基于扩展有限元法的齿根裂纹扩展规律-许德涛.pdf

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1、第47卷第8期2016年8月中南大学学报(自然科学版)Journal of CentraI South UniVersity(Science and 7rechnology)、，0147 No8Aug2016DOI：1011817巧issn1672-7207201608018基于扩展有限元法的齿根裂纹扩展规律许德涛，唐进元，周炜(中南大学高性能复杂制造国家重点实验室，湖南长沙，410083)摘要：探讨基于扩展有限元法的齿轮裂纹扩展计算方法，开展齿根初始裂纹扩展规律研究。借助Abaqus软件，分析齿根初始裂纹长度、方向和位置对裂纹扩展路径的影响规律，并与传统有限元法所得结果进行比较。研究结果表明

2、：对于本文模型，齿根裂纹均为先朝深入轮缘的方向扩展，后朝向齿根位置扩展，总体呈现朝轮齿周向扩展至轮齿断裂的趋势：相对初始裂纹位置，其长度和方向对裂纹扩展路径的影响较小，不同长度和不同方向的初始裂纹的扩展路径没有显著差别；随着初始裂纹位置向齿顶趋近，裂纹扩展路径也整体向齿顶偏移；本文结果与传统有限元法所得结果基本一致，但仿真效率大大提高，为齿轮疲劳裂纹扩展及疲劳寿命的高效分析和精确预测提供一种新途径。关键词：齿轮；裂纹扩展；扩展有限单元法(xFEM)；Abaqus中图分类号：THl324 文献标志码：A 文章编号：16727207(2016)08266808Tboth root crack pr

3、opagation regulari姆based on1 1_ J J Jl eXtenden Ilnlte element metnodXU Detao，TANG Jinyuan，ZHOU Wei(Key Labomtory of Modem Complex Equipment DesigIl柚d Ex仃eme M蛐ufactIlring，Cen仃al South univerSity，Changsha 410083，China)Abstract：The calculation method of gear cmck pmpagation baSed on extended finite e

4、lement metllod was inVestigated，and studies on toom root crack propagation rcgul撕够were carried outThe influence of lengm，direction and position oftooth root initial cmck on cmck pmpagation pam was analyzed using Abaqus，and the results were compared wim thoseobtained by traditional finite element met

5、hodThe results show that a11 the cmcks propagate toward the riIn firstly，andthen toward tlle toom mot，wim a geneml仃end propagating toward tooth circumfbremial direction until触cture h叩pensfor the model usedCompared to position of initial crack，lengm and direction have less innuence on crack pr叩agatio

6、npathThere is no significant di虢rence be柳een the cmck pmpagation仃ajectories of di船rent lengths and di仃-erentdirectionsWith the location of initial toom root crack moVing toward the addendlllIl，tlle crack propagation paths alsoremarkably move toward me addendum integrall yThe results in tllis work ar

7、e basically consistent witlllose obtained by仃aditional finite elemcnt method，but me simulation emciency is伊eatly impr0Ved，proViding a new印pmach to effectiVeanalysis and accurate prediction of gear fatigIle cmck propagation and fatigue lifeKey words：gear；cmck propagation；eXtended finite element metho

8、d(xFEM)；Abaqus收稿日期：20150818；修回日期：2叭51016基金项目(Foundationitem)：国家自然科学基金资助项目(51275530，51305462，51535012)(Projects(51275530，51305462，51535012)supponcd bytlleNational Nat啪1 Science FoIIndation ofChin曲通信作者：唐进元，教授，从事齿轮传动设计及数字化制造的研究：Email：jyt蛐gcsu-312163_com万方数据第8期 许德涛，等：基于扩展有限元法的齿根裂纹扩展规律 2669航空动力传动系统的大部分故障

9、源于齿轮失效【11，尤以齿轮弯曲疲劳断裂最为常见2】。由于裂纹扩展过程是疲劳断裂失效的重要阶段，开展齿轮裂纹扩展规律研究对于齿轮抗疲劳设计与安全监测具有重要意义。目前，国内外许多学者基于传统有限元法对齿轮裂纹扩展规律进行了大量研究。LEWIC等研究了轮缘厚度【3-41、裂纹初始位置和齿轮几何参数5_81对齿轮裂纹扩展的影响规律，并提出一种新型齿轮结构设计方案91来提高齿轮服役的可靠性；sPIEvAK掣m-11】则以更为复杂的螺旋锥齿轮为对象开展研究，得到有益结论；林腾蛟等【12】研究了载荷等对圆柱齿轮齿根裂纹扩展的影响，并对其进行了寿命预测；王延忠掣13】则借助FRANC3D软件模拟了裂纹扩展

10、过程，得到表面粗糙度和表面处理工艺对面齿轮疲劳寿命的定性影响规律。然而，传统有限元方法模拟裂纹扩展时要求裂纹与单元边界重合，在裂纹尖端需要划分足够精细的网格捕捉裂尖应力奇异性，并通过网格重划分来更新裂纹，导致仿真效率十分受限，难以应对较为复杂的分析模型，这将不利于齿轮裂纹扩展研究的深入开展。针对传统有限元方法的缺陷，BELYTscHKO等【14-15】提出了扩展有限元方法(XFEM)，XFEM用扩充的带有不连续性质的形函数基来代表计算域内的间断从而使裂纹独立于网格扩展，为齿轮裂纹扩展研究提供了一种新方法。RAD掣16】基于xFEM编制程序对直、斜齿轮的裂纹扩展进行研究，并与PEHAN等【17】

11、的研究成果进行比较。借助商业软件则可避免大量的程序开发工作并充分利用相关算法方面的优势开展针对性强的研究工作，这方面的研究也处于起步阶段，本文作者从这条途径出发，借助Abaqus中的XFEM模块【18。1 91，对直齿轮齿根裂纹扩展进行仿真研究，并与传统有限元法计算结果进行对比，验证了本文工作的有效性，为齿轮传动裂纹扩展的深入研究(比如裂纹扩展寿命的精确预测等)提供技术积累。自由度。XFEM通过在单元内构造具有不连续性质的扩充函数礅)和撇)151来模拟单元的位移不连续性和应力奇异性，其位移场表述为口。fcm(x)=f(x)唯+(x)H(x)口，+(工)F(x)缸】 (2)jSh ksc式中：和

12、(砖为形函数；&和&分别为被瞰)和凡x)扩充的节点集合；口，和巩分别为被裂纹贯穿的单元和裂尖单元的节点附加自由度。不对节点进行扩充时，式(2)就退化成式(1)，因此XFEM是在传统有限法之上发展起来的的一种新方法，更益于复杂的裂纹扩展计算。12 Abaqus裂纹扩展模型借助Abaqus中的xFEM模块进行仿真计算，它利用基于牵引分离行为的黏性片段法【20】模拟裂纹扩展过程，包括以下3个部分：1)损伤初始准则；2)黏性片段方向准则：3)损伤演化准则。论文使用最大主应力准则作为损伤初始准则，黏性片段方向为垂直于最大主应力方向，损伤演化准则取为基于能量法的线性软化，损伤演化表达式为肚篙熬 鳄“(一碟

13、) 一式中：D为损伤参量，代表单元的损伤程度；碟=2Gc出为单元完全失效时裂纹面间的有效分离量；缓和醒分别为单元初始损伤时裂纹面间的有效牵引力和有效分离量；簖“为加载历程中裂纹面问有效分离量的最大值；G，为整个损伤过程中耗散的能量，即断裂能，它等于牵引分离曲线下降段的面积。单元产生损伤后，单元刚度和裂纹面问的有效牵引力相应地退化成如下形式：f=(1一D)f 7 (4)K=(1一D) (5)式中：为单元无损伤时的刚度；，为单元无损伤时，裂纹面间的有效分离量对应的有效牵引力。1 基于xFEM的裂纹扩展仿真原理2齿根裂纹扩展仿真11 XFEM基本原理传统有限元法通过形函数和单元节点位移来描述位移场。

14、(x)=M(x) (1)fS式中：S为所有节点集合；fG)为形函数：口，为节点21齿根裂纹扩展有限元模型本文借用文献4】所述的齿轮材料与几何模型，其主要几何参数和材料参数如表1所示。图1所示为本文齿根裂纹扩展的二维平面应力有限元模型。为提高仿真精度，对裂纹扩展的可能区域进行网格优化，单万方数据2670 中南人学学报f自然科学版1 第47卷元类型为CPS4R和Tri，共5 592个单元，5 643个节点，载荷施加在单齿啮合最高点，方向垂直于该处齿廓，边界条件为内齿圈及边界固定，采用静态加载方式，单元最大主应力达到材料抗拉强度时开始产生损伤，损伤过程中耗散的能量达到64610_5 Jmm2(由应力

15、强度因子门槛值转换得到)时，单元完全失效。不考虑齿轮啮合过程中的载荷幅值与方向变化211。表1齿轮几何和材料参数Table 1 Gear geometIy and material parameters参数 数值齿数模数mm压力角(o)齿顶高系数顶隙系数齿宽mm弹性模量GPa泊松比抗拉强度MPa应力强度因子门槛值(MPam1 72)j，f。j，、。 jj。边弈自定一 初始裂纹图1 齿根裂纹扩展仿真有限元模型Fig1 Finite element model of tooth rootcrack propagation simulation22初始裂纹设置初始裂纹由位置、长度和方向参数表达，如图

16、2所示，线段爿曰代表初始裂纹，代表初始裂纹长度，6c代表初始裂纹方向，口代表初始裂纹位置。表2给出了不同初始裂纹分析工况，其中工况13代表不同位置下不同长度初始裂纹情况，工况4为不同方向初始裂纹情况，工况5为不同位置初始裂纹情况。需要说明的是，在不同长度和不同位置分析工况下，初始裂纹方向均垂直于其所在处齿廓。尸 I。r潞图2初始裂纹示意图Fig2 Schematic diagram of initial crack表2不同初始裂纹分析工况Thble 2 Conditions of dif五：rent initial cracks3 齿根裂纹扩展仿真计算结果及裂纹扩展规律31裂纹扩展仿真结果验证

17、图3所示为一种初始裂纹情况下(，=024 mm，o=45。，萨104。1裂纹扩展过程中3个不同阶段的Mises应力分布。从图3(a)和3(b)可以看到：在裂纹尖端具有明显的应力集中，被裂纹贯穿的单元应力近似为0，这些结果与断裂力学结论相符，且裂纹尖端附近应力分布形状与理论计算所得塑性区形状大致相同。图4所示为裂尖单元Mises应力随裂纹长度的变化曲线，5_勰删加。芝|狮吣卿舢万方数据斧R胡 ：午粤浮等：#j二扩曼有嘤无法昀传樱裂纹扩嘎期律 2671。)应力MPa盯7696700爵7055322辟64l 3945L。5 772568H 5 3119l斟4489814斟3 848438斟31070

18、6l蚪2 565683酎l 924306曾l二8291964155二O175(a)第1阶段：(b)第2阶段：(c)第3阶段图3裂纹扩展过不同阶段Mises应力分布Fig3 Mises stress distribLltions at different crack propagation stages量纲一的裂纹长度图4不同裂纹长度下的裂尖单元Mises应力Fig4 Mises s仃ss of crack tip element indi骶rent crack len缈hs由图4可以看到：随着裂纹的扩展，裂尖单元的应力逐步增大，当裂纹长度达到总长度的075左右时，裂尖单元应力迅速增加，说明随着

19、裂纹的深入，导致裂纹扩展所需载荷也相应地减小，同理，当载荷不改变时，裂纹的扩展速度将会逐渐增大，这种趋势在裂纹扩展后期更为显著。Abaqus采用黏性片段法描述裂纹扩展。插入裂纹片段代表所在单元产生了损伤，损伤初始准则为最大主应力准则，而单元损伤程度由损伤参量D表征，D等于0代表无损伤，等于1代表完全损伤。图5所示为该模型裂纹扩展第2阶段的最大主应力、单元损伤程度的分布图。从图5(a)可以看到：在裂尖处最大主应力远大于其他各处，因此裂尖附近单元最先损伤，与实际相符。从图5(b)可以看到：裂纹路径上单元的损伤参量值均为1，意味着它们完全丧失承载能力，而裂尖单元的损伤参量D介于0和l之间，说明这些单

20、元丧失部分承载能力，这一结果与实际情况一致，也与图3中对应阶段的应力分布情况相符。图3(c)中裂尖处没有应力集中，是因为此时裂尖所在单元仅仅产生损伤，并没有完全丧失承载能力。(a)应力7MIa12 8二J148量二58j3jp二3如I：3L二ll 51lL一1 88()()99卜l 64j()86卜1 41()LJ74斗l 75)62卜卑940()49酎7()j()37举龋损伤待礅0 75卜_O66时0 58藩O 5()譬争O4l辟O 33鼯(a)最凡1 7f、ij：(hl 1】兀扳f1哆墨D图5裂纹扩辰第二阶段模型最大主应力和单元损o挂甓分布Fig5 Maximum principle st

21、ress，element damage pammeterD distributions at the second crack propagation stage由于采用静态加载，强制单元产生损伤并累积。为使裂纹扩展，也就是使单元损伤累积至失效，必须加载比实际更大的载荷，故在齿轮单齿啮合最高点处所加均布载荷远大于齿轮实际啮合时的接触应力，因此，本文未对载荷进行详细分析。32初始裂纹长度对裂纹扩展的影响规律取初始裂纹位置萨104。，初始裂纹方向垂直于裂纹所在处齿廓，研究不同初始裂纹长度，下的齿根裂川矗2p一墨J呱孓舡蔓938372774075J0752O752卜t卜孓777420853l0灭51

22、3一雌2222ll96420蹄麟嚣誉u料辫l薹i豳露辫舛耍担翻t帆艄肼是；彤引舶卫踞如卯力明引朽拍吣呱互n记虬拍，I爵肾U忖蹲=什蚪圈I万方数据2672 中南大学学报(臼然科学版1 第47卷纹扩展，初始裂纹详细设置如表2中工况2所示，裂纹扩展路径随着初始裂纹长度的变化情况如图6(a)所示。从图6(a)可以看到：4种情况下裂纹扩展路径大致相同，扩展前期裂纹朝深入轮缘的方向扩展，扩展后期裂纹朝向齿根位置扩展，总体呈现朝轮齿周向扩展至轮齿断裂的趋势。其中，取为090 mm时的裂纹扩展路径整体上较其他情况更偏离齿顶，而，取为060 mm时的裂纹扩展路径在后期最趋近齿顶，但是这些偏移幅度都很小，总体上裂

23、纹扩展路径大致相同。5 1】4 c)初始裂纹位l图6不同裂纹初始状态下的裂纹扩展路径图Fig6(、rack propagation paIhs in differellIjnitial crack conditions为避免人为地将初始裂纹布置在裂纹扩展路径上引起偏差，再分别取初始裂纹位置口为99。和109。时不同长度初始裂纹的扩展情况进行研究，初始裂纹方向同样垂直于裂纹所在处齿廓，初始裂纹详细设置如表2中工况1和工况3所示，仿真结果如图7所示。从图7(a)可以看到：在萨990的位置，分别取为024，060和090 nun时，初始裂纹的扩展初期路径不重合，洲(。)：(a)99：(b)109mm

24、：l024：二060：3 O 90：图7肛99。和忙109。时不同初始长度的裂纹扩展路径Fig7 Crack propagation paIhs in difkrent inifial cmck1engClls when萨99。a11d忙1 09。也由此导致3种情况下的裂纹整体扩展轨迹不尽相同，随着裂尖逐渐深入轮缘，裂纹扩展路径也逐渐整体地偏离齿顶，同样偏移幅度很小，并且对于，为024 mm和060 mm的情况下裂纹扩展后期其裂纹路径几乎重合：从图7(b)可以看到：在萨1090的位置，分别取为024，060和090 mm时，初始裂纹的扩展初期路径几乎重合，也由此导致裂纹整体扩展轨迹大致相同，随

25、着裂尖逐渐深入轮缘，裂纹扩展路径也逐渐整体地偏离齿顶，同样偏移幅度很小。这样，初始裂纹长度对裂纹扩展路径没有显著影响，不同初始长度下裂纹扩展路径差别很小，但受到裂纹位置的影响，这种差别可能细微增大。33初始裂纹方向对裂纹扩展的影响规律取初始裂纹位置萨104。，初始裂纹长度7_024mm，研究不同初始方向下齿根裂纹扩展，初始裂纹详细设置如表2中工况4所示，裂纹扩展路径随着初始裂纹方向的变化情况如图6(b)所示。从图6(b)可以看到：5种情况下裂纹扩展趋势大致相同，扩展前期裂纹朝深入轮缘的方向扩展，扩展后期裂纹朝向齿根位置扩展，总体呈现朝轮齿周向扩展至轮齿断裂的趋势。裂纹扩展前期，随着6c的增大(

26、即裂尖点更偏向齿项)，裂纹扩展路径也逐渐向齿顶偏移，但是偏移程度很小，而到了裂纹扩展后期扩展路径并没有类似扩展前期时明显的规律，当a为60。和90。时的扩展后期路径几乎重合且最趋近齿顶，当。【为0。和45。时的扩展后期路径几乎重合较趋近齿顶，当o【为30。时的扩展后期路径最偏离齿顶。但是总体上这种偏移幅度很小，因此，初始裂纹方向对裂纹扩展路径也没有显著影响，不同初始方向下裂纹扩展路径大致相同。34初始裂纹位置对裂纹扩展的影响规律取初始裂纹长度f_024 mm，初始裂纹方向垂直于裂纹所在齿廓，研究不同初始位置下齿根裂纹扩展，初始裂纹详细设置如表2中工况5所示，裂纹扩展路径随着初始裂纹位置的变化情

27、况如图6(c)所示。从图6(c)可以看到：当臼为104。，109。和114“隋况下的裂纹扩展趋势大致相同，扩展前期裂纹朝深入轮缘的方向扩展，扩展后期裂纹朝向齿根位置扩展，总体呈现朝轮齿周向扩展至轮齿断裂的趋势，但是当日为940和99。时裂纹扩展后期其轨迹并没有显著地朝向齿根位置扩展。此外，随着裂纹初始位置逐渐向齿顶移动(即臼不断增大)，裂纹扩展路径也明显地向齿顶整体偏移。相比于初始长度和方向，裂纹初始位置对裂纹扩展路径有着较为明显的影响，随着初始位置向齿顶移动，轮齿断裂的趋势愈加明显。一一北、0m万方数据第8期 许德涛，等：基于扩展有限元法的齿根裂纹扩展规律 2鱼卫35与传统有限元法仿真结果的

28、对比利用传统有限元法，借助FRANC软件得到相同模型下的计算结果【5J。2种方法的结果对比见图8，图8(a)中的15分别与图8(b)中的610对应。由图8可知：2种方法所得裂纹扩展轨迹表现出相同的趋势，扩展前期裂纹朝深入轮缘的方向扩展，扩展后期裂纹朝向齿根位置扩展，总体呈现朝轮齿周向扩展至轮齿断裂的趋势。在裂纹扩展初期，裂纹扩展路径非常相似，但在裂纹扩展后期，本文所得裂纹路径呈近似直线扩展，且臼为94。和990时裂纹扩展后期其轨迹并没有显著地朝向齿根位置扩展，而传统有限元法给出的裂纹扩展轨迹均向轮齿齿根方向凸出。究其原因，可能存在下述3个主要影响因素：1)裂纹扩展理论不同，文献5使用FRANc

29、软件基于线弹性断裂力学，可以较为准确地控制裂纹扩展方向和增量，而本文使用的Abaqus软件在分析时采用了损伤力学中的黏性片段方法，但损伤模型本身并不完善。尽管存在很多损伤理论，但并没有一个公认的通式。本文采用最常用的线性损伤累积模型，这种模型与实际损伤行为仍有差别，因此使用xFEM模块的自动裂纹扩展模拟导致在裂纹扩展后期误差增大。2)裂纹扩展方向准则不同，文献5根据最大周向拉应力准则，本文计算裂纹扩展方向依据最大主应力准则，由此可能导致两者有所不同。3)Abaqus软件的xFEM模块尚不成熟，譬如在移动裂纹建模时未使用渐进奇异函数，仅仅采用阶跃实体建模l网格划分函数加强裂纹贯穿单元和裂尖单元导

30、致位移逼近中没反应裂尖奇异性，因此裂尖附近精度不高；此外，这种简化要求裂纹必须位于单元边界上，即裂纹扩展时必须贯穿整个单元，由此导致裂纹对单元边界具有一定的依赖性。总体而言，2种方法所得结果基本相符，这也再次验证本文工作的正确性。图9给出了2种软件模拟裂纹扩展的主要步骤。从图9可以发现：传统有限元法模拟裂纹扩展时需要在每次插入裂纹后重新划分网格，而扩展有限元法则不需此步骤，利用其扩充函数可直接更新裂纹计算，避免了繁琐的前处理建模工作。对于各模型计算时的CPU耗时，以表2中工况3为例，(8)厂-影(a)Abaqus软件的xFEM模块仿真结果：(b)FRANC软件仿Z0邑，粜5图8扩展有限元与传统

31、有限元法仿真结果对比Fig8 Comparison of simulation results of XFEM and FEM塑亟亟四(b)(a)AbaqLJs：(b)FRANC图9 Abaqus与FRANc软件模拟裂纹扩展的主要步骤Fig9 Main steps of simulating crack pmpagation iIl Abaqus and FRANC sofewares万方数据2674 中南大学学报(自然科学版) 第47卷计算机为32位win7操作系统，处理器为intel酷睿i52400，主频为310 GHz，计算时采用2G内存，双线程并行计算。对于XFEM裂纹扩展计算模型，单

32、元类型为CPS4R和CPS3，单元总数为5 592，节点总数为5 643，CPU耗时为1 018 s。由于文献5】中没有提及计算时间等信息，本文作者借助abaqus软件，利用传统有限元方法建立齿根裂纹模型，其模型单元类型为CPS8和CPS6(此方法模拟裂纹扩展必须使用二次单元)，单元总数为5 362，节点总数为16 621，利用与前述同样的计算机进行计算，每计算一次裂纹信息CPu耗时约为68 s，则计算与文献5同样多的次数(25次)CPu需耗时约为1 700 s，可以看到，基于XFEM计算裂纹扩展仿真的CPu耗时较传统有限元更少，此外，考虑到传统有限元法前处理建模需花费更多的时间，可以认为xF

33、EM模拟裂纹扩展的仿真效率相比于传统有限元大大提高【22_231。4结论1)对于本文齿轮模型，齿根初始裂纹扩展前期朝深入轮缘的方向扩展，到了扩展后期裂纹朝向齿根位置扩展，总体呈现朝轮齿周向扩展至轮齿断裂的趋势。2)初始裂纹长度和方向对裂纹扩展路径没有显著影响，不同初始长度和不同初始方向下裂纹扩展路径大致相同。3)裂纹初始位置对其扩展路径影响较为明显，随着初始裂纹位置向齿顶方向趋近，裂纹扩展路径也整体地向齿顶方向偏移，轮齿断裂趋势愈加明显。41本文结果与传统有限元法所得结果基本相符，给出的基于扩展有限元方法进行齿根裂纹扩展演变计算的方法对其他类型齿轮裂纹扩展演变计算具有参考价值，而且扩展有限元法

34、通过扩充形函数避免了网格重划分和高密度网格要求，使得裂纹扩展计算与仿真效率大大提高，有利于后续复杂工况下的齿轮裂纹扩展计算与仿真研究。参考文献：【1 王巍直升机齿轮箱故障诊断及预测系统的研究【D，秦皇岛燕山大学电气工程学院，2009：67WANG W“Research of the helic叩ter gearbox malfunctiondiagnosis and prediction systemDQilllluangdao：YallshanUniversi哪School of Elec仃ica Engineering，2009：67f21 陶春虎，钟培道，王仁智，等航空发动机转动部件的失

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