基于间断有限元方法的并列圆柱层流流动特性-张忠宇.pdf

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1、物理学报Acta Phys. Sin. Vol. 65, No. 8 (2016) 084701基于间断有限元方法的并列圆柱层流流动特性 张忠宇y姚熊亮张阿漫(哈尔滨工程大学船舶工程学院,哈尔滨150001)(2015年10月30日收到; 2016年1月11日收到修改稿)基于高阶的间断有限元方法,数值模拟低马赫数下并列圆柱的可压缩层流流动,捕捉并列圆柱流场中的漩涡结构,以便分析并列圆柱尾流的流动特性.针对二维圆柱的边界形式,采用曲边三角形单元构造二维圆柱的曲面边界,以适应高阶离散格式的精度.在验证方法合理性的基础上,分析圆柱间距及雷诺数对漩涡脱落及受力特性的影响规律.研究结果表明:并列圆柱的间

2、距是影响流场流动特性的一个主要因素,它会改变圆柱漩涡脱落的形式.随着圆柱间距的增加,上下圆柱的平均阻力系数及平均升力系数的绝对值随之显著下降.雷诺数对于平均阻力系数的影响相对较小.但随着雷诺数的增加,上下圆柱的平均升力系数会随之降低,而漩涡的脱落频率会随之增大.关键词:间断有限元,曲面边界,并列圆柱,漩涡脱落PACS: 47.11.j, 47.15.Tr, 02.70.Dh, 47.32.ck DOI: 10.7498/aps.65.0847011引言近些年来,并列圆柱结构的绕流问题越来越多地出现在工程实际应用中,如飞行器的起落架结构、海洋工程中的立管结构,其在均匀来流场中会产生漩涡脱落而引起

3、结构的涡激振动1.造纸机在生产过程也会存在类似圆柱绕流问题,其流动的雷诺数为1502002.因而,并列圆柱的绕流特性及其尾涡流场动力特性受到广泛地关注.Williamson3通过实验研究了低雷诺数下并联圆柱的尾涡脱落特性,通过实验结果可知:圆柱绕流呈现层流流动特性,且在一定的间距下,尾流场将会出现两列卡门涡街. Sumner等4对并列圆柱的尾涡特性进行了详细的分析,根据圆柱间距的不同,将尾涡类型分为单一钝体漩涡脱落、偏隙漩涡脱落及同步漩涡脱落.而Zdravkovich5对不同布置形式双圆柱的尾流形式做了总结,重点关注了高雷诺数下两个圆柱旋涡脱落特性及受力特性.随着计算机性能的提高,研究者采用各

4、种数值方法对并联圆柱的尾流特性及受力特性进行了分析. Meneghini等6采用有限元方法分析了串联和并列双圆柱在低雷诺数下的绕流问题,在低雷诺数下,流体流动被认为是二维的.此外, Ding等7提出了无网格最小二乘差分法,用来研究低雷诺数下并列圆柱的受力特性,数值结果与试验值符合良好. Chen等8采用大涡模拟,研究了并列圆柱尾涡的湍流特性. Dong等9采用格子玻尔兹曼方法数值求解圆柱阵列的流动特性,分析了雷诺数对圆柱受力及尾涡流场的影响特性.对于圆柱扰流问题求解的稳定性, Zhang等10采用格子玻尔兹曼方法和离散分子动力学(DMD)方法进行了分析.总而言之,上述数值研究大部分都是基于不可

5、压缩理论进行研究的,且数值离散的空间精度一般为低阶,提升至高阶往往需要较大的模板,影响计算效率.当然,当马赫数小于0.3时,可压缩流动与不可压缩流动的误差不超过5%,而不可压缩流动的计算量会大幅减少,因而人们在低马赫数时往往忽略可压缩性的影响.随着工程技术的发展,可压缩低雷诺数流动现象开始出现在工程应用国家自然科学基金(批准号: U1430236, 51479041)资助的课题.通信作者. E-mail: 2016中国物理学会Chinese Physical Society http:/084701-1物理学报Acta Phys. Sin. Vol. 65, No. 8 (2016) 084

6、701中,如微型涡轮发动机11,其可以为微型飞行器提供动力,发动机通道的直径很小,特征长度范围约为0.110 mm,流动雷诺数范围约为200200000,马赫数范围约为0.051.0.梁德旺和黄国平11通过微流动实验研究发现微尺度管道内气流在马赫数小于0.3时也具有不同于不可压缩层流的沿程能量损失. Liang等12应用谱差分方法(spectraldierence method)数值模拟了在马赫数为0.2且雷诺数为100的条件下,并列圆柱的漩涡脱落现象,并分析了两圆柱间距对于尾流场漩涡特性的影响.为了更好地捕捉漩涡脱落的结构,研究并列圆柱的漩涡脱落特性,本文采用间断有限元方法(disconti

7、nuous Galerkin method, DG)数值模拟了在马赫数为0.2且雷诺数为200下并列圆柱可压缩层流绕流.间断有限元方法是近些年来发展的一种较为高效的高阶计算方法.该方法结合了有限元及有限体积的思想,易于提高计算方法的精度,离散格式相对较为紧致,所需模板较少,易于开展并行计算.该方法允许流体单元界面存在间断,以便更好地捕捉可压缩流动.另外,由于其所需模板较少,因而适用于非结构化网格,可进行复杂结构的计算,对网格的质量要求较低.间断有限元方法是1973年由Reed和Hill13首先提出,并应用于求解中子输运方程. Cockburn和Shu14将间断有限元方法推广到守恒方程,并给出了

8、收敛性证明.目前,该方法已开始应用在可压缩Navier-Stokes方程的计算中. 1997年, Bassi和Rebay15首先提出了混合有限元的思想,将守恒变量的梯度作为辅助变量,通过引入全局提升算子,数值求解了可压缩Navier-Stokes方程,这种梯度降阶的处理方法称为BR1格式,但通过数学证明,这种格式是不稳定的.因而, Cockburn和Shu16提出了局部间断有限元方法, Peraire和Persson17将其改进形成了CDG方法(compact discontinuous Galerkin),Bassi等18也对BR1格式进行了改进,提出了BR2格式.当采用高阶格式进行空间离散

9、时,不能再采用常规的线性单元,因为线性单元不能满足间断有限元在进行边界积分所需的精度要求,因而曲面边界也需要采用高阶曲面进行描述19.为此,本文针对二维圆柱的边界形式,提出采用曲边三角形单元构造二维圆柱的曲面边界.该方法简单方便,容易对圆柱边界进行处理.进而基于间断有限元方法,数值模拟并列圆柱的尾涡特性,分析圆柱间距及雷诺数对尾涡脱落及受力特性的影响规律,以得到并列圆柱尾流场的流动机理.2数值方法2.1控制方程针对并列圆柱在低雷诺数条件下的绕流问题,假设流体是可压且有黏性,则直角坐标系下可压缩Navier-Stokes方程在空间范围内的形式如下:Ut + (Finv(U) Fvis(U;U)

10、= 0U 2 Rd+2;Finv;Fvis 2 Rd+2 Rd; (1)式中,空间 2 Rd, d为流体空间的维度, d = 2; U为控制方程的守恒变量; Finv = (finv1 ; ;finvd )和Fvis = (fvis1 ; ;fvisd )分别为流体的无黏通量和黏性通量,且其表达式分别为U =0BBBuiE1CCCAfinvj =0BBBujuiuj + ijpuj( E + p)1CCCAfvisj=0BBB0ijui ij + qj1CCCA (i;j = 1;2); (2)其中, 为流体的密度, v = (u1; ;ud)T为流体的速度, p为流场中的压力, E = e

11、+ 0:5v2为单位质量流体的总能量, e为单位质量流体的内能. 和q分别为流体的黏性力张量和热传导能量,它们的具体形式如下:ij = (uixj +ujxi)23 ukxkij;qj = Pr exj; (3)式中, 为流体的运动黏性系数, 为等压比热容cp和等容比热容cV的比值,取为1.4, Pr为Prandtl常数,本文取为0.72.为了使方程组封闭,还需增加状态方程,建立流体中压力和内能之间的关系:p = ( 1) e: (4)2.2间断有限元空间离散间断有限元方法的基本原理与有限元方法类似,在每个单元内都是用一个关于试函数的线性组合表示求解域上未知变量,再根据变分原理求解一08470

12、1-2物理学报Acta Phys. Sin. Vol. 65, No. 8 (2016) 084701个泛函取极小值的变分问题.试函数在单元内部是连续的,但在单元界面上允许存在间断,在单元界面上允许变量在两相邻单元重构后所得到的值不同.基于间断有限元方法的思想,对流体的控制方程(1)进行求解,寻求流体域中逼近于真实解的近似解Uh.因而,对方程(1)两边乘以试函数,并在流体域进行积分且对左端第二项进行分部积分,可得: Uht d (Finv Fvis)d+(Finv Fvis)nd() = 0; (5)为流体域的边界.显然, (5)式对任意试函数都应成立.设T = fKg是区域的所有网格单元K的

13、集合,且定义间断有限元空间:Vh=fh 2 L2() : hjK 2 Pk(K);8K 2 Tg;(6)其中Pk(K)是单元K上的所有次数不超过k次多项式的集合.基于间断有限元的思想,将流体域中的近似解展开为关于试函数的线性叠加:Uh(X;t) =Ni=0Ui(t)i(X); (7)这样,将近似解进行时空变量分离,展开系数Uj(t)为单元中的自由度,只与时间有关. j(X)为单元的试函数,其关系到间断有限元离散的空间精度,且在单元内是连续的.试函数的个数与试函数的次数k相关:N = (k + 1)(k + 2)2 (k = 0;1;2 ): (8)因而,通过改变试函数的个数,就可以提高空间离散

14、的精度.这样,将(7)式代入(5)式可得数值离散形式如下:K2TNi=0KjiUi(t)t dKK2TKj (Finv(U h ) Fvis(U h ;U h )dK+K2TK0j( Finv(U h ;U+h ;n)Fvis(U h ;U+h ;U h ;U+h ;n)d(K)+K2Tj( Finv(U h ;Ubh;n)Fvis(U h ;U+h ;U h ;Ubh;n)d(K) = 0;(0 6 j 6 N); (9)式中, K0为流体单元的内边界, 为流体域的物理边界.为了有效地捕捉流体域中可能存在的激波等不连续现象,间断有限元方法在单元边界处不需要满足连续条件,其左侧的流体变量为U

15、h ,与其相邻单元的变量值为U+h ,流体域物理边界处的变量值为Ubh, n为单元的外法向,如图1所示. Finv为流体边界处的无黏通量,由于边界两侧均存在流体变量,其可以看作一个黎曼问题.为了保持流量的一致性和守恒性,借鉴有限体积法,无黏通量采用近似黎曼求解器进行求解,本文主要采用HLLC格式20.该格式基于三波假设,考虑接触间断,存在两个中间变量U h , U+h ,两个变量间的界面以速度SM运动,则可得到单元边界处的通量:FHLLC =8:F(U h ); S 0;F(U h ) + S (U U h ); S 6 0 6 SM;F(U+h ) + S+(U+ U+h ); SM 6 0

16、 6 S+;F(U+h ); S+ :12 Fvis(U h ;U h + r h ;n)+ Fvis(U+h ;U+h + r+h ;n); in K0;Fvis(Ubh;Ubh + rbh;n); in ;(19)式中,上标“ ”号表示所需计算的流体单元, “+”号表示与其相邻的流体单元; 为稳定性因子,本文取 = 4:0.将上式代入(9)式可得可压缩Navier-Stokes方程的间断有限元离散格式:K2TNi=0KjiUi(t)t dKK2TKj(Finv(U h )Fvis(U h ;U h + R h )dK+K2TK0j( Finv(U h ;U+h ;n)12 Fvis(U h

17、 ;U h + r h ;n)+ Fvis(U+h ;U+h + r+h ;n)d(K)+K2Tj( Finv(U h ;Ubh;n)Fvis(Ubh;Ubh + rbh;n)d(K) = 0;0 6 j 6 N: (20)上式的简化形式:M dUhdt = R(Uh); (21)084701-4物理学报Acta Phys. Sin. Vol. 65, No. 8 (2016) 084701其中, Uh为所有单元数值解组成的矢量, R是其对应的残差矢量, M为单元质量矩阵,且其对角线的元素为每一个单元的质量矩阵:Mij =KijdK; 8K 2 T;1 6 i;j 6 N: (22)对于试函数

18、,本文采用基于泰勒展开形式的基函数21,该基函数的存储变量放在单元的中心,方程采用三阶Runge-Kutta格式进行时间离散.U(1)h = Umh + tM 1R(Umh );U(2)h = 34Umh + 14U(1)h + tM 1U(1)h;Um+1h = 13Umh + 23U(2)h + tM 1U(2)h; (23)式中, Umh为第m个时间步下流场中的数值解, t为时间步长.2.3曲面边界低阶格式的数值方法是采用线性单元来对计算域进行离散的,而间断有限元方法是通过提高试函数的次数来得到较高的空间精度,这也要求边界条件需具有至少相等的空间精度.这是因为离散方程(20)需要进行边界

19、积分,实现高精度通常需要对积分项采用适当的高斯积分,这就要求边界积分点必须满足边界的几何信息.因而当边界是曲面时,为了使边界也达到相同的精度要求,需对其进行曲面边界的构造.不同于的三次样条曲线构造19,本文针对圆柱这种规则的几何曲面,提出一种简易的构造方法.本文使用三角形网格对计算域进行离散,因而先将三角形的线性单元中的中点(点5)投影到圆柱的表面上,在进行边界积分计算时,将该单元等参到母单元,母单元采用六节点的等参元,如图2所示.在构造为曲面单元后,在圆柱边界上施加无滑移绝热边界条件,边界的法向为圆柱表面的真实法向方向,边界处的密度和能量与相连单元的数值解相等,边界处的速度为0,具体形式如下

20、:8:b = ;ubi = 0;Eb = E :(24)12 3456xy124 65 3(0,0) (1,0)(0,1)12 3456xy图2曲面边界的构造Fig. 2. Construction of curved boundary.3数值验证为了验证该方法的合理性,本文首先开展雷诺数为200, Ma = 0:1下的单个圆柱的绕流模拟.圆柱的直径D为特征长度,来流速度U1为特性速度,来流流体的密度 1为特征密度,计算域如图3所示.试函数的最大次数k = 2,这样空间离散的精度为三阶.入口采用特征边界条件,入口距圆柱中心点的距离为10D.出口采用压力出口边界条件,距圆柱中心点的距离为20D.

21、上下边界采用对称边界条件,距圆柱中心点的距离为10D,数值模拟中流场的初始条件为来流值.为了将数值结果与Luo等22的结果进行对比,定义圆柱的升力系数、阻力系数、无量纲时间、平均升力系数、平均阻力系数为Cl = 2Fl 1U21; Cd = 2Fd 1U21; T = tD/U1;Cl = 1T2 T1 T2T1CldT;Cd = 1T2 T1 T2T1CddT; (25)式中, Fl为圆柱受到的升力, Fd为圆柱所受到的阻力, T2 T1一般取阻力或升力的脉动周期.此外,为了分析圆柱的漩涡脱落特性,本文定义斯特罗哈数St为St = 1T2 T1: (26)084701-5物理学报Acta P

22、hys. Sin. Vol. 65, No. 8 (2016) 084701D D+&+&c00_UDD图3单个圆柱计算域示意图Fig. 3. Computational domain for the isolated cylinder.80 85 90 95 100-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8TCl584670309478图4收敛性分析Fig. 4. Convergence study.计算域采用三角形网格进行离散,为了进行网格收敛性分析,本文将计算域分别离散为5846个单元、7030个单元及9478个单元.图4为不同网格单元下圆柱的升力曲线随时间的变化曲线.从

23、图4中可以看到,不同的网格单元并没有改变升力曲线的变化趋势.随着网格单元的增加,升力曲线趋近于重合,网格收敛性良好.80 85 90 95 1001.231.251.271.291.311.33TCd5MLuo20M 图5单个圆柱阻力系数与Luo等20的对比曲线Fig. 5. Comparisons of drag coecient with those byLuo et al.20 for the isolated cylinder.图5和图6分别为单个圆柱绕流所受阻力和升力的时历曲线,从图中可以看到,本文数值解与Luo等22的结果符合相对较好.本文数值模拟的平均阻力系数为1.28,平均升力

24、系数为0.而Meneghini等6采用有限元方法模拟的平均阻力系数为1.30,与本文数值模拟的结果基本相符.另外,本文模拟表征漩涡脱落的斯特罗哈数St为0.187, Luo等22的漩涡脱落频率为0.188,符合相对较好. Roshko23通过实验发现单个圆柱绕流的漩涡脱落频率在0.170.19之间,进一步说明本文的合理性.80 85 90 95 100-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8TCl5M Luo _!M图6单个圆柱升力系数与Luo等22的对比曲线Fig. 6. Comparisons of lift coecient with those byLuo et al.22

25、for the isolated cylinder.4并列圆柱的层流绕流模拟并列圆柱是工程中经常出现的结构形式,本文在Liang等12工作的基础上(马赫数为0.2且雷诺数为100并列圆柱绕流),采用高阶间断有限元方法,数值模拟雷诺数为200,马赫数为0.2下并列圆柱的漩涡脱落及受力特性,流场的计算域如图7所示.两圆柱圆心间的距离为S,定义无量纲的圆柱间距为S = S/D.入口采用特征边界条件,入口距圆柱中心点的距离为15D.出口采用压力出口边界条件,距圆柱中心点的距离为30D.上下边界采用对称边界条件,距计算域中心线的距离为15D,数值模拟中流场的初始条件为来流值.为了分析并列圆柱的漩涡脱落特

26、性,本文采用无量纲的涡量来识别流场中的漩涡24:! = s2 2s2 + 2; (27)084701-6物理学报Acta Phys. Sin. Vol. 65, No. 8 (2016) 084701式中, s为流体的变形速率, 为流体的旋转张量,且s2 = sijsij; 2 = ijij;sij = 12(uixj +ujxi);ij = 12(uixj ujxi)i;j = 1;2:DDDDS+&+&c00_U图7并列圆柱计算域示意图Fig. 7. Computational domain for two side by sidecylinders.4.1圆柱中心距离对并列圆柱流场特性的

27、影响本文首先研究两圆柱中心距离对并列圆柱的尾涡流场特性的影响,并列圆柱的间距S 分别选取为1.1, 1.4, 2.5, 4.0.计算区域采用三角形网格离散,圆柱表面布置60个节点,离散单元数量分别为9136, 9892, 9680, 10968.图8为两圆柱中心距离S 为1.1时某一时刻流场中的尾涡场.由图可知,在两圆柱后面的流场只形成一个单列涡街.可见,由于圆柱之间的距离相对较小,圆柱间隙内的流动不会产生相对的扰动,流场的特性与单个圆柱的绕流特性相似,这一流动特性被称为单一钝体漩涡脱落流动.这一现象从两个圆柱的升力曲线中也可以看出,如图9所示.两个圆柱的升力曲线的相位基本一致,只是极值不同.

28、0.50.40.30.20.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5图8 (网刊彩色) T = 160时无量纲间距为1.1的并列圆柱涡量图Fig. 8. (color online) Vorticity contour of two side byside cylinders for gap spacing is 1.1 at T = 160.150 175 200 225 250-2.0-1.5-1.0-0.500.51.01.52.0TCl图9无量纲间距为1.1并列圆柱的升力系数曲线Fig. 9. Lift coecient of two side by side cylinders

29、 forgap spacing is 1.1.(a)(b)0.50.40.30.20.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5图10 (网刊彩色) T = 145:6时刻无量纲间距为1.4的并列圆柱流场(a)局部流线图; (b)涡量Fig. 10. (color online) Wake of two side by side cylin-ders for gap spacing is 1.4 at T = 145:6: (a) Stream-lines; (b) vorticity contour.当两圆柱中心距离逐渐增加时,尾流涡场的特性将会发生改变,如图10所示.当圆柱间距增加到1

30、.4时,两圆柱中间的流动使近圆柱附近的尾流场呈现不稳定性.由于间隙的存在,流体流过圆柱表面时,圆柱会使流体的流动发生偏转,这一点从流场的流线图中可以看到.在T = 145:6时刻,流体经过上圆柱使得流动向着右下侧发生偏转,偏转的流动将会改变圆柱表面的漩涡脱落,使得尾涡流场呈现不对称性,且在流场的下游合并为同一个漩涡,如图10(b)所示. Kim25通过实验也观察到这一物理现象,而且随着流动的持续,流动的偏转方084701-7物理学报Acta Phys. Sin. Vol. 65, No. 8 (2016) 084701式将会发生变化,即流动将会在下圆柱发生偏转,并向着流场的右上方流动.通过实验

31、发现,这种流动方式的转变是完全随机的,完全可以看作一个泊松随机过程.这种流动方式转变的平均周期是漩涡脱落周期的数倍,从而使得尾流场中的漩涡脱落呈现不规则特性.图11为两圆柱升力系数的时历曲线,从曲线中可以看到,两圆柱的涡脱落并不呈现周期性变化,是非定常的.因而,流场随机特性使得圆柱表面的压力也不会呈现周期性变化规律,Kim25通过实验也观察到这一物理现象.可见,圆柱间距之间的流动产生了相应的扰动,改变了并排圆柱尾流场的特性.当流场中的间距增加到2.5时,两圆柱同时发生涡脱落现象,即在同一相位发生脱落,如图12所示.从升力最大和最小时刻的流线图中可以看到,两个圆柱上漩涡脱落的位置是一致的,从而使

32、得圆柱的升力的相位也是一致的,如图13所示.当漩涡运动到圆柱的顶部附近时,会诱导圆柱顶部区域产生低压,从而使圆柱的升力达到极大值.同理,当漩涡运动到圆柱的底部时,会使圆柱底部区域产生低压,从而使圆柱的升力达到极小值.但由于圆柱之间间隙流动的存在,在远离圆柱的尾流场中,脱落的漩涡将会合并为同一个漩涡,并使得两圆柱的升力幅值存在一定的差距.70 100 130 160 190 220-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.6TCl图11无量纲间距为1.4的并列圆柱的升力系数曲线Fig. 11. Lift coecient of two side by side cylindersfor

33、gap spacing is 1.4.(a)(b)(c)(d)0.50.40.30.20.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.50.40.30.20.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5图12 (网刊彩色)无量纲间距为2.5的并列圆柱流场(a)升力极大值时局部流线图; (b)升力极大值时涡量图;(c)升力极小值时局部流线图; (d)升力极小值时涡量图Fig. 12. (color online) Wake of two side by side cylinders for gap spacing is 2.5: (a) Streamlines forthe momen

34、t of the maximum lift force; (b) vorticity contour for the moment of the maximum lift force;(c) streamlines for the moment of the minimum lift force; (d) vorticity contour for the moment of theminimum lift force.当圆柱中心距离为4时,并列的两个圆柱仍会同时发生漩涡脱落现象,且产生两列互不影响的涡街,并沿着流场的中心线对称,如图14所示.在此间距下,流场下游的涡不会发生合并现象.但通过Z

35、hou等26的实验可知,在高雷诺数情况下,由于湍流的影响,使流场中流体质点的动量充分交换,两列涡街最后仍会合并为同一列涡街.由于并列圆柱漩涡脱落的对称性,使得两圆柱的升力呈现084701-8物理学报Acta Phys. Sin. Vol. 65, No. 8 (2016) 084701为180的相位差,如图15所示.而且,在此工况下,圆柱之间的间隙流动对于圆柱的漩涡脱落影响相对较小,两圆柱的升力曲线的极值相差不大.因而,称这种流动为异相漩涡脱落现象.150 170 190 210 230 250-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8TCl图13无量纲间距为2.5的并列圆柱的

36、升力系数曲线Fig. 13. Lift coecient of two side by side cylindersfor gap spacing is 2.5.0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5图14 (网刊彩色) T = 93:4时刻无量纲间距为4的并列圆柱流场Fig. 14. (color online) Vorticity contour of two side byside cylinders for gap spacing is 4 at T = 93:4.60 80 100 120 140-0.6-0.4-0.200.20.40.6

37、0.8TCl图15无量纲间距为4的并列圆柱的升力系数曲线Fig. 15. Lift coecient of two side by side cylindersfor gap spacing is 4.图16为两圆柱的平均阻力系数随着圆柱间的距离S 的变化曲线.由于在S = 1:4的工况下,圆柱漩涡的脱落现象不会呈现周期性的变化,因而本文在计算平均阻力或者平均压力的过程中,时间选取为整个计算时间.从图中可以看到,随着无量纲间距的增加,圆柱的平均阻力系数显著下降.由前文可知,当圆柱之间的距离较小时,间隙间的流动影响较小,流体好像只流过一个物体,圆柱受到较大的阻力.之后随着圆柱间距的增加,圆柱间隙

38、之间的流动对圆柱的漩涡脱落的影响越来越弱,使得圆柱受到的阻力变小.图17为两圆柱的平均升力系数随着圆柱间的距离S 的变化曲线.从图中可以看到,两个圆柱的平均升力系数的绝对值也随着间距的增加而减少.两个圆柱之间仿佛存在一个“排斥力”,随着间距的增加,这种“排斥力”逐渐减小,圆柱的平均升力趋向于0.另外,由圆柱的升力时历曲线可知,在圆柱间距为1.1, 2.5及4.0工况下,其对应的漩涡脱落频率分别为0.091, 0.190及0.198,可见,随着间距的增加,间隙流产生扰动的影响越来越小,漩涡脱落的频率逐渐增加.1 2 3 41.31.41.5Cd1.61.71.8S*图16平均阻力系数随着圆柱间的

39、距离S 的变化Fig. 16. Gap spacing S dependence for average dragcoecient.ClS*1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0-1.2-0.8-0.400.40.81.2图17平均升力系数随着圆柱间的距离S 的变化Fig. 17. Gap spacing S dependence for average liftcoecient.084701-9物理学报Acta Phys. Sin. Vol. 65, No. 8 (2016) 0847014.2雷诺数对并列圆柱流场特性的影响为了定性分析雷诺数的影响,本文数值模拟间距为2.5的

40、并联圆柱在雷诺数为100及150下的绕流特性,并与雷诺数为200的工况进行对比分析.图18及图19分别为雷诺数为100及150时并列圆柱的尾流场中的涡量图.从图中可以看到,雷诺数并没有改变漩涡脱落的方式,两个圆柱的尾流场仍然呈现同相漩涡脱落现象.雷诺数为100的并联圆柱的漩涡脱落形式与Liang等12的数值结果相一致,进一步验证本文方法的合理性.可见,在层流范围内,圆柱间距对漩涡脱落形式的影响强于雷诺数的影响.0.50.40.30.20.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5图18 (网刊彩色)雷诺数为100时并列圆柱的涡量图Fig. 18. (color online) Vortic

41、ity contour of two side byside cylinders for Reynolds number is 100.0.50.40.30.20.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5图19 (网刊彩色)雷诺数为150时并列圆柱的涡量图Fig. 19. (color online) Vorticity contour of two side byside cylinders for Reynolds number is 150.图20为并列圆柱的平均阻力系数、平均升力系数及表征漩涡脱落频率的斯特罗哈数St随雷诺数的变化曲线,从图中可以看到,雷诺数对于平均压力系数的影响

42、相对较小.可见,相比于雷诺数而言,间距对并联圆柱的平均阻力系数影响较为明显.同距离的影响趋势一样,随着雷诺数的增加,上下圆柱的平均升力系数会随之降低.由于在此工况下,上圆柱和下圆柱的漩涡脱落是同相位的,上下圆柱的漩涡脱落频率是一致的.所以,本文只给出了下圆柱的漩涡脱落频率随着雷诺数的变化曲线.随着雷诺数的增加,但漩涡的脱落频率随之增大.另外,并列圆柱的漩涡脱落频率比单个圆柱的漩涡脱落频率略高.(a)(b)(c)100 150 2001.361.371.381.391.40Re100 150 200-0.2-0.100.10.2Re100 150 2000.160.170.180.190.20R

43、eStClCd图20并列圆柱的受力随雷诺数的变化曲线(a)平均阻力系数; (b)平均升力系数; (c)斯特罗哈数Fig. 20. Reynolds number dependence for force of twoside by side cylinders: (a) Average drag coecient;(b) average lift coecient; (c) Strouhal number.5结论基于高阶的间断有限元方法离散控制方程,提出采用曲边三角形单元构造二维圆柱的曲面边界,形成计算低雷诺数下并列圆柱绕流问题的高阶计算方法.在验证方法合理性的基础上,数值模拟了低马赫数下雷诺

44、数为200的并列圆柱的流动,分析圆柱间距及雷诺数对漩涡脱落及受力特性的影响规律,得到以下结论.084701-10物理学报Acta Phys. Sin. Vol. 65, No. 8 (2016) 0847011)并列圆柱中心距离S 为1.1,在上下圆柱后面的流场只形成一个单列涡街,圆柱间隙内的流动不会产生相对的扰动.当圆柱间距增加到1.4时,上下圆柱中间的流动使近圆柱附近的尾流场呈现不稳定性,圆柱的漩涡脱落并不是呈现周期性变化的.当流场中的间距S 为2.5时,上下圆柱在同一位置同时发生漩涡脱落现象.但在远离圆柱的尾流场中,脱落的漩涡将会合并为同一个漩涡.当圆柱中心距离为4时,并列的两个圆柱发生

45、异相漩涡脱落现象,且产生两列互不影响的涡街,沿着流场的中心线对称.2)随着圆柱间距的增加,圆柱的平均阻力系数显著下降,且上下圆柱的平均升力系数的绝对值也随之减少.两个圆柱之间仿佛存在一个“排斥力”,随着间距的增加,这种“排斥力”逐渐减小,圆柱的平均升力趋向于0.3)当圆柱间距为2.5时,雷诺数并没有改变漩涡脱落的方式,两个圆柱的尾流场仍然呈现同相漩涡脱落现象.雷诺数对于平均压力系数的影响相对较小.同距离的影响趋势一样,随着雷诺数的增加,上下圆柱的平均升力系数会随之降低,但漩涡的脱落频率随之增大.参考文献1 Chen Y, Fu S X, Xu Y W, Zhou Q, Fan D X 2013

46、 ActaPhys. Sin. 62 064701 (in Chinese) 陈蓥,付世晓,许玉旺,周青,范迪夏2013物理学报62 0647012 Huang Z, Olson J A, Kerekes R J, Green S I 2006 Com-put. Fluids 35 4853 Williamson C H K 1985 J. Fluid Mech. 159 14 Sumner D, Wong S S T, Price S J, Paidoussis M P 1999J. Fluid. Struct. 13 3095 Zdravkovich M M 1977 J. Fluid.

47、Eng. 99 6186 Meneghini J R, Saltara F, Siqueira C L R, Ferrari J A2001 J. Fluid. Struct. 15 3277 Ding H, Shu C, Yeo K S, Xu D 2007 Int. J. Numer.Meth. Fl. 53 3058 Chen L, Tu J Y, Yeoh G H 2003 J. Fluid. Struct. 18 3879 Dong P, Feng S D, Zhao Y 2004 Chin. Phys. B 13 43410 Zhang W, Wang Y, Qian Y H 2015 Chin. Phys. B 2406470111 Liang D W, Huang G P 2004 Gas. Turb. Exp. Res. 179 (in Chinese) 梁德旺,黄国平2004燃气涡轮试验与研究17 912 Liang C, Premasuthan S, Jameson A 2009 Comput.Struct. 87 81213 Reed