大学物理上第2章3-能量守恒定律.ppt

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1、对固定点o，质点m所受合外力矩,对o点角动量守恒（大小、方向均不变）,对固定点o，质点m所受合外力矩,对o点角动量,方向随时间变化,*合外力矩、角动量均对同一点而言,大小 Lo=mvl,例：,不守恒,小球所受合外力指向o,对o点小球受合外力矩为零,解：分析 F为有心力， 角动量守恒。,例2：在图示装置中，盘与重物的质量均为m，胶泥的质量为m, 原来重物与盘静止，让胶泥从h高处自由落下，求胶泥粘到盘上后获得的速度,解：把盘、重物、胶泥视为质点系，在胶泥与 盘的碰撞过程中，绳的拉力，盘与重物所受的重力对o轴的力矩之和始终为零，忽略胶泥所受重力，所以质点系在碰撞过程中对o轴的角动量守恒 胶泥碰前速度

2、 ，设碰撞后质点系获得的共同速度为v ，据角动量守恒,讨论：质点系动量是否守恒？ 方程*并不表示动量守恒，若动量守恒，应写成：,2-4 能量守恒定律,2-4-1 功和功率,功是度量能量转换的基本物理量，它描写了力对空间积累作用。,功的定义：,国际单位：焦耳（J ）Nm,1、恒力的功,质点由a点沿曲线运动到b点的过程中，变力 所作的功 。,（2）元功：,2、变力的功,（1）位移元,的一小段位移,合力的功：,结论：,合力对质点所作的功等于每个分力对质点作功之代数和 。,在直角坐标系Oxyz中,此式的意义是合力的功等于各分力功之和。,功的两种计算方法：,2-4-3 保守力与非保守力 势能,（1）重力

3、的功,初始位置a,末了位置b,重力的功只决定于作功的起点和终点，而与路径无关。,重力的功,保守力的定义：如果 有一力，它对质点所作的功只决定于起点和终点,与路径无关，称此力为保守力或有势力。,若质点由b点沿红线运动到a点:,质点由a点沿黄线运动到b点：,或：绕闭合路径一周，保守力的功为零,（2） 万有引力作功,设质量为M的质点固定，另一质量为m的质点在M 的引力场中从a点运动到b点。,万有引力作功只与质点的始、末位置有关，而与路径无关,（3）弹性力的功,由虎克定律：,弹性力作功只与弹簧的起始和终了位置有关，而与弹性变形的过程无关。,例1、设作用在质量为2kg的物体上的力F = 6t N。如果物

4、体由静止出发沿直线运动，在头2（s）内这力作了多少功？,解：,两边积分：,功率是反映作功快慢程度的物理量。,功率：,单位时间内所作的功。,平均功率：,瞬时功率：,瓦特（W）=（J/s）,平均功率:,瞬时功率:,P,例2：求单摆在A,B两点的重力瞬时功率,A点重力的瞬时功率:,B点重力的瞬时功率,2-4-2 动能和动能定理,动能：,质点因有速度而具有的作功本领。,单位：（J）,设质点m在力的作用下沿曲线从a点移动到b点,元功：,1质点动能定理,总功：,质点的动能定理：,合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。,2质点系的动能定理,一个由n个质点组成的质点系，考察第i个质点。,质点的动能定理：,对

5、系统内所有质点求和,质点系动能的增量等于作用于系统的所有外力和内力作功之代数和。,质点系的动能定理：,内力做功可以改变系统的总动能。,值得注意：,例3 如图，铁锤质量M,将质量为m 的钉子敲入木板。设木板对钉子的阻力与钉子进入木板的深度成正比。第一次敲打时，钉子敲入1cm深，若第二次敲钉子的情况与第一次完全相同，问第二次能把钉子敲入多深？,解,设铁锤敲打钉子前的速度为v0，,敲打后两者的共同速度为v。,铁锤第一次敲打时，克服阻力做功，设钉子所受阻力大小为：,由动能定理， 有：,设铁锤第二次敲打时能敲入的深度为S ，则有,化简后,第二次能敲入的深度为：,例4. 传送带沿斜面向上运行速度为v =

6、1m/s，设物料无初速地每秒钟落到传送带下端的质量为M = 50kg/s，并被输送到高度h = 5m处，求配置的电动机所需功率。（忽略一切由于摩擦和碰撞造成的能量损失）,解：,由动能定理,电动机的功重力的功物料动能的增量,考虑质量为Mt 的物料动能的增量：,电动机对系统做的功：,由动能定理：,重力做功：,保守力的功与势能的关系：,物体在保守力场中a、b两点的势能Epa与 Epb之差，等于质点由a点移动到b点过程中保守力所做的功Wab。,保守力做功在数值上等于系统势能的减少。,势能（Ep）:由物体的相对位置所确定的系统能量,势能,说明：,（1）势能是一个系统的属性。,（3）势能的零点可以任意选取

7、。,设空间r0点为势能的零点，则空间任意一点 r的势能为：,结论：,空间某点的势能Ep在数值上等于质点从该点移动到势能零点时保守力做的功。,重力势能：,（地面（h = 0）为势能零点）,弹性势能：,（弹簧自由端为势能零点）,引力势能：,（无限远处为势能零点）,保守力与势能的积分关系：,保守力与势能的微分关系：,因为：,保守力等于势能梯度的负值,2-4-4 机械能守恒定律,质点系的动能定理：,其中,机械能,质点系机械能的增量等于所有外力和所有非保守内力所作功的代数和。,质点系的功能原理,当系统只受保守内力作功时，质点系的总机械能保持不变。,机械能守恒定律,注意：,（4）机械能守恒定律只适用于惯性

8、系，不适合于非惯性系。这是因为惯性力可能作功。,（5）在某一惯性系中机械能守恒，但在另一惯性系中机械能不一定守恒。这是因为外力的功与参考系的选择有关。对一个参考系外力功为零，但在另一参考系中外力功也许不为零。,（1）机械能是指物体系的动能与势能的和；,（2）决定是外力的功和非保守内力的功，不能理解为合力的功；,(3) 不出现在功能原理表达式中，即保守内力做功不影响系统的总机械能。,例5： 如图,设所有接触都是光滑的。m-劈尖系统由静止开始运动。当m落到桌面上时，劈尖的速度有多大？,解：设铁块相对劈尖的 滑行速度为 v,由动量守恒得：,由机械能守恒得：,将(1)代入(2)经整理后得：,例6. 一

9、长度为2l的均质链条，平衡地悬挂在一光滑圆柱形木钉上。若从静止开始而滑动，求当链条离开木钉时的速率（木钉的直径可以忽略）,解,设单位长度的质量为,始末两态的中心分别为c和c,机械能守恒：,解得,例7. 计算第一，第二宇宙速度,1. 第一宇宙速度,已知：地球半径为R，质量为M，卫星质量为m。要使卫星在距地面h高度绕地球作匀速圆周运动，求其发射速度。,解：,设发射速度为v1，绕地球的运动速度为v。,机械能守恒：,由万有引力定律和牛顿定律：,解方程组，得：,代入上式，得：,2. 第二宇宙速度,宇宙飞船脱离地球引力而必须具有的发射速度,（1）脱离地球引力时，飞船的动能必须大于或至少 等于零。,由机械能

10、守恒定律：,解得：,（2）脱离地球引力处，飞船的引力势能为零。,2-4-5 碰撞,动量守恒,完全弹性碰撞：碰撞后物体系统的机械能没有损失。,非弹性碰撞：碰撞后物体系统的机械能有损失。,完全非弹性碰撞：碰撞后物体系统的机械能有损失，且碰撞后物体以同一速度运动。,1. 完全弹性碰撞,(1) 如果m1= m2 ，则v1 = v20 ，v2 = v10，即两物体在碰撞时速度发生了交换。,(2) 如果v20 =0 , 且 m2 m1, 则v1 = - v10, v2 = 0,2完全非弹性碰撞,由动量守恒定律,完全非弹性碰撞中动能的损失,牛顿的碰撞定律：在一维对心碰撞中，碰撞后两物体的分离速度 v2- v

11、1 与碰撞前两物体的接近速度 v10- v20 成正比，比值由两物体的材料性质决定。,3*非弹性碰撞,e 为恢复系数,e = 0，则v2 = v1，为完全非弹性碰撞。,e =1，则分离速度等于接近速度，为完全弹性碰撞。,一般非弹性碰撞碰撞：0 e 1,例：三个物体、，每个质量均为，、靠在一起，放在光滑的水平桌面上，两者间有一段长为此0.4m的细绳，原先放松着。的另一侧用一跨过桌边的定滑轮的细绳与相连，滑轮和绳子的质量及轮轴上的摩擦不计，绳子不可伸长，求：（）、起动后，经多长时间也开始运动？（）开始后运动的速度是多少？（g取10m/s),解：（）：,g,l,(2)B、C之间绳子刚拉紧时，和的速度

12、为1=at=2/s.,设开始拉紧时，、三者速度大小为2，则绳子拉紧过程中，、系统对定滑轮轴的角动量近似守恒（不计的重力的情况下）则：,链条总长为 L，质量为 m，初始时刻如图悬挂，链条与桌 面间的摩擦系数为 ，链条由静止开始运动，求： （1）、链条离开桌边时，摩擦力作的功？ （2）、这时候链条的速度？,则当链条在桌面上移动的长度为X时，摩擦力作的功为,解：选地面为参照系，坐标系如图,例,（2）、由功能原理,例：一柔软绳长 l ，线密度 r，一端着地开始自由下落， 下落的任意时刻，给地面的压力为多少？,解：选地面为参照系，坐标系如图，t时刻有长为 l-y 的绳子落到地面上，该段绳子对地面的作用力

13、为,考虑dm段绳子与地面作用的情况：,dm从 l-y 的高度落到地面上,设碰撞后两球速度,由动量守恒,两边自点乘,由机械能守恒（势能无变化）,两球速度总互相垂直,证：选地面为参照系,求证：碰撞后两球速度总互相垂直。,对碰撞过程应用动量原理,解一：选地面为参照系，坐标系如图,解二：对整个过程应用动量原理,选地面为参照系，坐标系如图,= 2.2 ( N ),解：选地面为参照系，坐标系如图,解：,选地面为参照系，如图建坐标,对M与m分别应用动量原理,例 矿砂从传送带A落入传送带B，其速度v1= 4m/s ,方向与竖直方向成 300 角，而传送带 B 与水平方向成150 角，其速度v2=2m/s。传送

14、带的运送量为k =20kg/s .求：落到传送带B上的矿砂所受到的力。,解：在t内落在传送带上的矿砂质量为：,这些矿砂的动量增量为：,m=kt ，,由动量原理：,解二：对矿砂m(m=kt) 应用动量原理,例：逆风行舟,例：如图，已知m=50kg,l=3.6m,M=100kg,当人从船着头走到船尾时，船移动的距离是多少？忽略水的阻力。,设船的速度为，而人相对船的速度为-u, 对人、船组成的系统，水平方向受的合力为 零，动量守恒 ：,m(V-u)+MV=0,解：选地面为参照系，坐标系如图,例 一静止的物体爆炸成三块，其中两块具有相同的质量，且以相同的速率 v1=v2=30m/s沿相互垂直的方向飞开

15、，第三块的质量等于这两块质量之和。试求：第三块的速度。,解：根据已知条件，设,由动量守恒定律得：,解得：,例 A、B 两船均以速度v鱼贯而行，每只船的人与船质量之和均为M，A 船上的人以相对速度 u ,将一质量为m的铅球扔给B 船上的人。 试求：球抛出后 A船的速度以及B 船接到球后的速度。,抛 球 前,抛 球 后,接 球 前,接 球 后,解得：,例：光滑轨道上有一长为 L，质量为 M的板车，车上有一质量为 m的人，若人从车的一端走到另一端，则人和车对地各走多远 ？,水平方向m和M系统不受力，该方向动量守恒。,解：选地面为参照系，坐标系如图,例： 图中所示是大型蒸气打桩机示意图，铁塔高40m，

16、锤的质量10 t，现将长达38.5m的钢筋混凝土桩打入地层。已知桩的质量为24 t其横截面为0.25m2的正方形，桩的侧面单位面积所受的泥土阻力为k =2.65104Nm2。（1）桩依靠自重能下沉多深？（2）桩稳定后把锤提高1m，然后让锤自由下落而击桩。假定锤与桩发生完全非弹性碰撞，一锤能打下多深？,s = 40.5 = 2m,解：(1)设桩周长为s,当桩下沉 y 时，阻力为：,由功能原理：,(2)设锤击桩后再下沉深度为 d , 由机械能守恒：,打击瞬间动量守恒,得到：,2.65d2+13.74d-2.88=0,对于下沉过程应用功能原理(当桩下沉 d时作为零势能点,即 E2 =0 )。,由上两

17、式并代入数字化简后得：,m相对M的加速度为向心加速度大小为,方向向上,解：选地面为参照系，坐标系如图,例：已知半圆柱形光滑木凹槽，放在光滑桌面上，如图， 求：质点静止下滑至最低点时给木块的压力,水平方向动量守恒,系统机械能守恒,此时，木槽M为惯性系，以M为参照系，利用牛顿定律,而,联立求解各式可得,解： 以地面为参照系，坐标系如图,例：如图当突然撤掉，其 值为多大时，m2 才能跳起？,选如图水平线o1o2 为重力势能的零势面。,解：选地面为参照系, m1、m2地球、弹 簧为系统,（）,（）,弹簧原长,则系统的机械能在态到态过程中守恒，,已知：光滑桌面，m , M , k , l 0 , l ，

18、 求：,思考：分几个阶段处理？各阶段分别遵循什么规律？,由此可解出：,2-5 守恒定律和对称性,如果系统的状态在某种操作下保持不变，则称该系统对于这一操作具有对称性。,如果某一物理现象或规律在某一变换下保持不变，则称该现象或规律具有该变换所对应的对称性。,物理学中最常见的对称操作：,时间操作：时间平移、时间反演等；,空间操作：空间平移、旋转、镜像反射、空间反演等。,时空操作：伽利略变换、洛仑兹变换等。,1空间的对称性及其操作,（1）空间平移操作,系统具有空间平移对称性。,（2）空间反演操作,空间反演操作下不变的系统具有对O点的对称性。,（ 3）镜像反射操作,（4）空间旋转（球对称）操作,在此操

19、作下系统称具有球对称性。,保持不变,（5）空间旋转（轴对称）操作,保持不变,对绕 z 轴作任意旋转都不变的系统具有轴对称性。,2时间的对称性及其操作,（1）时间平移操作,，系统不变,例如,系统作周期性变化,（2）时间反演操作,系统具有时间反演对称性。,3时空的对称性操作,物理规律对对于某一变换（也是一个时空联合操作）具有不变性。,如果对于某个物理学系统的运动施加限制（比如，施加外力或外力矩作用等），从而导致该系统原有的某些对称性遭到破坏，物理上称这种情况为对称性破缺。,4对称性破缺,2-5-2 守恒定律和对称性*,每一种对称性均对应于一个物理量的守恒律；反之，每一种守恒律均对应于一种对称性。,诺特定理：,1动量守恒与空间平移对称性,空间平移对称性反映了空间的均匀性质。,系统势能的增加量为,根据空间平移的对称性，应有：,因此,即,2角动量守恒与空间旋转对称性,空间的旋转对称性反映了空间的各向同性。,旋转前后系统势能的增量为,由空间的旋转对称性，有,角动量守恒,3能量守恒与时间平移对称性,时间平移对称性反映了时间的均匀性。,在保守系统中 ：,根据动能定理,因此,机械能守恒定律,