线性方程组.doc

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1、第四章 线性方程组线性方程组的解的理论和求解方法，是线性代数学的核心内容，在第一章中介绍的克拉默法则有其局恨性，克拉默法则只适用于讨论方程个数与未知量个数相同的线性方程组，在2.7节中，我们介绍了用初等行变换求线性方程组的解的方法，并给出了齐次线性方程组有非零解的充分必要条件。本章将利用在第三章中介绍的向量理论，建立线性方程组理论：解的存在性和解的结构并给出它的通解表示法。4.1齐次线性方程组4.1.1齐次线性方程组的解在2.7节中，我们已把含有m个方程、n个未知量的齐次线性方程组（4.1）方程（4.1）的矩阵形式为（4.1.1）简写成矩阵形式Ax=0,其中并把Ax=0的A称为系数矩阵,x为n

2、维未知列向量,O为m维零列向量.若x1=k1， x2=k2,xn=kn,是方程组（4.1）的解,也可写作是方程组（4.1.1）的解,若记，就说x=是齐次线性方程组Ax=0的解向量,简称解,它满足=0,今后我们也常用向量形式表示方程组Ax=0的解.所谓x=是Ax=0的解,指的是满足 =0的n维列向量。它有n个分量，而且它是列向量。n维零列向量0显然是Ax=0的解，称为零解。Ax=0的不是零列向量0的解称为非零解，即其中至少有一个分量不是零。容易证明齐次线性方程组 Ax=0的解有下面性质：性质1 若是齐次线性方程组Ax=0的解，则也是x=0的解。证 因为都是Ax=0的解，必有所以必有这说明是Ax=

3、0的解。性质2 若是齐次线性方程组Ax=0的解，k是任意实数，则也是Ax=0的解。证 因为是Ax=0的解，必有=0，所以对于任意实数k，必有这说明也是Ax=0的解 由性质1、性质2可知，若与若Ax=0的解，则有也是Ax=0的解，即解的线性组合。对于齐次线性方程组，我们提出三个问题，第一个问题是，满足什么条件时，它有非零解？第二章的定理2.7.1已回答了这个问题：齐次线性方程组有非零解当且仅当它的系数矩阵的秩小于它的未知量的个数。第二个问题是，当齐次线性方程组有非零解时，有多少个解？第三个问题是，当齐次线性方程组有无穷多个解时，它的所有的解能否用一个简单的表达式表示出来？在本节中，我们将回答后两

4、个问题。我们先考察一个实例。例1 讨论齐次线性方程组的解。解 用矩阵的初等行变换化简齐次线性方程组的系数矩阵：得到同解方程组，即，据此可得它的一般解：如果取自由未知量x3=1，就得到一个特殊的解，那么，它的一般解可以写成，k是任意实数。在例1中，我们发现以下事实：它有无穷多个解；存在一个特殊的解，使得它的一般解可以用它线性表出；系数矩阵的秩显然为r=2，而未知量个数n=3.计算nr（A）=32=1，它恰好是用来线性表达一般解的特殊解的个数。下面我们将对具有如此功能的那些解向量引进如下定义。定义4.1.1设为齐次线性方程组Ax=0的一个解向量集，如果它满足以下两个条件：（1）是线性无关的向量组；

5、（2）Ax=0的任意一个解都可表示为的线性组合，即是常数，则称是Ax=0的一个基础解系。由定义可知，Ax=0的基础解系，实际上，就是Ax=0的解空间V中的一个基，反之，Ax=0的解空间V中的任意一个基，一定是Ax=0的一个基础解系。当Ax=0只有零解时，它没有线性无关的解，因而它没有基础解系。当Ax=0有非零解时，它的解空间V不是零空间0，也就是说，V一定是有无穷多个向量的向量组，因而V中一定有无穷多个基（也就是向量集合V的极大无关组）。因此只要Ax=0有非零解，那么，它一定有无穷多个基础解系。因为Ax=0的基础解系都是Ax=0的解空间V的基，所以它们是等价的线性无关组，因而必有相同个数的向量

6、，这个个数就是向量空间V的维数，那么，组成Ax=0的基础解系中的解向量个数s（也就是Ax=0的解空间的维数）如何确定呢？我们不加证明地给出以下定理。定理4.1.1在齐次线性方程组Amxnx=0（m表示方程个数，n表示未知数个数）中有：（1）当r（A）=n时，（它表示有效的保留方程有n个）方程组Ax=0只有一个零解。（2）当r（A）rn时，（它表示有效的保留方程有r个且小于未知数个数n）方程组Ax=0有非零解，且基础解系的解向量有（n-r）个注意：基础解系必须满足三个条件基础解系中每一个向量都是Ax=0的解基础解系的向量个数必须为（n-r）基础解系的向量组线性无关所以当r（A）n时，方程组Ax=

7、0的任何（nr）个线性无关的解向量组1，2n-r都是基础解系。若向量组是Ax=0的基础解系则Ax=0的通解为例2.设1，2, 3是某个齐次线性方程组Ax=0的基础解系,证明:1=2+3, 2=1+3, 3=1+2,一定是Ax=0的基础解系。证 直接验证它们构成基础解系的三个条件，首先，它们的个数与已给的基础解系1，2，3的个数相同，都为3，即n-r=3，其次，显然有A1=A（2+3）=0，A2=A（1+3）=0，A3=A（1+2）=0，最后，根据题设条件可以写出矩阵等式把它记为B=AP，因为表出矩阵的行列式=20P是可逆矩阵，所以r（B）=r（A）=3,这说明1，2，3必线性无关，所以1，2，

8、3必是Ax=0的基础解系。当然，我们也可以直接证明本题中的向量组1，2，3的线性无关性，设k11+ k22+ k33=0即k1（2+3）+ k2（1+3）+ k3（1+2）=0,从而（k2+ k3）1+（k1+ k3）2+（k1+ k2）3=0因为1,2,3线性无关，所以必有k2+ k3=0，k1+ k3=0，k1+ k2=0。再把它们相加得到k1+ k2+k3=0，于是必有k1=k2=k3=0，1，2，3一定线性无关显然，通过如此建立的矩阵等式，并利用矩阵的秩的结论，来判断向量组的线性无关性，往往显得简洁和直观。例3 设1,2,3是某个齐次线性方程组Ax=0的基础解系，证明：1=1+2，2=

9、1+32+23，3=21+2一定是Ax=0的基础解系。证：根据已知条件可以写出矩阵等式：记为B=AP，因为表出矩阵的行列式P是可逆矩阵，所以r（B）=r（A）=3，这说明1，2，3必线性无关，另外，显然有A1=A（1+2）=0A2=A（1+32+23）=0A3=A（21+2）=0所以，Ax=0的三个线性无关的解1,2,3一定是Ax=0的基础解系，证毕4.1.2 齐次线性方程组的通解的求法例4 求的通解。解：可以先调整方程的次序使得系数矩阵的左上角的元素为1，然后再用初等行变化成简化行阶梯形矩阵T。根据这个简化行阶梯形矩阵T，就可以写出原方程组的同解方程组。这里是取x3和x4为两个自由未知量（确

10、实有n-r=4-2=2）取x3=1，x4=0，代入同解方程组求出x1=3，x2=-4取x3=0，x4=1，代入同解方程组求出x1=-4，x2=5于是可以得到一个基础解系因此，所需求的通解为=k11+ k22, k1和 k2为任意实数。注：这里用到“两个线性无关的2维列向量组的接长向量组1和2必线性无关组”这一重要命题，于是n-r=4-2=2个线性无关的解1和2一定是原方程组的基础解系。向量接长的方法就是，将已经取定的自由未知量的值代入已经建立的同解方程组，再求出相应的特殊的解，作为基础解系中的一个成员，因为自由未知量是可以任意取值的，所以对应于自由 未知量不同的取值，所求出的是不同的基础解系，

11、对应于同一个齐次线性方程组的基础解系，如果存在的话，必有无穷多个，通常采用最简单的方法；把某个自由未知量的值取成1，其余自由未知量的值取成0，代入方程组求出基础解系中的某个成员，但必须注意的是，绝对不可以取零解，也不能取线性相关的解，因为基础解系一定是由线性无关的解向量组成的。为了不改变未知量的下标，在把系数矩阵化成阶梯形矩阵的过程中，不宜而且也不必作矩阵的初等列变换，只用初等行变换完全可以把原系数矩阵化成简化行阶梯形矩阵。 例5.求的通解。解：同解方程组为分别取x2=1,x5=0和x2=0,x5=1可得基础解系于是，线性方程组的通解为=k11+ k22, k1和k2为任意实数。例6 证明同解

12、的齐次线性方程组的系数矩阵必有相同的秩。证：设Ax=0与Bx=0是两个同解的齐次线性方程组，则它们必有相同的基础解系，其中所含的解向量个数相同，即得n-r（A）= n-r（B），r（A）=r（B）。例7.设矩阵和满足AB=0，证明：r（A）+r（B）n证：将B按列分为s块：B=（1,2.s），则由AB=0，得A（1，2，s）=0 （A1, A2， As）=（0，0，0）,从而Aj=0（j=1,2,s）即j都是齐次方程组Ax=0的解。当r（A）=rn时，Ax=0存在基础解系，且基础解系由n-r个向量组成，就是说，方程组的解向量组的秩为n-r，由于向量组1,2.s是Ax=0的 s个解向量，它的秩当

13、然不会超过n-r，由此可知r（1,2.s）n-r，即r（B）n-r=n-r（A），或r（A）+r（B）n4.2非齐次线性方程组4.2.1非齐次线性方程组有解条件在2.7节中，已把含有m个方程，n个未知量的非齐次线性方程组（4.2）的矩阵形式为简写成矩阵形式Ax=b，其中并称A为Ax=b的系数矩阵，x为n维未知列向量，b为m维右端常列向量，分块矩阵（A，b）称为Ax=b的增广矩阵，它是m（n+1）矩阵，有时，就直接用（A，b）代表非齐次线性方程组Ax=b。满足A=b的n维列向量称为Ax=b的解向量，可简称为它的解。因为齐次线性方程组必有零解，所以讨论的是它何时有非零解，有多少个非零解，如何表示通

14、解，而非齐次线性方程组未必有解，所以首先要讨论是它何时有解，在确定它有解以后，再讨论它何时有惟一解，何时有无穷多个解，如何表达一般解。为了探讨非齐次线性方程组Ax=b何时有解，我们把系数矩阵A写成列向量表示法；A=（1,2.n）其中，于是，非齐次线性方程组Ax=b可以写成列向量的线性组合形式：x11+ x22+xnn=b实际上，它就是这说明，Ax=b有解与b是A的列向量组1,2.n的线性组合是同一件事。据此就可以得到非齐次线性方程组有解的判别定理：定理4.2.1 Ax=b有解r（A,b）=r（A）证：如果Ax=b有解，那么，存在常数k1,k2,kn使（4，3）式成立：b=k11+ k22+ k

15、nn=0这说明b是A的列向量组1,2，n的线性组合，因此，以下两个列向量组等价：S1=1，2，n,b, S2=1，2，n ,因为r（A,b）=r（S1）, r（A）=r（S2），而等价的向量组必定同秩，所以当S1与S2等价时，必有r（A,b）=r（A）,这说明当Ax=b有解时，必有r（A,b）=r（A）。反之，当r（A,b）=r（A）时，必有r（S1）=r（S2），因为，所以b一定是A的列向量组1，2，n的线性组合，这说明Ax=b有解。因为（A,b）是在A的右边添加一个列向量b构成的，所以，只有以下两种可能性。当r （A,b）= r（A）时，Ax=b必有解。当r （A,b）= r（A）+1时，

16、Ax=b必无解。4.2.2非齐次线性方程组的解的结构特别需要注意的是，当b0时，Ax=b的两个解的和不再是它的解了，它的一个解的倍数也不再是它的解了，事实上，若A1=b，A2=b，则A（1+2）=2bb，A（k1）=k（A1）=kbb其中k为不等于1的任意实数，这也就是说，Ax=b的若干个解的线性组合不再是它的解了，所以，对于非齐次线性方程组Ax=b来说，根本不存在解空间和基础解系等概念。对于任意一个非齐次线性方程组Ax=b，一定对应有一个齐次线性方程组Ax=0，称Ax=0为Ax=b的导出组（又称为相伴方程组）。这样就在Ax=b和Ax=0之间架设一座桥梁，它们有相同的系数矩阵，希望可借助于Ax

17、=0的基础解系求出Ax=b的通解。设齐次线性方程组（4，1）是非齐次线性方程组（4，2）的导出组，则它们的解之间具有以下性质：性质1 如果1，2是非齐次线性方程组Ax=b的解，则=1-2是它的导出组Ax=0的解。证：因为1，2是Ax=b的解，必有A1=b和A2=b，所以必有A=A（1-2）= A1-A2=b-b=0这说明=1-2是它的导出组Ax=0的解。注意:性质2 如果是非齐次线性方程组Ax=b的解，是它的导出组Ax=0的解，则+必是Ax=b的解。证 因为是Ax=b的解，是Ax=0的解，必有A=0，A=b，所以必有A（+）= A+A=0+b=b这说明+必是Ax=b的解。这就是说，非齐次线性方

18、程组的任意两个解的差必是其导出组的解，非齐次线性方程组的任意一个解与其导出组的任意一个解的和仍是非齐次线性方程组的解。任取Ax=b的两个解和*，令=-*，由A=b和A*=b知道必有A=A（-*）= b-b=0这说明=-*必是导出组的解，于是由=-*知道=*+，这说明Ax=b的任意一个解一定可以写成Ax=b的任意一个特解*和其导出组Ax=0的某个解之和，而Ax=0的这个解又可表示成Ax=0的任意一个基础解系的线性组合，于是可以得到Ax=b的解的结构定理：在非齐次线性方程组中Amxnx=b中（一）若r（Ab）=r（A）=n，则方程组有解且惟一；（二）若r（Ab）=r（A）=rn，则方程组有解且无限

19、多，并且x=*+k11+kn-rn-r其中*是Ax=b的一个特解。1，2，n-r是导出组Ax=0的基础解系。（三）若r（Ab）r（A），则方程组无解。特别情形，若A为n阶方阵，则有定理：在方程组Ax=b中若，则方程组有惟一解且x=A-1b4.2.3非齐次线性方程组的求解方法求已给的非齐次方程组Ax=b的通解的方法是，用初等行变换把它的增广矩阵（A,b）化成简化行阶梯形矩阵（T，d），在2.7节已证明了Ax=b与Tx=d是同解的非齐次线性方程组，于是Tx=d的通解就是Ax=b的通解。例1 求的通解解: 这个（T,d）就是（A,b）的简化行阶梯形矩阵，据此得到原方程组的同解方程组常取x2=x3=0

20、得到一个特解原方程组的导出组的同解方程组为分别令可求得基础解系于是求得方程组的解=*+k11+ k22,其中k1、 k2为任意实数。求非齐次线性方程组的特解的方法是任意的，最方便的方法是把自由未知量的值都取为零。例2 当参数a为何值时，非齐次线性方程组有解？当它有解时，求出它的通解。解：先把增广矩阵化简：可见（1）当a1时，第三个方程是矛盾方程（等式左边是0而右边不是0），所以方程组无解。（2）当a=1时，去掉后两个零方程，可把最后一个同解方程组继续化简。得到同解方程组据此，令x3=x4=0，可求出特解原方程组的导出组的同解方程组为分别令可求得基础解系于是可求出通解k1,k2为任意实数例3 证

21、明：线性方程组有解且仅当 证：把增广矩阵的前四行都加到第五行上去，即得于是，此线性方程组有解 例4 设Ax=b中未知量个数n=4，r（A）=3，设1，2，3为Ax=b 的三个解，已知求Ax=b的通解解：因为n-r（A）=4-3=1，所以Ax=0的任意一个非零解都是它的基础解系，因为1，2，3都是Ax=b的解，所以1-2和1-3都是Ax=0的解，它们的和也是Ax=0的非零解，它就是Ax=0的基础解系，因此Ax=b的通解为=1+k,k为任意实数。注：若1，2，3是Ax=b的解，则有是导出组Ax=0的解。（2）是Ax=b的解。例5.当参数为何值时，非齐次线性方程组无解？有惟一解？有无穷多个解？并求出

22、它的通解。解：因为方程个数与未知量个数相同，所以可以考察系数矩阵A是不是可逆矩阵，计算（1）当=-2时，只用初等行变换把增广矩阵简化行阶梯形矩阵：因为第三个方程是矛盾方程，所以线性方程组无解。（2）当=1时，线性方程组是x1+x2+x3=1，它有两个自由未知量，可取特解它的导出组x1+x2+x3=0的基础解系可以取为所以线性方程组的通解为=*+k11+ k22，k1和 k2为任意实数。（3）当1且-2时，A是可逆矩阵，线性方程组Ax=b必有惟一解，为了求出惟一解，可以用初等行变换把增广矩阵化成简化行阶梯形矩阵，注意到-10，+20，有于是求出惟一解为本章小结一、基本概念1.齐次线性方程组与非齐

23、次线性方程组以及它们的解。2.齐次线性方程组的解空间和基础解系以及通解。3.非齐次线性方程组的通解。二、基本结论与公式1.齐次线性方程组Ax=0的任意有限个解的任意线性组合必是它的解。2.在齐次线性方程组Amnx=0中，（n表示未知数，m表示方程个数）若r（A）=r=n，则Amnx=0只有零解，这时没有基础解系。r（A）=rn，则Amnx=0有非零解，且基础解系中有（n-r）个解向量1，2n-r而且解向量空间中任何（n-r）个线性无关解都可以作为基础解系，它的通解为：x=k11+ k22+ kn-rn-r特别情形，当m=n时，Amn是方阵，则有结论时，Amn=0只有零解时，Amn=0有非0解（

24、无穷多个）（3）在非零齐次线性方程组Amn=b中，若*是Amn=b的一个特解是它的导出组Amnx=0的一个解。是Amnx=b的解。（4）在非零齐次方程组，Amnx=b中，若r（A）r（A,b），则说明方程组，Amnx=b中有无解方程，Amnx=b无解。若r（A）=r（A,b），则说明方程组，Amnx=b中没有无解方程，Amnx=b有解。（i）当r（A）=r（A，b）=n（未知数个数）时，说明保留方程与未知数个数相同，所以Amnx=b的解惟一。（ii）当r（A）=r（A,b）=rn（未知数个数）时，说明保留方程的个数r小于未知数个数，所以Amnx=b的解有无穷多个，且它的通解：x=*+ k11+

25、 k22+kn-rn-r其中，*是Ax=b的一个特解。1，2n-r是它的导出组Amn=0的基础解系。特别情形，当m=n时，则有时，则有Amnx=b有惟一解。时，则有Amnx=b或者没有解，或者解无限多。三、重点练习内容1.求齐次方程组Ax=0的通解，只用初等行变换把系数矩阵化成简化行阶梯形矩阵，据此，列出同解方程组，选定n-r（A）个自由变量，求出基础解系和通解。2.判定非齐次线性方程组 Ax=b是否有解。3.求非齐次线性方程组Ax=b的通解，只用初等行变换把增广矩阵（A，b）化成最简化行阶梯形矩阵，据此，列出同解方程组，求出某个特解，在其导出组中选定n-r（A）个自由未知量，求出其基础解系S=1，2n-r,于是可求出Ax=b的通解。=*+ k11+ k22+kn-rn-r，k1, k2,kn-r为任意实数,r=r（A）4.带参数的线性方程组的讨论题，特别是非齐次线性方程是否有解的判定条件和齐次方程组有非0解的条件。