxx【详解 】22222223623213(1)2ln1(1) (1)1(1)11132ln1ln(1)1xxd xxdxdxxxxxxxxxxxxxxxCx17 （本题满分10 分）设函数( )y x是微分方程2212x

13、yxyex满足条件(1)ye的特解（1）求( )y x的表达式；（2）设平面区域(,)|12,0( )Dx yxyy x，求D绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积【详解 】 （1）这是一个一阶线性非齐次微分方程先求解对应的线性齐次方程0yxy的通解：22xyCe，其中C为任意常数；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 6 再 用 常 数 变 易 法 求2212xyxyex通 解 ， 设22( )xyC x e为 其 解 ， 代 入 方

14、程 ， 得222211( ),( )22xxCx eeCxxx，11( )2C xdxxCx，也就是通解为：221()xyxC e把初始条件(1)ye代入，得10C，从而得到22( ).xy xxe（2）旋转体的体积为2222411( )()2xxVy xdxxe dxee18（本题满分 10 分）设平面区域2234(, ) |,()Dx yxyxyy， 计算二重积分22Dxydxdyxy【 详 解 】 显 然 积 分 区 域2234( , )|,()Dx yxyxyy关 于y轴 对 称 ， 由 对 称 性 ， 显 然220Dxdxdyxy；233sin5442222044143 2sinsi

15、n2120DDxyydxdydxdydrdrdxyxy19 （本题满分10 分）设n是正整数，记nS为曲线求曲线sin(0)xyexxn与x轴所形成图形的面积，求nS，并求lim.nnS【详解 】先求曲线与x轴的交点：令sin0 xex得,0,1,2,xkkn当2(21)kxk时，sin0 xyex；当2(22)kxk时，sin0 xyex由不定积分1sin(sincos )2xxexdxexxC可得2221sin(1)2kxkkexdxee，22221sin(1)2kxkkexdxee所求面积为0sinnxnSexdx当n为奇数时，(21)222210220022002(1)2222(1)2

16、0sinsinsin11(1)(1)221111 1(1)(1)(1)22121nnnkkxxxnkkkknnkkkknnknkSexdxexdxexdxeeeeeeeeeeee同理：(2)2201 1sin(1)2 1nxnneSexdxee精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 7 显然，有2121 1limlim2 1nnnneSSe所以1 1lim2 1nneSe20 （本题满分11 分）已知函数( , )u x y满足关系式2

17、2222230uuuxyy求,a b的值，使得在变换( , )( ,)ax byu x yv x y e之下，上述等式可化为函数( , )v x y的不含一阶偏导数的等式【详解 】在变换( , )( ,)ax byu x yv x y e之下( , )ax byax byuveav x y exx，( ,),axbyaxbyuvebv x y eyy222222( , )ax byax byaxbyuvveaea v x y exxx，222222( , )ax byax byax byuvvebeb v x y eyyy；把上述式子代入关系式22222230uuuxyy，得到22222222

18、4(34 )(223 ) ( ,)0vvvvababb v x yxyxy根据要求，显然当30,4ab时，可化为函数( , )v x y的不含一阶偏导数的等式21 （本题满分11 分）已知函数( )f x在0,1上具有二阶导数，且(0)0,(1)1ff，10( )1f x dx，证明：（1）至少存在一点(0,1)，使得( )0f；（2）至少存在一点(0,1)，使得( )2f证明（1）令0( )( )xxf t dt，则10(0)0,(1)( )1f x dx，则由于( )f x在0,1连续，则( )x在0,1上可导，且( )( )xf x，则由拉格朗日中值定理，至少存在一点1(0,1)，使得(

19、 )(1)(0)，也就是1101( )()(1)f x dxff；对( )f x在1,1上用罗尔定理，则至少存在一点1(,1)(0,1)，使得( )0f；（2）令2( )( )F xf xx，则显然，( )F x在0,1具有二阶导数，且211(0)0,(1)2,()1FFF对( )F x分别在110,1上用拉格朗日中值定理，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 8 至少存在一点11(0,)，使得211111()(0)1()0FFF；至

20、少存在一点21(,1)，使得1211()(1)()11FFF；对( )( )2Fxfxx在12,上用拉格朗日中值定理，则至少存在一点12(,)(0,1)，使得211212111()()( )0FFF，也就是( )2f22 （本题满分11 分）已知向量组：12321111 ,0 ,2443a；向量组：12321011,2,3313aaa若向量组和向量组等价，求常数a的值，并将3用123,线性表示【详解 】向量组和向量组等价的充分必要条件是123123123123(,)(,)(,;,)rrr1231232222111101111101(,;,)102123011022443313001111aaa

21、aaaaa（1）当1a时，显然，123123123123(,)(,)(,;,)2rrr，两个向量组等价此时，123311111023(,;)0112011200000000，方程组112233xxx的通解为123231210 xxxkx，也就是3123( 23)(2)kkk，其中k为任意常数；（2）当1a时，继续进行初等行变换如下：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 9 12312322111101111101(,;,)011022

22、011022001111001111aaaaaa显然，当1a且1a时，123123123(,)(,;,)3rr，同时123101101101,02202201111101001aaa，123(,)3r，也就是123123123123(,)(,)(,;,)2rrr，两个向量组等价这时，3可由123,线性表示，表示法唯一：312323 （本题满分11 分）已知矩阵22122002Ax与21001000By相似（1）求,x y之值；（2）求可逆矩阵P，使得1P APB【详解 】 （1）由矩阵相似的必要条件可知：ABtrAtrB，即2( 24)241xyxy，解得32xy（ 2 ） 解 方 程 组22

23、1232(2)(2)(1)0002EA得 矩 阵A的 三 个 特 征 值1232,1,2；分别求解线性方程组()0(1,2,3)iEA xi得到分属三个特征值1232,1,2的线性无关的特征向量为：1231112 ,1 ,2004令1123111,212004P，则1P可逆，且11212P AP；同样的方法，可求得属于矩阵B的三个特征值1232,1,2的线性无关的特征向量为：1231100 ,3,00014精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 10 令2123110,030001P，则2P可逆，且12212P BP；由前面111122PAPPBP，可知令112111212004PPP，就满足1P APB精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - - -