高考微专题求函数值域的14种方法归纳梳理.pdf

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1、求函数值域的求函数值域的 1414 种方法大盘点种方法大盘点题型题型1 1 观察法观察法通过观察如f (x) axb c，f (x) ax2b或f (x) 方法b等函数的定义x2a域及性质，结合函数的解析式，应用不等式性质，可直接求得函数的值域。第 1 步：观察函数中的特殊函数；步骤第 2 步：利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域.例题例题1 1函数f (x) 1的最大值是（）1 x1 xA.4534B.C.D.5443【解析】【解析】第一步，观察函数中的特殊函数fx111221 x1 xx x113x24第二步，利用二次函数的最值和不等式得到函数的值域：133(x)2244，

2、所以fx的最大值是4，选 D.3变式变式1 1函数f (x) 323x的值域为()。A、0,)B、1,)C、2,)D、3,)【解析】【解析】23x 0，故323x 3，f (x)值域为3,)，选 D。题型题型2 2 单调性法单调性法单调性法是求函数值域的常用方法， 就是利用我们所学的基本初等函数的方法单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域第 1 步：确定函数的定义域；步骤第 2 步：求出函数的单调区间；第 3 步：确定函数的值域或最值.例题例题2 2求函数y x 1x 1的值域。【解析】【解析】y 2，x 1， x 1,x 1都是增函数， 故y x 1x 1x1x1是减函数，因此当x 1时，

3、ymax2，又y 0，y 0,2。(0 x 2)的值域.变式变式1 1求函数f (x) log1(x23x5)2【解析】【解析】第 1 步，将函数化成基本初等函数fx log1x的形式：2令 x 3x50 x 2，所以y log122第 2 步，讨论函数 x 3x50 x 2的单调性：2因为 x 3x5；22上是增函数；所以 x 3x5在0，上是减函数，在，232第 3 步，讨论函数fx log1x23x5的单调性：232又因为y log1在定义域上是减函数；22上是减函数；所以fx log1x23x5在0，上是增函数，在，22233第四步，根据单调性得出函数的最值，进而得出值域：所以fmax

4、log11111，fmin log15，所以函数的值域为log15， log1。224242变式变式2 2求函数y 12x22x的值域x1【解析】【解析】第 1 步，将函数化成基本初等函数fx 的形式：21令 x 2x，所以y 22第 2 步，讨论函数 x 2x的单调性：因为 x 2x；221上是增函数，在1， 上是减函数；所以 x 2x在，21第 3 步，讨论函数y 2x22x1的单调性：又因为y 在定义域上是减函数；2所以y 12x22x1上是减函数，在1， 上是增函数；在，第四步，根据单调性得出函数的最值，进而得出值域：所以fmin11。，所以函数的值域为，22变式变式3 3求函数f (

5、x ) 52x + x24x 12的值域.55-2x 0 x 【解析】【解析】由2，解得x 2，在此定义域内函数是单2x 4x 12 0 x 6或x 2调递减，所以当x 2时，函数取得最小值，f2 3，所以函数的值域是3,2x2 x3变式变式4 4已知2 0，且满足x y 1，则函数z xy3x的值域为()。3x x11513A、5,B、2, C、(1,1)D、( ,)422【解析】【解析】3x2 x10，则原式与2x2 x30同解，解之得1 x 3，232又x y 1，将y 1 x代入z xy3x中，得z x24x (x2)24且x1, ，函数z在区间1, 上连续且单调递增，故只需比较边界的

6、大小，32当x 1时，z 5；当x 31515时，z ，函数z的值域为5,，选 A244变式变式5 5函数f (x)对于任意实数x、y都有f (x y) f (x) f (y)，且当x 0时，f (x)0，f (1)2，求函数f (x)在区间2,1上的值域。【解析】【解析】设x1x2,x2-x10，当x 0时，f (x)0,f (x2-x1)0，f (x2) f (x2 x1 x1)=f (x2 x1)+f (x1)。f (x2)-f (x1)=f (x2 x1)0f (x2)f (x1) y f (x)为增函数令x y 0 f (0) 0令y x 0 f (0) f (x) f (x) f

7、(x) f (x) 0y f (x)为奇函数，f (1) f (1) 2f (2) f (1) f (1) 2 f (1) 4y f (x)在区间2,1上的值域为-4,2题型题型3 3 奇偶性法奇偶性法适用于一些解析式非常复杂，但是经过整理后有一定规律的函数，或是抽象方法函数；在求函数最值的问题中，可以利用奇偶性直接得出答案；第 1 步：凑出奇或偶的代数式步骤第 2 步：根据奇偶性性质解题例题例题3 3若x,gx都是奇函数，fxaxbgx2在0,上有最大值 5，则fx在,0上有（）A最小值5B最大值5C最小值1D最大值3【解析】【解析】(x)、g(x)为奇函数，f (x)2a(x)bg(x)为

8、奇函数又f (x)有最大值 5，2 在（0，）上有最大值3f (x)2 在(, 0)上有最小值3，f (x)在(, 0)上有最小值1，选 C变式变式1 1设函数fx【解析】【解析】2变式变式2 2设函数 f(x)=(1 ) si212x3 x 2x2 x2x x2的最大值为M， 最小值为m， 则M m _.的最大值为 M,最小值为 m,则 M+m=.(1 ) si212【解析】【解析】显然函数 f(x)的定义域为 R,f(x)=2si21=1+2si21,设 g(x)=,则 g(-x)=-g(x),g(x)为奇函数,由奇函数图象的对称性知g(x)max+g(x)min=0,M+m=g(x)+1

9、max+g(x)+1min=2+g(x)max+g(x)min=2.变式变式3 3已知函数fx和gx均为奇函数，hx afxbgx2在区间0,上有最大值 5，那么hx在,0上的最小值为 （）A. 5B. 3C. 1D.5【解析】【解析】令Fx hx2 afxbgx，所以Fx为奇函数，x0,时，hx5，Fx hx23，又x,0时，x0,，Fx3 Fx 3，hx 32 1，故选 C.变式变式4 4已知fxax bx 2在区间0,上有最大值 5，那么fx在,0上39的最小值为【解析】【解析】因为fxax bx 2中ax3bx9为奇函数关于(0,0)对称,39故fxax bx 2关于(0,2)对称,又

10、fx在区间0,上有最大值 5,39故fx在,0上的最小值为225 1变式变式5 5已知函数fx和gx均为奇函数，hx a f3xbgx2在区间0,上有最大值 5，那么hx在,0上的最小值为【解析】【解析】f (x)和g(x)均为奇函数，h(x)h( x)值是4 54，h(x)在(,0)上的最小9，故选 B变式变式6 6已知函数fx和gx均为奇函数 ,hx a fx3bgx2?在区间0,上有最大值5,那么hx在,0上的最小值为【解析】【解析】由hx a fx3bgx2得hx2 afxbgx，3令x hx2 a fx3bgx，33 x a f xbg x a f xbgx x，x为奇函数则 hx

11、afxbgx2在区间(0,+)上有最大值 5，hxmax a f 3xbgx25，hxmax27，即xmax73xhx2是奇函数，xmin hxmin2 7，hxmin9故选 Bx2cosxsinx1(xR)最大值为，最小值为， _变式变式7 7函数fx2x cosx1sinxsinxy ,为奇函数，fx图象关于点0,1x2cosx1x2cosx1M m1，即2对称， 最大值对应点与最小值对应点关于点0,1对称，2【解析】【解析】fx1题型题型4 4 配方法配方法方法型如f (x) ax2bxc(a 0)型或可转化为二次型的函数，用此种方法，注意自变量x的范围。第 1 步：配方；第 2 步：借

12、助图像或利用二次函数的顶点坐标公式，确定函数的最值或边界步骤点的函数值；第 3 步：结合二次函数的图像与性质，求得值域.若二次函数图像的顶点在定义域对应的区间内，则顶点的纵坐标一定是函数小结的一个最值，此外,若定义域为开区间，则函数可能没有最值.变式变式1 1定义在R上的函数fxx1x2x3x4的值域是_【解析】【解析】第一步，将函数配方 成y a(xb) c：由fxx1x2x3x4x1x4x2x32 x 5x 4x 5x6 x 5x+10 x 5x+24 x 5x51第二步，根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域：255522因为x 5x5 x ,x 5x5 024422222222所以

13、x 5x5221 1即函数fxx1x2x3x4的值域是1， 变式变式2 2函数y x 3x 4的定义域是0,m，值域为225,4，求m的范围4【解析】【解析】因二次函数y x 3x 4的对称轴为x 时,y 233,且x 0时,函数值y 4,当x 22253,因此当x 3时,y 4.故当 m 342变式变式3 3已知函数f (x) 1 x 1 x（1）求函数f (x)的定义域和值域；（2）设F(x) a f2(x)2 f (x)（a为实数），求F(x)在a 0时的最大值g(a)；22（3）对（2）中g(a)，若m 2tm2 g(a)对a 0所有的实数a及t1,1恒成立，求实数m的取值范围【解析】

14、【解析】(1)由 1+x0 且 1-x0，得-1x1,所以定义域为1,122又f (x) 22 1x 2,4,由f (x)0 得值域为 2, 2a22 f (x)2 f (x) a 1 x 1 x 1 x21令t f (x) 1 x 1 x，则1 x2t21211F(x) m(t) a(t21)+t=at2t a,t 2,2221由题意知 g(a)即为函数m(t) at2t a,t 2, 2的最大值211注意到直线t 是抛物线m(t) at2t a的对称轴a2（2）因为F(x) 因为 a0 时,函数 y=m(t),t 2,2的图象是开口向下的抛物线的一段21则g(a) m( 2) 2(0,2，

15、即a 2a21111 a 则g(a) m() a 若t ( 2, 2，即22aa2a11若t (2,)，即 a 0则g(a) m(2) a2a21a a2,2211 a ,综上有g(a) a,222a22,a 22（3）易得gmin(a) 2，由m 2tm2 g(a)对a 0恒成立，若t 即要使m 2tm2 gmin(a) 2恒成立，2 m22tm 0，令ht 2mtm2，对所有的t1,1,ht0成立，h(1) 2m m2 0只需,求出 m 的取值范围是m 2,或m=0,或m 22h(1) 2m m 0题型题型5 5 分离常数法分离常数法1、型如f (x) 方法cxdm时，可化简成f (x)

16、k 的格式axbaxbax2bxcf2、型如f (x) 2的函数，可化简成f (x) k 2格式dx ex fdx ex f第 1 步：将函数关系式分子中含x 的项分离，即使分子不含x 项；步骤第 2 步：确定分离后的函数关系式的单调性；第 3 步：借助函数的单调性，求的函数的值域.若分离较为困难，则可将分子或分母设为一个整体，用一个字母代替及换元小结再分离常数.例题例题4 4（1）求函数y 2x 3x 1的值域（2）已知函数f (x) ，求f (x)的值域3x 1x 21【解析】【解析】由题函数的定义域为x| x 32777(3x 1)2x 33 23 23 2y 33x 13x 133x

17、133x 132故函数的值域为y| y 3（2）【分析】【分析】f (x) 【解析】【解析】x11，化简后求值域1x 2x 211 0，11，即f (x) 1x2x 2f (x) x 11，又1x 2x 2则f (x)的值域为y| y 1变式变式1 1（1）求下列函数的值域：y （2）求函数y 【解析】【解析】y=y=232312x3(x 1).x13 x的值域2x1=21，x1，2212=，2251115（x1）的值域为（2，21变式变式2 2（1）求下列函数的值域：y 2x 13x 25x29x 4（2）求函数y 的值域x21【解析】【解析】y=732132=27(32)3332=3273

18、32，2320，故 y3，故函数 y=32的值域为：y|y3，529421221（2）y=5(21)992151，119又 x210，即 x1，y5 且 y2；函数的值域是y|y5 且 y2x2 2x变式变式3 3（1）求函数y 2的值域x 2x 32x21（2）求函数f (x) 2的值域x 3【解析】【解析】 =2233223= 1223= 1(1)22，111133（x1）2+22，(1)22 (0，2， 2，1)，所以函数的值域为2，1)【解析】【解析】() =11226723= 223，又 x2+33，11723 (0，3，即() 3，2)函数的值域是3，2)题型题型6 6 换元法换元

19、法方法此种方法适用于求根式形函数或形式较为复杂的函数的值域第 1 步：将函数关系式中的部分项视为一个整体用新元表示；步骤第 2 步：换元转化为基本函数，如二次函数，一次函数等，第 3 步：借助基本函数的单调性，求得函数的值域换元后要注意新元的取值范围，换元法求函数值域，其实质是等价转换的思小结想方法例题例题5 5求y 2x x 1函数的值域：【分析】【分析】利用换元法，需要注意x的取值范围【解析】【解析】换元法：令t x 1，(t 0)，1151511515则y 2x x 1 2t2 2t 2(t )2当t 时取等号， 故其值域为，)，848884变式变式1 1求下列函数的值域（1）y 2x

20、24x 13（2）y x 5x2 2x 4（3）y x 4 1 x（1）【分析】分析】 函数 y2x2+4 13可得函数的定义域为4，+ ) 令4 13 = 0，解得 =2+13413转化为关于 t 的二次函数的单调性即可得出13【解析】【解析】函数 y2x2+4 13可得函数的定义域为4，+ )令4 13 = 0，解得 =yf（t）=2+13212+13492+t=2( + 1)2+ 4 f（0）=2，9函数 y2x2+4 13的值域为2，+ )【解析】【解析】由 yx+5+2 2 + 4得：yx5= 2 2 + 4，故 x2+y2+252xy+10 x10yx22x+4，即 2x2+（12

21、2y）x+y210y+210，由（122y）28（y210y+21）0 得：y28y+60，解得：y410，4+10，故函数 yx+5+2 2 + 4的值域为410，4+10（3）换元法（代数换元法）：设 = 1 0，则 x1t2，原函数可化为 y1t2+4t（t2）2+5（t0），y5，原函数值域为（，5变式变式2 2求函数fx4 2xx13，x1,1的值域.xx1【解析】【解析】第 1 步，变化函数为二次函数的形式fx4 232fx 2x 222x3，设t 2x，ft t22t 3t 14第 2 步，求出换元后函数的定义域：x 1,1，t 0,2第 3 步，结合二次函数的性质得出函数的值域

22、：可得ft 4,3，综上所述：函数的值域为4,3.f x log x变式变式3 3已知函数 x2,4， 求fx的最大值及最小值.1log1x5，44【解析】【解析】令t log1x424444x2,4，t log1x在定义域递减有log14 log1x log1211119t1,，ft t2t 5 t ，t1,22422123当t 时，fx取最小值；当t 1时，fx取最大值 7.24题型题型7 7 判别式法判别式法a1x2b1xc1型如f (x) (a1、a2不同时为零)及f (x) axbcx2dxe2a2x b2xc2方法的函数求值域，通常把其转化成关于x的一元二次方程F(x, y) 0，

23、由判别式0，求得y的取值范围，即为原函数的值域。第 1 步：将含 x 的式子用 y 表示，步骤第 2 步：借助含 x 的式子得出关于 y 的不等式，第 3 步：解关于 y 的不等式既得函数的值域小结判别式法常借助含 x 的式子的有界性得到关于y 的不等式.例题例题6 6利用判别式求函数y 【解析】【解析】函数y x的值域x23x 1x，当x 0时，y 0；x23x 1当y 0时，原函数化为yx2(3y 1)x y 0，1判别式（3y+1）24y20，即 5y2+6y+10；解得 y1，或 y，51综上，函数 y 的值域是y|y1，或 y52x2 x 2变式变式1 1求函数的值域：y 2x x

24、1【解析】【解析】判别式法：x2+x+10 恒成立，函数的定义域为R R由 =22221得：（y2）x2+（y+1）x+y20当 y20 即 y2 时，即 3x+00，x0R R当 y20 即 y2 时，xR R 时方程（y2）x2+（y+1）x+y20 恒有实根，（y+1）24（y2）20，1y5 且 y2，原函数的值域为1，5变式变式2 2求函数的值域：y (x2 x 3)(x2 x 1)【解析】【解析】（1）函数 y=2321，定义域为 R R，当 y1 时，31 不成立；当 y1 时，原函数化为（y1）x2（y1）x+y30，判别式（y1）24（y1）（y3）0，即（y1）（3y11）

25、0，解得 1y综上，函数 y 的值域是y|1y113113，但 y1，题型题型8 8 分段函数法分段函数法方法此种方法适合用与含绝对值符号的函数.第 1 步：在数轴上标出零点（使各个绝对值为0 的取值）;步骤第 2 步：分类讨论去掉绝对值符号;第 3 步：在每一段上依据单调性求出函数的值域，取并集得函数的值域小结绝对值符号去对是关键.例题例题7 7求函数的值域：y | x 1| | x 4|2x 3(xx 4)(1)【解析】【解析】数形结合法：y | x 1| | x 4|5(44xx1)2x 3(xx 1)1)y 5，函数值域为5，)x2 4x,(0 xx3)0 3变式变式1 1已知函数f

26、(x) 2，求f (x)的值域2 x 0 x 6x,(2 x 0)24 = (2)240 3【解析】【解析】f（x）= 2；6 = (3)292 00 x3 时，f（x）4，0；2x0 时，f（x）8，0；f（x）的值域为8，0变式变式2 2求函数y 2x 4| x|3(3 x 3)的值域【解析】【解析】0 x3 时，y2x4x32x3，3x0 时，y2x+4x36x3，函数的值域是：（21，3变式变式3 3函数f (x) | x1| (x2)2的值域为()。A、0,)B、1,)C、2,)D、3,)2x1,x 1【解析】【解析】原函数化为f (x) 3,1 x 2，其图像如图，原函数值域为3,

27、)，选 D。2x1,x 2题型题型9 9 反函数法反函数法1、直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。方法2、直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。第 1 步：求已知函数的反函数；步骤第 2 步：求反函数的定义域；第 3 步：利用反函数的定义域是原函数的值域的关系即可求出原函数值域例题例题8 8函数f (x) 【解析】【解析】设y 3x4值域为5x66y 43x43，则5xy 6y 3x4x ，分母不等于0，即y 35y5x65即函数f (x)的值域为(, )( ,)。3535ex1变式变式1 1函数f (x) x的值域为e 11

28、yex1 0，1 y 1，即函数f (x)的值域为(1,1)【解析】【解析】设y x，由原式得ex1 ye 1x1，x0,2反函数，y fx fx最大值为2xx22上是单调递增的；【解析】【解析】第一步，先判定函数fx 2在区间0，2x1x22；第二步，求出函数fx 2的值域，42112为增函数；第三步，根据反函数的性质得出反函数y fx在，4变式变式2 2设f1x为fx2x22为增函数；y fx f1x最大为f2 fy fx f1x在，1412 4题型题型1010不等式法不等式法1、型如f (x) b时，直接应用不等式性质。x2k1x2、(1)型如f (x) x1即当x 1时取“=”)，x1

29、若x0，则f (x) 2(当且仅当x 即x 1时取“=”)；xb(2)型如f (x) ax(a 0，b 0)：x方bb若x 0，则f (x) 2 ab(仅当ax 即x 时取“=”)xa法bb若x0，则f (x) 2 ab(仅当ax 即x 时取“=”)xa若x 0，则f (x) 2(当且仅当x x2mxnc3、型如f (x) 时，应先应用分离常数法化简成f (x) a(xb)dxbxb的格式，再利用均值不等式求值域。4、型如f (x) bx时，应讨论x 0时f (x)的值域，再讨论x 0化简成x2mxnf (x) b型，最后利用均值不等式求值域。nxmx步ax2bxcex f第 1 步：观察函数

30、解析式的形式，型如y 2或y 的函数；ex fax bxc骤第 2 步：对函数进行配凑成y ax得到函数的值域.b形式，再利用基本不等式求函数的最值，进而xx24x55例题例题9 9已知x ，求函数f (x) 的最小值.2x42【解析】【解析】第一步，将函数解析式化成fx xa的形式：x2x24x5x21x215因为x ，所以x2 0，所以fx；22x42x222x2第二步，利用基本不等式求函数最小值：fxx221 22x2x22x21，1当且仅当即x 31，22x22x2时等号成立。因为x 3在定义域内，所以最小值为1.9(0 x 3)，求f (x)的值域.x1a【解析】【解析】第一步，将函

31、数解析式化成fx x的形式：x99x11；因为0 x 3，所以x1 0；所以fx xx1x1变式变式1 1已知函数f (x) x第二步，利用基本不等式求函数最小值：fxx191 2x1x1991 5，仅当x1，即x 2等号成立。x1x1因为x 2在定义域内，所以最小值为5.变式变式2 2求y x25x 42的最小值；【解析】【解析】由题意得，y x241x 42x24 1x 42，1x24t 2，则y t ，t15又当t 2时，函数y t 单调递增，当t 2时，y有最小值，且最小值为，t2令t 故y x25x24的最小值是5211的最小值为（）m2nD6变式变式3 3已知m 2，n 0，mn

32、3，则A3B4C5【解析】【解析】因为m 2，n 0，mn 3，所以m2n 1，则1111 nm2m2n 2 22 4，m2nm2nm2n当且仅当nm251且mn 3，即m ,n 时取等号，故选：B.m2n22题型题型1111有界性法有界性法y asinx bacosx b（或y ）型，解出sinx（或 cosx）,利用csinx dcosx d去解；或用分离常数的方法去解决。sin x 1或cos x 1方法y asinx bacosx b（或y ） 型， 可化归为sin(x ) g(y)ccosx dcsinx d去处理；或用万能公式换元后用判别式去处理；当a=c 时，还可利用数形结合的方

33、法去处理上。第 1 步：反解出有界性表达式步骤第 2 步：解不等式2cosx 1的值域2cosx 1acosx b【解析】【解析】此为y 型的三角函数求最值问题，分子、分母的三角函数同名、同ccosx d例题例题1010求函数y 角，这类三角函数一般先化为部分分式，再利用三角函数的有界性去解.或者也可先用反解法，再用三角函数的有界性去解.法一：原函数变形为y 1法二：原函数变形为cosx 21, cosx 1，可直接得到：y 3或y .2cosx 13y 1y 11, cosx 1,1,y 3或y .32y 12y 1sinx 1的最大值和最小值.cosx2【分析】【分析】函数式为分数形式，转

34、化为以函数y为主元的不等式，在利用正（余）弦有界性。变式变式1 1求函数y 解析】由已知得ycosx 2y sin x 1，即sin x ycosx 12y那么，得y21sin(x) 12y（其中角的正切值tan y）12yy 12所以，sin(x) 2，因为sin(x ) 1，因而有12yy 121将其化简得到3y 4y 0，解得0 y 44，因此，ymax，ymin 0.33题型题型1212数形结合法数形结合法利用函数所表示的几何意义，借助于图象的直观性来求函数的值域，是一方法种常见的方法，如何将给定函数转化为我们熟悉的模型是解答此类问题的关键。第 1 步：作出函数在定义域范围内的图像；步

35、骤第 2 步：利用函数的图像求出函数的值域.例题例题1111求函数y 3sin x的值域.2cosx【解析】【解析】第 1 步，将函数解析式转化成两点间的直线的斜率3到动点cosx,sin x的斜率由题意可得：函数可看成定点2，3到单位圆连线斜率的问题。又动点cosx,sin x在单位圆上，所以问题转化为求定点2，第 2 步，根据直线与圆相切得出函数的值域设直线的方程为y3 kx2，所以kx y2k 3 0因为直线与圆相切，所以12k 3k21，所以k 62 33，所以函数的值域为：62 3 62 3，33变式变式1 1求函数f (x) ln( x2 x1x2 x1)的值域.y2M-3-2-1

36、1N123456PO-1x【解析】【解析】第 1 步：求函数的定义域，对数式应满足真数大于0:-2所以由x x1x x10得x 0,所以函数fx的定义域是0,，221313第2步： 求真数的取值范围， 进而求出函数的值域： 设点Px,0,M,，22,N2,2u x2 x1x2x122221313x0 x 0 PM PN MN 12222所以fx0,所以函数f (x) ln( x2 x1x2 x1)的值域为,0.题型题型1313倒数法倒数法方法有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况。第 1 步：求出函数的倒数；步骤第 2 步：转化为基本初等函数问题.例题例题1212函数

37、f (x) x2的值域为()。x3A、(0,)B、0,)C、0, D、2,312【解析】【解析】设y x2，当x 2时，y 0，x31x2111x2 2，0 y ，y2x2x2当x 2时，综上0 y 11，即函数f (x)的值域为0, ，选 C。22题型题型1414导数法导数法方法利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值，然后求出值域第 1 步：利用函数的导数求函数在定义域内的单调性；步骤第 2 步：利用函数的图像求出函数的值域32例题例题1313已知函数fx x ax bx在x 2与x （1）求函数fx的解析式及单调区间；（2）求函数fx在区间1处都取得极值23,2的最大值与最小值32

38、【解析】【解析】（1）因为f (x) x ax bx，所以f x3x 2axb,2因为函数fx x ax bx在x 2与x 321处都取得极值，2 f 2124ab 09a 9所以4，所以函数解析式为：fx x3x23x,1 34f 24ab 0b 393x32x1x2,2211令f x 0 x 或x 2，f x 0 2 x ，22f x3x2所以函数fx的单调增区间是,2,（2）由（1）可知，1 1,，单调减区间是2,.22x3,2递增20极大1 2,2递减120极小1,22递增f xfx所以函数fx的极小值为f而f3113，极大值为f2 7,216913, f211，所以fxmax11,

39、fxmin .416【巩固提升】【巩固提升】巩固巩固1 1按要求求下列函数的值域：（1）y3 1（观察法）；（2）y= 22+ 3 + 2（配方法）；（3）y2x+3 1（换元法）；（4）y=（5）y8（x24x+5）（判别式法）【解析】【解析】（1）函数 = 3 1的值域为1，+）；325255 2（2）y= 22+ 3 + 2 = 2( )2+，该函数的值域为0，0，；48842+11（分离常数法）（3）令3 1 = ， 0，则 x=所以： = 2 2+13132+13，2929+ = 3( 2)2+1212；原函数的值域为（，12；29（4）y=1211=2(1)111= 211；1 0，21 2 ；该函数的值域为y|y2（5）y=245，定义域为 R ，当 y0 时，不成立；当 y0 时，原函数可化为 yx24yx+5y80，判别式16y24y（5y8）0，即有 y28y0，解得 0y8，但 y0综上，函数 y 的值域是y|0y88