高中数学导数公式.pdf

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1、导数知识点1导数的概念(1)函数 yf(x)在 xx0处的导数：函数 yf(x)在 xx0处的瞬时变化率0lixmfyx0 xlimx0 xfxx0为函数 yf(x)在 xx0处的导数，记x0 xfxx0.fy0lixm0作 f(x0)或 yxx0，即 f(x0)lixmx函数 yf(x)的导数 f(x)反映了函数 f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f(x)|反映了变化的快慢，|f(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”(2)导数的几何意义：函数 f(x)在 xx0处的导数 f(x0)的几何意义是在曲线 yf(x)上点 P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函

2、数 s(t)对时间 t 的导数)相应地，切线方程为 yy0f(x0)(xx0)曲线 yfx在点 Px0， y0处的切线是指 P 为切点， 斜率为 kfx0的切线，是唯一的一条切线.0(3)函数f(x)的导函数： 称函数f(x)lixmfxxfxx为f(x)的导函数(4)f(x)是一个函数，f(x0)是函数 f(x)在 x0处的函数值(常数)，f(x0)0.2基本初等函数的导数公式原函数f(x)xn(nQ*)f(x)sin xf(x)cos xf(x)ax(a0，且 a1)f(x)exf(x)logax(a0，且 a1)f(x)ln x3.导数的运算法则导函数f(x)nxn1f(x)cos xf

3、(x)sin xf(x)axln af(x)ex1f(x)xln a1f(x)x(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；fxfxgxfxgx(3)gxgx24复合函数的导数复合函数 yf(g(x)的导数和函数 yf(u)，ug(x)的导数间的关系为 yxyuux，即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积5定积分的概念b在af(x)dx 中， a， b 分别叫做积分下限与积分上限， 区间a， b叫做积分区间，(g(x)0)f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积式6定积分的性质b(1)

4、bakf(x)dxkaf(x)dx(k 为常数)；bb(2)baf1(x)f2(x)dxaf1(x)dxaf2(x)dx；cb(3)baf(x)dxaf(x)dxcf(x)dx(其中 acb)求分段函数的定积分， 可以先确定不同区间上的函数解析式，然后根据定积分的性质3进行计算.7微积分基本定理b一般地，如果 f(x)是区间a，b上的连续函数，并且F(x)f(x)，那么af(x)dxbbF(b)F(a)，常把 F(b)F(a)记作 F(x)|ba，即af(x)dxF(x)|aF(b)F(a)8定积分的几何意义b定积分af(x)dx 的几何意义是介于 x 轴、曲线 yf(x)及直线 xa，xb

5、之间的曲边梯形的面积的代数和，其值可正可负，具体来说，如图，设阴影部分的面积为 S.bcbSaf(x)dx；Sbaf(x)dx；Saf(x)dxcf(x)dx；bbSaf(x)dxbag(x)dxaf(x)g(x)dx.1定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可正可负.2当曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分的值为负；当位于 x 轴上方的曲边梯形与位于 x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零.导数应用导数应用一、基础知识一、基础知识1函数的单调性与导数的关系在(a， b)内可导函数 f(x)， f(x)在(a，

6、b)任意子区间内都不恒等于 0.f(x)0f(x)在(a，b)上为增函数f(x)0f(a，b)上为减函数2函数的极值(1)函数的极小值：函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，fa0；而且在点 xa 附近的左侧 f(x)0，右侧 f(x)0，则点a叫做函数yfx在x的极小值点，f(a)叫做函数 yf(x)的极小值(2)函数的极大值：函数 yf(x)在点 xb 的函数值 f(b)比它在点 xb 附近的其他点的函数值都大，f(b)0；而且在点 xb 附近的左侧 f(x)0，右侧 f(x)0，则点 b 叫做函数 yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数 yf(x)的极

7、大值极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值3函数的最值(1)在闭区间a，b上连续的函数 f(x)在a，b上必有最大值与最小值(2)若函数 f(x)在a，b上单调递增，则 f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数 f(x)在a，b上单调递减，则 f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值(3)开区间上的单调连续函数无最值,(1)f(x)0(0)是 f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的充分不必要条件(2)f(x)0(0)是 f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的必要不充分条件(3)由 f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)可得 f(x)0(0)在该区

8、间内恒成立，而不是 f(x)0(0)恒成立，“”不能少，必要时还需对“”进行检验.f(x0)0 是 x0为 f(x)的极值点的必要不充分条件 例如， f(x)x3， f(0)0，但 x0 不是极值点(1)极值点不是点，若函数 f(x)在 x1处取得极大值，则 x1为极大值点，极大值为 f(x1)；在 x2处取得极小值，则 x2为极小值点，极小值为 f(x2)极大值与极小值之间无确定的大小关系(2)极值一定在区间内部取得，有极值的函数一定不是单调函数.二、常用结论二、常用结论(1)若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集“”及“或”连接，只能用“，”“和”字隔开(2)若函数 f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值一定是函数的最值(3)极值只能在定义域内取得(不包括端点)，最值却可以在端点处取得，有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，非常数可导函数最值只要不在端点处取，则必定在极值处取