第二章有心运动和两体问题课件.ppt

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1、1基本特性基本特性0 FrcL 1。3。有心力为保守力，机械能守恒。有心力为保守力，机械能守恒。L2。质点始终在垂直于。质点始终在垂直于的平面内运动的平面内运动ErVrrm)()(2122（1）)()(2rFFrrmr（2）0)2(Frrm（3）hr2动量矩守恒定律动量矩守恒定律（3）（二）运动微分方程（二）运动微分方程2（二）轨道微分方程（二）轨道微分方程比耐公式比耐公式令：令：ur1muFududuh)()(2222已知力已知力由公式得由公式得轨道方程轨道方程已知轨道方程已知轨道方程由公式得由公式得力力例例质点受有心力作用而作质点受有心力作用而作的圆运动的圆运动，为圆半径，求为圆半径，求F

2、 = =？cos2ar a32-2 平方反比引力下的质点运动rerkF2221rF 反向反向与与Fre（一）轨道（一）轨道若万有引力若万有引力:GMmk 2若静电场力若静电场力:4212qqk 轨道方程轨道方程)cos(/1/2222okAmhkmhrA 和和o o 为积分常数，由初始条件定：为积分常数，由初始条件定：t = 0 =o 4圆锥曲线的标准方程圆锥曲线的标准方程补数学 cos1epr定点为焦点定点为焦点动点的轨迹动点的轨迹为圆锥曲线为圆锥曲线 r p p半正焦弦长半正焦弦长 e 偏心率偏心率 5（1） 椭圆椭圆)1 (2eap近点近点B：0min1preac1ceaminrrac(

3、1)ae6（2） 抛物线抛物线近点近点B：0qrp22minmin2prr1e rminrr7（3） 双曲线双曲线) 1(2eap近点近点B：min1preac01ceaminrrca(1)a e822/pmhk22/kAmhe 得：得：2222/1/cosmhkrAmhkcos1epr与与比较比较具体形状？具体形状？力学上与初始条件有关力学上与初始条件有关数学上由数学上由e来决定来决定9（二）轨道特性（二）轨道特性势能势能rkrV2)(Erkrrm222)(21近点近点B代入代入E的表达式的表达式eprr10min) 1(2224emhkE可得：可得：) 1(222epkE-(1) *要用要

4、用1242kEmhe结果表明结果表明e(E，h)10)1 (2eap代入（代入（1）式）式022akE双022akE椭022rkE圆0抛E2pq代入（代入（1）式）式) 1(2eap代入（代入（1）式）式rp 代入（代入（1）式）式（1） 椭圆椭圆 e1（4） 圆圆 e=011* E一定，椭圆的半长轴一定，椭圆的半长轴也确定也确定椭Eka22h（角动量）越大，（角动量）越大，e（偏心率）越大（偏心率）越大-600-500-400-300-200-1000100200300-300-200-1000100200300 xyE相 同 L不 同 时 的 不 同 曲 线1242kEmhee( (E,

5、,h),),h不同，则不同，则e不同。不同。12例1结合宇宙速度看航天器随初始能量不同具有的不同轨道结合宇宙速度看航天器随初始能量不同具有的不同轨道第一种情况第一种情况圆轨道圆轨道 e=0 Ev vI椭圆椭圆)12(22armkv 能量越大，椭圆越扁，半长轴越长能量越大，椭圆越扁，半长轴越长E=0 e=1 轨道为抛物线轨道为抛物线 v=vII第二宇宙速度：第二宇宙速度：vII使航天器能脱离地球引力场所需的最小发射速度使航天器能脱离地球引力场所需的最小发射速度212IImv211.2/eIIeGMvkm sR2ekR0 v越大，椭圆越扁越大，椭圆越扁.第二种情况第二种情况第三种情况第三种情况14

6、E0 e1 轨道为双曲线轨道为双曲线 vvII第三宇宙速度：第三宇宙速度：vIII使航天器不仅能脱离地球引力而且要脱离太阳引力所使航天器不仅能脱离地球引力而且要脱离太阳引力所需的最小发射速度需的最小发射速度skmvIII/7 .16Rs=1.4941011mMs=1.9891030kg太阳质量太阳质量不同轨道不同轨道sR地球绕太阳公转的轨道半径地球绕太阳公转的轨道半径第四种情况第四种情况15例2证明开普勒第二定律证明开普勒第二定律常数，等价为动量矩守恒常数，等价为动量矩守恒dtdAhr2开普勒第一定律：开普勒第一定律：开普勒第二定律：开普勒第二定律：开普勒第三定律：开普勒第三定律：32a16例

7、3改变轨道的卫星一个用火箭运载的卫星一个用火箭运载的卫星,按半径为按半径为ro的圆轨道运的圆轨道运行行. .火箭发动机突然在它的运动方向增加了火箭发动机突然在它的运动方向增加了8%的火箭速度的火箭速度, ,求新轨道上远地点离地心的距离求新轨道上远地点离地心的距离.v近0rmaxrv远o17*利用引力加速,实现到外星的航行18例4 P52，例例2RRn192-3 圆轨道的稳定性 在有心力势场中：设势能在有心力势场中：设势能V（r）)(2)(22rVrmhrU令：令：有效势能有效势能 满足：满足：为稳定平衡为稳定平衡( )0U rr22( )0U rr)(22rUrmE等效为质点在矢径方向作一维的

8、运动，等效为质点在矢径方向作一维的运动，圆轨道稳定条件：圆轨道稳定条件：ooorrFrF3)()( nrkrF2)(3n若：若：则则二维的圆运动，化为一维的静平衡二维的圆运动，化为一维的静平衡.202-4与平方反比的斥力作用粒子的散射 roerQqF2410Qq粒子散射实验粒子散射实验q Qr粒子粒子带两个正电荷的氦离子带两个正电荷的氦离子21原子的原子的“葡萄干葡萄干”模型模型22粒子的散射粒子的散射23原子的原子的“有核模型有核模型“101R -15核半径费米费米=10米emm2425粒子电量：粒子电量：q=+2e某原子核序数为某原子核序数为z，电量，电量Q=+=+ze2224ozek令令

9、22124rozeFer得：得：rerkF22与平方反比引力比较与平方反比引力比较相差相差“-”用用“-k2”代替代替“k2”22rker（一）散射轨道（一）散射轨道 散射角散射角26引力轨道方程引力轨道方程斥力轨道方程斥力轨道方程)cos(/1/2222okAmhkmhr2222/1/cos()omhkrAmhk22/pmhk22/kAmhe 仍令仍令1cos()opre* 为双曲线的另一支方程为双曲线的另一支方程27极轴极轴斥力斥力1cospre引力引力1cospre0r28选极轴反向：令选极轴反向：令极轴极轴0cos()cos()coso 则有：则有：01cos()1cosppree习惯

10、：习惯：1cospre29求求粒子受到原子核斥力作用远离原子核后的角度粒子受到原子核斥力作用远离原子核后的角度散射角散射角?2004cot2mvQq设设粒子从无穷远处以粒子从无穷远处以 射向原子核射向原子核ovohv为瞄准距离，并为瞄准距离，并0v2102oEmv1230看一束看一束粒子的散射角粒子的散射角瞄准距离在瞄准距离在和和 +d +d 之间的之间的 粒子散射后必向粒子散射后必向着着 和和 +d 之间的角度散出。之间的角度散出。（二）散射截面（二）散射截面 卢瑟福散射公式卢瑟福散射公式2004cot2mvQq（1）式）式31rsinrrd环面积环面积散射截面散射截面2dd2dsdr 由（

11、1）式得： ，再微分找出 的关系， ( ) ()dd2224001()4sin2dzedmv卢瑟福公式卢瑟福公式22sin2 sinrrddr 322-5 两体问题仅以一对内力仅以一对内力 和和 相互作用的两个相互作用的两个质点质点 构成的质点系的动力学问题。构成的质点系的动力学问题。12f21f1m2m33（一）二体的相对运动折合质量（一）二体的相对运动折合质量11122221m rfm rf2112rf在惯性系在惯性系1221rf 相对于相对于 的运动微分方程的运动微分方程1m2m1m看成不动看成不动2m变成折合质量才能用微分方程变成折合质量才能用微分方程同理同理1212m mmm令令折合

12、质量折合质量12r 12f21f1m2mxyz1r 2r34（二）行星与太阳运动问题的修正（二）行星与太阳运动问题的修正21212rGMmfer 1212212rGMmrer 行星相对于太行星相对于太阳的微分方程阳的微分方程2rGMmmrer 与前：太阳看与前：太阳看成不动的方程成不动的方程比较有相同的形式比较有相同的形式结论：（）行星相对于太阳仍为椭圆运动结论：（）行星相对于太阳仍为椭圆运动35（）系统的质心作惯性运动（）系统的质心作惯性运动（）行星相对于质心的轨迹，（）行星相对于质心的轨迹，是以质心为焦点的椭圆，同理是以质心为焦点的椭圆，同理可得太阳相对于质心的轨迹也可得太阳相对于质心的轨

13、迹也是椭圆是椭圆行星相对于质行星相对于质心的微分方程心的微分方程2mr 232222()rGM mmreMmr 21mrMr12rmMr地球c太阳2212()rGMmerr36例由轻弹簧和滑块组成的二体问题由轻弹簧和滑块组成的二体问题刚性系数为刚性系数为k的轻弹簧的两端分别系着的轻弹簧的两端分别系着 和和的两个滑块，它们静止于光滑的水面上，今使的两个滑块，它们静止于光滑的水面上，今使第一个滑块沿两滑块联线方向获得速度第一个滑块沿两滑块联线方向获得速度，求，求这一体系的质心速度和体系的振动周期这一体系的质心速度和体系的振动周期1m2mxm2m10l372-任意幂有心力问题的计算（一）与距离成任意

14、幂的引力（一）与距离成任意幂的引力nrFAr enrFAr e 运动微分方程：运动微分方程：2222122221()()()()nnnnxmxAxyaxxyrym yAxyayxyr 可用计算机求解，语言或语言可用计算机求解，语言或语言引力：引力：nrmrAr e 直角坐标：直角坐标：38（二）微小扰动对轨道的影响（二）微小扰动对轨道的影响水星水星太阳太阳金星金星地球地球火星火星木星木星土星土星天王星天王星海王星海王星冥王星冥王星21()nrFarer 扰动力 很小nara39扰动力的几种情况扰动力的几种情况（1）宇宙尘的作用）宇宙尘的作用由建立模型法得：由建立模型法得： 宇宙尘的密度宇宙尘的

15、密度 4( )3rF rGm re 扰动力：扰动力： m质点的质量质点的质量 40（2）广义相对论的效应）广义相对论的效应考虑到广义相对论对考虑到广义相对论对万的引力的修正：万的引力的修正：21()nrFarer 2234Gm hnac 将将 代入上代入上式式得出的结果与实际得出的结果与实际更相符，如：水星更相符，如：水星的进动：的进动：41（三）相轨迹和庞加莱面（三）相轨迹和庞加莱面二维运动，相空间：二维运动，相空间： 四维空间四维空间( , ,)xyx y pp若有约束，维数要减若有约束，维数要减少。如：有心力少。如：有心力相当于两个约束方程相当于两个约束方程222()( , )2()mE

16、xyV x yLmrm x yy x相轨迹为二维曲面相轨迹为二维曲面用极坐标来表示：用极坐标来表示：222( )22rpLV rEmmrrpmr或用极坐标表示：或用极坐标表示： 四维空间四维空间( , ,)rrpp42取取x=0时，时，oy,py平面，平面，环面与这个平面相交环面与这个平面相交的面的面庞加莱面庞加莱面当当有两个根有两个根0rp minrmaxr可证明：这可证明：这个曲面为中个曲面为中空环面空环面222( )22rpLV rEmmr434445精品课件精品课件！46精品课件精品课件！4710E 相当于双曲线相当于双曲线20E 相当于椭圆相当于椭圆0E 相当于抛物线相当于抛物线CE相当于圆运动相当于圆运动 2222mhkU rrr设设: