第5章环境质量预测基本数学模型课件.ppt

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1、l数学模型概述l污染物在环境介质中的运动特征l污染物在环境介质中迁移扩散基本微分方程l定解问题的建立l定解问题解法简介.l数学模型l推流迁移l分子扩散l紊流扩散l弥散l污染物在环境介质中迁移扩散的基本微分方程l定解问题. 原型原型(Prototype)(Prototype)指人们在现实世界中所关心、研究或从事生产、管理的实际对象。 模型模型(Model)(Model)指为了某特定目的，将原型的某一部分信息简缩、提炼之后而构成的原型替代物。 一个原型，目的不同，模型不同。.l物理模型 把实物尺寸缩小或放大，其外形和物理性能与实物基本相似的模型。l抽象模型抽象模型 用符号、图表和数学式描述客用符号

2、、图表和数学式描述客观事物的模型。可分为模拟模型、数学模观事物的模型。可分为模拟模型、数学模型和概念模型。型和概念模型。.l模拟模型 用便于控制的一组条件代表真实事物特征，对客观事物发生的行为进行刻画，再现客观事物特征及其行为变化的抽象模型。l数学模型数学模型 用字母、数学符号和数学关系建用字母、数学符号和数学关系建立起来的，用来描述客观事物特征及内在联系立起来的，用来描述客观事物特征及内在联系的抽象模型。的抽象模型。l概念模型 通过对研究对象的定性分析，凭借专家经验和假设条件建立的反映概念之间关系的初步模型。.环境系统原型的认识模型建立目的环境系统调查监测系统过程机理分析概念模型构建模型结构

3、确定或模型选择模型标定模型检验模型建立和应用. 已知国家当年人口总数为已知国家当年人口总数为11.611.6亿，过亿，过去若干年的人口平均年增长率为去若干年的人口平均年增长率为1.48%1.48%，如果保持此增长率，预测如果保持此增长率，预测1 1年后和年后和1010年后年后该国的人口总量。该国的人口总量。 00PPrPdtdPPLPrdtdP 1nePP0 . 衰衰减减转转化化弥弥散散紊紊流流扩扩散散分分子子扩扩散散分分散散作作用用推推流流迁迁移移.l推流迁移推流迁移指污染物随流体在空间上平移运动指污染物随流体在空间上平移运动所产生的迁移作用，也称平流迁移。只改变所产生的迁移作用，也称平流迁

4、移。只改变污染物所处的位置，并不改变污染物浓度。污染物所处的位置，并不改变污染物浓度。ucm 1. 污染物在环境介质中通过分散作用得到污染物在环境介质中通过分散作用得到稀释，分散机理是分子扩散、紊流扩散和弥稀释，分散机理是分子扩散、紊流扩散和弥散。它只改变污染物浓度，并不改变污染物散。它只改变污染物浓度，并不改变污染物总量。总量。.l由分子随机运动引起的质点分散现象。由分子随机运动引起的质点分散现象。符合费克第一定律，即分子扩散的质量符合费克第一定律，即分子扩散的质量通量与扩散物质的浓度梯度成正比。通量与扩散物质的浓度梯度成正比。zcDmycDmxcDmmzmymx 222.l又称湍流扩散，是

5、在湍流流场中质点的各种状态又称湍流扩散，是在湍流流场中质点的各种状态( (流速、压力、浓度等流速、压力、浓度等) )的瞬时值相对于其时平均值的瞬时值相对于其时平均值的随机脉动而导致的分散现象。当流体质点的紊的随机脉动而导致的分散现象。当流体质点的紊流瞬时脉动速度为稳定的随机变量时，符合费克流瞬时脉动速度为稳定的随机变量时，符合费克第一定律。第一定律。zcDmycDmxcDmzzyyxx 131313.l由于横断面上实际流速分布不均匀引起的分散作用，由于横断面上实际流速分布不均匀引起的分散作用，在用断面平均流速描述实际的污染物迁移扩散时，在用断面平均流速描述实际的污染物迁移扩散时，应考虑弥散作用

6、，即由空间各点湍流流速应考虑弥散作用，即由空间各点湍流流速( (或其它状或其它状态态) )的时平均值与其时平均值的空间平均值的系统差的时平均值与其时平均值的空间平均值的系统差别所产生的分散现象，也符合费克第一定律。别所产生的分散现象，也符合费克第一定律。zcDmycDmxcDmzzyyxx 242424.l持久性污染物随推移迁移和分散稀释不断改变空持久性污染物随推移迁移和分散稀释不断改变空间位置并降低浓度，但总量不变；非持久性污染间位置并降低浓度，但总量不变；非持久性污染物除随介质运动改变位置和降低浓度外还由于化物除随介质运动改变位置和降低浓度外还由于化学、生物化学作用而降解转化，进一步降低浓

7、度。学、生物化学作用而降解转化，进一步降低浓度。大多数属于一级反应。大多数属于一级反应。kcdtdc . 设环境介质中任一点设环境介质中任一点P(x,y,z)P(x,y,z)，在其周围作一微，在其周围作一微元，边长为元，边长为2dx2dx、2dy2dy、2dz2dz，P P点流速点流速U(x,y,z)U(x,y,z)在在x x、y y、z z方向上的分量为方向上的分量为UxUx、UyUy、UzUz，则三个方向上污，则三个方向上污染物质量通量为染物质量通量为 414141;iizziiyyiixxmmmmmm 现将分子扩散系数、湍流扩散系数和弥散系数现将分子扩散系数、湍流扩散系数和弥散系数合并成

8、混合系数合并成混合系数 zzmzyymyxxmxDDDEDDDEDDDE212121;. 则扩散则扩散- -弥散作用在三个方向上的质量通量为弥散作用在三个方向上的质量通量为 zcEFycEFxcEFzzyyxx222;总质量通量为总质量通量为zzzyyyxxxFFFFFFFFF212121;x x方向上通过微元左右断面的质量通量为方向上通过微元左右断面的质量通量为dxxFFdydzxx4dxxFFdydzxx4两者之差为两者之差为xFdxdydzx8.同样，同样，y y、z z方向上得通量为方向上得通量为yFdxdydzy8该微元中无穷小时间段内污染物质量变化为该微元中无穷小时间段内污染物质量

9、变化为 zFdxdydzz8tcdxdydz8根据质量守恒定律，得根据质量守恒定律，得 0zFyFxFtczyx.考虑到环境流体介质中由于物理、化学和生考虑到环境流体介质中由于物理、化学和生物作用引起污染物的增减，可附加一个源汇物作用引起污染物的增减，可附加一个源汇项项S(x,y,z,c,t)S(x,y,z,c,t)。这就是环境中污染物迁移转化。这就是环境中污染物迁移转化的基本方程，与环境流体动力学方程耦合，的基本方程，与环境流体动力学方程耦合，就可以模拟污染物在环境中的迁移转化过程，就可以模拟污染物在环境中的迁移转化过程，预测环境质量。预测环境质量。 tczyxSzcEycExcEzcUyc

10、UxcUtczyxzyx,222222.tcyxSycExcEycUxcUtcyxyx,2222.tcxSxcExcUtcxx,22.KcVccQdtdcV0. 在环境介质处于稳定流动状态和污染在环境介质处于稳定流动状态和污染源连续稳定排放条件下，环境中污染物的源连续稳定排放条件下，环境中污染物的分布状况也是稳定的，这时污染物在某一分布状况也是稳定的，这时污染物在某一空间位置的浓度不随时间变化，达到稳态，空间位置的浓度不随时间变化，达到稳态，即即0tc. 第第三三类类边边界界条条件件第第二二类类边边界界条条件件第第一一类类边边界界条条件件边边界界条条件件初初始始条条件件况况定定解解条条件件，描

11、描述述实实际际情情，描描述述基基本本规规律律组组分分方方程程污污染染物物迁迁移移扩扩散散基基本本微微定定解解问问题题)(.l符合实际环境问题的微分方程符合实际环境问题的微分方程(组组)l方程中相关参数方程中相关参数l污染物迁移扩散范围污染物迁移扩散范围l初始条件，表示初始状态初始条件，表示初始状态l边界条件，研究区与周围环境的相互制边界条件，研究区与周围环境的相互制约关系，污染物浓度或迁移量在边界上约关系，污染物浓度或迁移量在边界上应满足的条件应满足的条件.l污染物一维的非稳定迁移扩散，且无衰污染物一维的非稳定迁移扩散，且无衰减转化作用；减转化作用；l研究域为研究域为0 0，+)+)；l整个研

12、究域内污染物的初始浓度为整个研究域内污染物的初始浓度为0 0；l在在x=0 x=0处有污染源，污染物的排放浓度处有污染源，污染物的排放浓度为为c c0 0，在，在x x为无穷远处浓度为为无穷远处浓度为0 0；l假设为均匀流。假设为均匀流。. ), 0t , 0),(), 0t ,),(), 0(, 0),(), 0), 0,x00022txcctxcxtxctxxcuxxDtcxtxx.l污染物一维、稳定迁移扩散；污染物一维、稳定迁移扩散；l有污染物衰减转化作用，并假设符合有污染物衰减转化作用，并假设符合一级衰减方程；一级衰减方程；l研究域为研究域为0 0，+)+)；l在起始点处有污染源连续稳

13、定排放，在起始点处有污染源连续稳定排放，排放的污染物浓度为排放的污染物浓度为 0 0；l在无穷远处，浓度为在无穷远处，浓度为0 0；l假设为均匀流。假设为均匀流。. 0)()(), 0, 00022xxxxxxxkxuxD .l污染物一维，非稳定迁移扩散；污染物一维，非稳定迁移扩散；l无衰减转化运动；无衰减转化运动；l假设为均匀流；假设为均匀流；l污染物迁移、扩散为一维半无限长区域；污染物迁移、扩散为一维半无限长区域；lt=0t=0时，整个区域内不含污染物；时，整个区域内不含污染物；l从从t=0t=0到到t=tt=t1 1这段时间内，从边界这段时间内，从边界x=0 x=0处连处连续注入污染物浓

14、度为续注入污染物浓度为 0 0的流体，的流体，t t1 1之后注之后注入非污染的净水；入非污染的净水；l在在x x为无穷远处，浓度设为为无穷远处，浓度设为0 0。. ), 0, 0),(),(, 0),(), 0,),(), 0(, 0),(), 0), 0,10100022ttxtttxtttxxtxtxxuxDtxxxtxx .l污染物二维非稳定迁移扩散，且无衰污染物二维非稳定迁移扩散，且无衰减转化作用；减转化作用；l研究域研究域x0 x0，+)+)，y 0y 0，+)+)；l在整个研究域内污染物初始浓度为在整个研究域内污染物初始浓度为0 0；l在在x=0 x=0，y=ay=a处有一点污染

15、源连续稳定处有一点污染源连续稳定地排放，浓度为地排放，浓度为 0 0；l其余边界上浓度设为其余边界上浓度设为0 0。. 0, 0, 0),(0, 0, 0),(0, 0, 0), 0 ,(0,0, 0), 0(0,), 0(0, 0, 0) 0 ,(), 0), 0),( ,)()(0txtxtytytxtxtayytyttayxyxtyxyDyxDxuyuxtyxyx 且且.l解析解解析解l数值解数值解有限差分法有限差分法 将环境模拟的时空连续系统概化成将环境模拟的时空连续系统概化成一个离散系统，形成网络体系，用计算出的各网一个离散系统，形成网络体系，用计算出的各网格点处的值近似代表其附近小

16、单元系统的数值。格点处的值近似代表其附近小单元系统的数值。有限单元法有限单元法 把一个连续的污染物迁移扩散空间把一个连续的污染物迁移扩散空间离散为若干个基本单元，每个单元视为一个子系离散为若干个基本单元，每个单元视为一个子系统，通过对每个单元建立质量平衡方程，从而建统，通过对每个单元建立质量平衡方程，从而建立整个系统的模型。立整个系统的模型。.例题：一个库容例题：一个库容1 110105 5m m3 3的水库，进水和出水流量为的水库，进水和出水流量为4 410104 4 m m3 3/d/d，进水，进水BODBOD5 5=8mg/L=8mg/L，降解系数，降解系数k=0.5k=0.5，河水，河

17、水可与库水迅速混合，求出水的可与库水迅速混合，求出水的BODBOD5 5。称水力停留时间QVkQVcckcVccQdtdcV1000)/(6 . 35 . 01041011845Lmgc 解解：.qQqcQccukxccukEExucckcxcuxcExxxxxxx21002022exp4112exp0忽略弥散作用，有.例题：一个改扩建工程拟向河流排放废水，废水量例题：一个改扩建工程拟向河流排放废水，废水量q为为0.15 m3/s，苯酚浓度为，苯酚浓度为30g/L，河流流量，河流流量Q为为5.5m3/s，流速，流速ux= 0.3m/s，苯酚背景浓度为，苯酚背景浓度为0.5 g/L，降解系数，降

18、解系数k为为0.2d-1，纵向，纵向弥散系数弥散系数Ex=10m2/s，求排放点下游，求排放点下游10km处苯酚浓度。处苯酚浓度。LgcLgcLgc/19. 1864003 . 0100002 . 0exp28. 1/19. 13 . 010)86400/2 . 0(411102100003 . 0exp28. 1/28. 115. 05 . 55 . 05 . 53015. 020若不考虑弥散系数，若考虑弥散系数，初始浓度. xxyxyxyxxxyxyxyxxxyxyxuxkuxEyuxEhuQyxcuEuxkuxEuxuyuxEuxEhuQyxckcycuxcuycExcEexp4exp4

19、,exp4exp44,)10222222 和和忽略忽略放放无边界连续点源中央排无边界连续点源中央排. xpnxypnxyxyxyxxxyxyxuxkuxEynauxEynanBuxEyuxEhuQyxcuxkuxEyuxEhuQyxcexp42exp422exp4exp4,)3exp4exp42,)2121222 放放有边界连续点源中央排有边界连续点源中央排放放无边界连续点源岸边排无边界连续点源岸边排. 42exp42exp422exp4exp42,)412122为为反反射射次次数数，一一般般取取放放有有边边界界连连续续点点源源岸岸边边排排puxkuxEynauxEynanBuxEyuxEhu

20、Qyxcxpnxypnxyxyxyx .例题：连续点源例题：连续点源Q=100g/s，河流水深，河流水深1.5m，流速，流速ux=0.3m/s，横向弥散系数横向弥散系数Ey=5m2/s，污染物的衰减常数，污染物的衰减常数k=0。求下列三种。求下列三种条件下条件下x=2000m，y=10m处污染物浓度：处污染物浓度：(1)无边界约束条件无边界约束条件下；下；(2)在岸边排放河流宽度无穷大时；在岸边排放河流宽度无穷大时；(3)岸边排放，河流宽岸边排放，河流宽度度B=100m时。时。 )/(38. 4)10,2000(, 4)/(10. 4)10,2000(, 22000541010023 . 0e

21、xp2000541010023 . 0exp2000541003 . 0exp3 . 0/2000545 . 13 . 01002)10,2000()/(68. 0)10,2000(2)10,2000()/(34. 0200054103 . 0exp3 . 0/2000545 . 13 . 0100)10,2000(33121231221LmgcpLmgcpnncLmgccLmgcpnpn 解：解：. xzyxzyxzyxzyxukxEzEyxuEExQzyxcEkczcuycuxcuzcEycExcEexp4exp4,022222222 ，忽略忽略.kttEtuxtEAmtxcAumVmck

22、ttEtuxtEcutxcxxxxxxxxexp4exp4,exp4exp4,2020. 在一维实验渠道中心瞬时投放在一维实验渠道中心瞬时投放10g若丹明若丹明W示示踪剂，已知渠道平均流速为踪剂，已知渠道平均流速为ux=1m/s，Ex=1.5m2/s，渠宽渠宽20m，水深，水深2m。求在示踪剂投放点下游。求在示踪剂投放点下游500m处，处，t分别为分别为4min、10min时示踪剂的浓度。时示踪剂的浓度。. kttEtuytEtuxtEtuytEtuxtEEhmtyxcakttEtuyatEtuxtEtuytEtuxtEEhmtyxckttEtuytEtuxtEEhmtyxcyyxxyyxxy

23、xyyxxyyxxyxyyxxyx exp44exp44exp42,0exp424exp44exp4,exp44exp4,2222222222222 边界排放，边界排放，有边界条件下，有边界条件下，无边界约束时，无边界约束时，. ktEtuzEtuyEtuxtEEEtmtzyxczzyyxxzyx exp41exp8,2223 . xxxxxxxAmcuxttuxAmtxcktE 22exp2,02maxmax22 ，出现最大浓度时出现最大浓度时则则，令令 理论上，理论上，x=uxt，根据统计学原理，在，根据统计学原理，在2x范围内，曲范围内，曲线下的面积线下的面积(或污染物量或污染物量)占总

24、面积占总面积(或污染物总量或污染物总量)的的95%，可，可以把以把4 x长度定义为含污染物水团长度定义为含污染物水团(或云团或云团)长度。在弥散系数长度。在弥散系数增大时，表征分布曲线宽度的增大时，表征分布曲线宽度的x也增大，最大浓度也增大，最大浓度cmax下降，下降，水团水团(云团云团)长度也增大，延长了污染物的通过时间。长度也增大，延长了污染物的通过时间。. 若定义若定义污染物扩散烟羽宽度污染物扩散烟羽宽度为包含全断面为包含全断面上上95%的污染物宽度，则为的污染物宽度，则为4 y y。 yxxyyxxxyyhuukxQcyyhuukxQtxckuxE 2/exp02exp21/exp,0

25、2max22 ，出现最大浓度时出现最大浓度时则则，令令. 一个一个10km长的均匀稳态河段，平均宽长的均匀稳态河段，平均宽B=500m，水深水深h=2.5m，ux=1m/s，Ey=1m2/s。一工厂于河中心。一工厂于河中心排放含盐废液排放含盐废液10m3/h，盐的质量浓度为，盐的质量浓度为10%100g盐盐/L水水。求排放口下游。求排放口下游1km和和3km处污染物扩散羽流处污染物扩散羽流宽度及最大的污染物浓度。宽度及最大的污染物浓度。. 中心排放的二维介质中，若边界污染物浓度达到断中心排放的二维介质中，若边界污染物浓度达到断面平均浓度的面平均浓度的5%时称污染物到达岸边时称污染物到达岸边(或

26、地面或地面)，从污染，从污染物排放点到污染物到达边界的纵向距离称为物排放点到污染物到达边界的纵向距离称为污染物到达污染物到达岸边所需距离岸边所需距离。 yxyxxyxxEBuxEBuxccBuxEByBByBByccukxBhuQc222222222550 . 00137. 00137. 005. 042exp42exp4exp41,exp 若若岸岸边边排排放放，则则，则则得得。由由则则任任一一断断面面平平均均浓浓度度 . 当某断面上任意点浓度与断面平均浓度之比为当某断面上任意点浓度与断面平均浓度之比为0.951.05时称该断面已达到横向混合，由排放点至完时称该断面已达到横向混合，由排放点至完

27、全横向混合断面的距离成全横向混合断面的距离成完成横向混合所需距离完成横向混合所需距离。yxyxEBuxEBuxcccc22maxmin4 . 01 . 0,038. 11 . 095. 0 ，岸边排放时，岸边排放时中心排放时中心排放时说明混合完全说明混合完全，此时，此时得得由由 .例题：在流场均匀的河段中，河宽例题：在流场均匀的河段中，河宽B=200m，平均水深，平均水深h=3m，流速流速ux=0.5m/s，横向弥散系数，横向弥散系数Ey=1m2/s。岸边连续排放污染。岸边连续排放污染物，源强物，源强Q=3600kg/h，k=0。试求下游。试求下游2km处的最大污染物浓处的最大污染物浓度、污染

28、物横向分布、扩散羽宽度和完成横向混合所需时间。度、污染物横向分布、扩散羽宽度和完成横向混合所需时间。解：污染源强解：污染源强Q=3600kg/h=1000g/s下流下流2km处污染物分布方差处污染物分布方差 y y=(2E=(2Ey yx/ux/ux x) )1/21/2=89.4m=89.4m1. 1.污染物最大浓度在污染物最大浓度在y=0y=0处，取处，取p=1p=1C(2000,0)=5.947exp(-0C(2000,0)=5.947exp(-02 2/16000)+2exp(-400/16000)+2exp(-4002 2/16000) =5.95mg/L/16000) =5.95m

29、g/L2. 2.3. 3.扩散羽流宽度扩散羽流宽度b=2 b=2 y y=178.8m=178.8m4. 4.完成横向混合距离完成横向混合距离x=0.4ux=0.4ux xB B2 2/E/Ey y=8000m=8000m5. 5.完成横向混合时间完成横向混合时间t=x/ut=x/ux x=4.44h=4.44hy/m0255075100125150175200c/mg.L-15.95 5.725.094.203.202.291.581.130.98. 一条宽一条宽100m、平均流速、平均流速ux=0.5m/s的均匀稳的均匀稳态河流，经岸边投放示踪剂试验，在示踪剂到态河流，经岸边投放示踪剂试验，在示踪剂到达对岸的浓度达对岸的浓度c于平均浓度于平均浓度 之比之比0.050.05处离投放处离投放点距离为点距离为2000m2000m。求若示踪剂在河流中心投放，。求若示踪剂在河流中心投放，则到达岸边的距离有多长？则到达岸边的距离有多长？.l定解问题的解法.