基于卡通-纹理模型的相位恢复算法-练秋生.pdf

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1、第38卷第8期 电 子 与 信 息 学 报 Vol. 38No.8 2016年8月 Journal of Electronics & Information Technology . Aug. 2016 基于卡通纹理模型的相位恢复算法 练秋生*赵晓蕊 石保顺 陈书贞 (燕山大学信息科学与工程学院 秦皇岛 066004) 摘 要：相位恢复是指仅利用图像的傅里叶幅值对原始图像进行恢复。由于傅里叶幅值中包含的信息量较少，当图像的过采样率相对较低时，传统的相位恢复算法无法实现图像的有效重构。因此如何利用合适的先验知识来提高图像重构质量是相位恢复的一个关键问题。该文将卡通-纹理模型用于相位恢复，利用全变

2、差(TV)和双树复数小波(DTCWT)两种稀疏表示方法将图像分解为卡通成分和纹理成分，并提出了基于交替方向乘子法(ADMM)的有效求解算法。实验结果表明，该算法能有效提高图像重构质量。 关键词：图像处理；相位恢复；卡通-纹理模型；全变差；双树复数小波 中图分类号：TN911.73 文献标识码：A 文章编号：1009-5896(2016)08-1991-08 DOI: 10.11999/JEIT151156 Phase Retrieval Algorithm Based on Cartoon-texture Model LIAN Qiusheng ZHAO Xiaorui SHI Baoshun

3、 CHEN Shuzhen (Institute of Information Science and Technology, Yanshan University, Qinhuangdao 066004, China) Abstract: Phase retrieval is an issue that tries to recover an image from its Fourier magnitude measurements. Since the Fourier magnitude measurements contain less information, the traditio

4、nal phase retrieval algorithms can not reconstruct the image efficiently under the scenario that the oversampling ratio is relatively low. Therefore, how to use the suitable image priors to improve the reconstruction quality of the image is the key issue. In this paper, the cartoon-texture model is

5、utilized for phase retrieval algorithm. Two sparse representation methods including both Total Variation (TV) and Dual-Tree Complex Wavelet Transform (DTCWT) are exploited to decompose the image into two parts, namely the cartoon component and the texture component. Moreover, Alternating Direction M

6、ethod of Multipliers (ADMM) is exploited to solve the corresponding problem. The experimental results show that the proposed algorithm can effectively improve the quality of image reconstruction. Key words: Image processing; Phase retrieval; Cartoon-texture model; Total Variation (TV); Dual-Tree Com

7、plex Wavelet Transform (DTCWT) 1 引言相位恢复试图仅从傅里叶幅值中恢复图像，它是一个极具挑战性的反问题，在光学、X射线衍射成像、天文学、数字全息等科学领域具有广泛应 用1 4。由于相位信息的丢失，相位恢复问题通常是不适定的，但当图像的过采样率大于某一个特定值时，理论上能够获得准确解，从而实现图像重构5。 针对相位恢复中相位信息的丢失问题，文献6收稿日期：2015-10-16；改回日期：2016-02-25；网络出版：2016-04-24 *通信作者：练秋生 项目基金：国家自然科学基金(61 471313)，河北省自然科学基金(F2014203076) Foun

8、dation Items: The National Natural Science Foundation of China (61471313), The Natural Science Foundation of Hebei Province (F2014203076) 提出了GS相位恢复算法，但该算法具有迭代次数多，收敛性差等缺点。在此基础上，人们提出了一系列基于交替投影相位恢复算法，如杨-顾算法7、误差减少(Error Reduction, ER)算法、混合输入输出(Hybrid Input-Output, HIO)算法8、差值映射(Difference Map, DM)算法9等。文献

9、10在强度传输方程的基础上提出了基于整体变分的相位恢复算法，并通过有限差分牛顿法求解对应的优化问题。文献11在HIO算法的基础上将压缩传感技术用于相位恢复，将TV约束引入HIO算法中，提出了HIO+TV算法。该算法首先经过HIO算法迭代过程，然后求解支撑域内纯相位图像的相位全变差最小的优化问题12，这两步交替迭代，结果将逐渐收敛至满足所有约束和全变差最小的解。文献13提出了适合稀疏信号的GESPAR (GrEedy Sparse PhAse Retrieval)算法，该算法是一种快速局部搜索1992 电 子 与 信 息 学 报 第38卷 方法，属于贪婪类算法，能够对稀疏信号进行有效重建。文献1

10、4提出了基于GAMP(Generalized Approximate Message Passing)的PR_GAMP算法，该算法不仅适合大规模信号相位恢复问题，而且对噪声鲁棒。 由于傅里叶幅值中包含的信息量相对较少，如何将合适的先验知识用于相位恢复，提高图像的重构质量是关键问题。在图像处理中，通常将稀疏性先验用于图像重建中。自然图像具有梯度稀疏性，因此理论上利用TV12稀疏性进行相位恢复能够获得满意的结果。TV具有良好的保持边缘特性，可以很好地表示图像的边缘部分，但当图像的过采样率相对较低时，用它进行相位恢复，只能重构出图像的轮廓部分，而无法很好地重构出图像的细节信息。DTCWT15较好的方

11、向选择性使其在图像纹理表示中占有优势，因此如何对TV和DTCWT进行有效结合，以此来增加TV缺失的细节信息，对于提高图像的重构质量很重要。 图像分层定义为将图像分解为多个不同成分的总和，根据Meyer16图像模型，自然图像可以分解为卡通成分和纹理成分。本文针对TV和DTCWT的互补性，将卡通-纹理模型用于相位恢复算法，利用TV和DTCWT分别表示卡通成分和纹理成分，从而达到提高图像重构质量的目的。实验结果表明，本文算法的重构图像在峰值信噪比和视觉效果两个方面都有显著提高。 2 基本相位恢复算法 在相位恢复问题中，除了已知的傅里叶幅值构成的约束集M外，通常用到的先验知识包括非负性和支撑集，非负性

12、与支撑集D相结合可以构成非负支撑约束集S。用()rx表示未知信号，幅值约束集M表示为 : () () ()Mrxx b (1) 其中，() ()r x Fx , F表示傅里叶变换，()b为已知的傅里叶幅值。非负支撑约束集S表示为 () () 0, () 0: S r r rD r xxx或 (2) M集合对应的投影运算符MP定义为 1()() , () 0()() ,( ), MwwwwPwxbxxx Fy yb其它(3) 式中，1F表示傅里叶逆变换，S集合对应的投影运算符SP定义为 (), () 0()0, Sr rD rPxxx且其它(4) 人们通常采用寻找约束集合交点的方式求解相位恢复问

13、题： find SMx (5) 对于式(5 )描述的问题通常采用交替投影算法进行求解，例如ER算法，但M集合是非凸的，ER算法容易陷入停滞，无法实现图像的有效重构。针对ER算法存在的不足，Fienup提出了适合解决非凸问题的HIO算法，该算法的迭代过程可概括为(对于第k次迭代) 111, () 0,kMkkkMP rD rPxxxxx且其它(6) 式中，1 为抑制系数。传统的HIO算法并未引入非负约束，文献17提出的HPR(Hybrid Projection-Refection)算法将非负约束引入到算法中，本文借鉴这种形式。HIO算法收敛性好，在实际问题中具有广泛应用，但当图像有噪声干扰时，H

14、IO算法容易陷入振荡而无法收敛。 3 卡通-纹理模型 近年来，图像分层技术已经成为了图像处理领域的研究热点之一，并在很多领域得到了广泛应 用18,19。根据Meyer16图像模型，自然图像可以分解为卡通成分和纹理成分，其中卡通成分包括图像中较平滑的成分和边缘结构，纹理成分包含大量的细节信息。根据卡通成分和纹理成分的不同特点，选取具有平滑特性和良好边缘保持特性的TV表示卡通成分，具有较好方向选择性的DTCWT表示纹理成分，将TV和DTCWT用于图像分层，对图像x进行卡通-纹理模型分解，如式(7)所示。 22 121, =argmin + TV( )+uvu v x u v u Wv (7) 式中

15、，22hvTV( ) ( ) ( )iii u uu,h u , v u 分别表示图像u在水平方向和垂直方向的一阶有限差分。u为卡通成分，v为纹理成分，W为双树复数小波变换，1 , 2为数值保真项与各正则项之间的权衡因子。 采用交替优化方式求解式( 7)中描述的优化问题，具体步骤包括(对于第k次迭代)： (1)当纹理成分v固定时，更新卡通成分u的优化问题为 2112argmin TV( )kk uu xuv u (8) 式(8 )可以看作是一个关于卡通成分u的去噪问题，可以采用文献20提出的方法进行求解。 (2)当卡通成分u固定时，更新纹理成分v的优第8期 练秋生等： 基于卡通-纹理模型的相位

16、恢复算法 1993 化问题为 22 12arg min kk vv x u v Wv (9) 采用软阈值函数(soft thresholding)21对式(9)进行求解，求得的结果为 2T/2Skkv W Wx u (10) 式中， 0S sign max , y yy 为软阈值算子，对变换系数进行逐元素处理，TW为双树复数小波逆变换。 本文将Lena标准灰度图像作为测试图像进行图像分层实验，对其进行卡通-纹理模型分解，实验结果如图1所示。实验结果表明，将TV和DTCWT用于卡通-纹理模型能够将卡通成分和纹理成分有效分开。 4 基于卡通-纹理模型的相位恢复算法 由于相位信息的丢失，相位恢复是一

17、个欠定问题，利用先验知识是解决欠定问题的常用方法。将稀疏性先验用于相位恢复，得到相位恢复问题的框架： argmin () () ()MSRi ixx x xx = (11) 式中，()R x为稀疏正则项，()Mi , ()Si 表示示性函 数。示性函数可定义为0, (),CCi xx其它。 为了使算法对噪声鲁棒，在式(11)的基础上添加误差项，得 22, , =argmin + ( )+ ( )+ ( )MSRi ixzxz x z z x x (12) 式中，22xz项表明，重构图像x与图像z之间允许有一定的误差存在。 在图像处理中，通常利用梯度稀疏性作为先验。令式(12)中的()R z为T

18、V正则项，将求解此优化问题的方法称为PR_TV算法。TV对应图像边缘的稀疏性，具有良好的保持边缘特性，但当图像的过采样率相对较低时，用它进行相位恢复，只能重构出图 像的轮廓，从而导致细节信息大量丢失。DTCWT 是纹理图像稀疏表示的常用方法，令式(12)中的()R z为双树复数小波系数矩阵的1l范数，将求解此优化问题的方法称为PR_DTCWT算法。DTCWT具有较好的方向选择性，可以更好地保留各个方向的细节信息。 根据TV和DTCWT的不同特点，本文受卡通-纹理模型的启发，利用TV表示图像的卡通成分，利用DTCWT表示图像的纹理成分，提出了基于卡通纹理模型的相位恢复算法(为后文描述方便，本文将

19、该算法称为PR_TV_DTCWT)： 2212 1, , argmin | | TV( )() ()MSii xuvxuv x u v uWv x x,(13) 将式中的TV( )u替换为全变差的离散形式，式(13)可改写为 22221h v2 1, , , arg min( )( )() ()iiiMSii xuvxuv x u vuuWv x x(14) 本文采用交替方向乘子法22对式(14)描述的优化问题进行求解，通过变量替换，令1h=uu, 2vuu, xy，并将式(14)改写为可利用ADMM求解的拉格朗日形式： 112 1212 122 2221 1 2,221 h 1 12 v 2

20、222, , , , ,= argmin | | + ( ) +( )+()iiiMSii xuu u vyh h hxuu u vyh h hxuv u uu uh u uhWv x y x y h (15) 式中，u为图像的卡通成分，v为图像的纹理成分，1h , 2h , h均为尺度对偶变量(scaled dual variable),1 , 图1卡通-纹理模型下图像分解结果 1994 电 子 与 信 息 学 报 第38卷 2为数值保真项与各正则项之间的权衡因子。求解的具体步骤包括(对于第k次迭代)： (1)当图像,u ,v ,x y以及尺度对偶变量1,h2,h h固定时，更新1,u2u的

21、优化问题为 11122212 1 1 2,2111h 122112v 22, arg min ( ) ( )kkiiikkkk uuuu u uu uhu uh (16) 利用广义收缩模型23对式(16)中的最小化问题进行求解，求得的结果为 1111 1112kkkktuss(17) 1121 1212tkkktuss(18) 式(17)，式( 18)中1111hkkk t uh, 12kt11v2kkuh, 1 12 12()()kkkstt。 (2)当图像x , v , y，尺度对偶变量1h ,2h , h以及1u , 2u固定时，更新卡通成分u的优化问题为 112112211h 1221

22、2v 22arg mink kkkkkk uu x uvu uhu uh (19) 对u求偏导数并令其为0，从而求得u的最优解为 11111TThh vv1T 1h1 1T1v2 2+kk k kkkk uIx v uhuh= +(20) (3)当图像u , x , y，尺度对偶变量1h , 2h , h以及1u , 2u固定时，更新纹理成分v的优化问题为 212 12= arg mink kkvv x u v Wv (21) 采用软阈值函数对式(21)进行求解，求得的结果为 12T/2=Sk kkv W Wx u (22) (4)当图像u , v , y，尺度对偶变量1h , 2h , h以

23、及1u , 2u固定时，更新图像x的优化问题为 1222122arg min()k kkkkMi xx xu vxy h x (23) 求解式(2 3)得到图像x的最优解为 11122kk k kkMP uv y hx = (24) (5)当图像u , v , x，尺度对偶变量1h , 2h , h以及1u , 2u固定时，更新图像y的优化问题为 2212arg mink kkSi yy x yh y= (25) 求解式(2 5)得到图像y的最优解为 1k kkSPy xh= (26) (6)更新变量1h , 2h , h为 111 1hkk k k hh u u (27) 122 2vkk

24、k k hh u u (28) 1k k kkhh xy (29) 对于凸优化问题， 0, 1 5 2 24可保证 算法收敛，对于非凸问题，ADMM算法虽不能保证获得最优解，但对于特定的优化问题，例如相位恢复问题，可获得满意解。本文算法过程的具体描述如表1所示。 表1 本文算法的基本步骤 输入：观测值b，支撑约束矩阵S，随机值0z，对各项参数进行设定，令128 , 27.6 , 10.92 , 20.88 , 0.75 , max Iter 4000； 步骤 1 初始化，令 00MPxz, 00MPyz, 00MPuz, 0v 0 , 01h 0 , 02h 0 , 0h 0； 步骤 2 分别

25、根据式(1 7)，式(18)更新卡通成分的水平差分成分1ku和垂直差分成分2ku； 步骤 3 根据式( 20)更新卡通成分ku； 步骤 4 根据式(2 2)更新纹理成分kv； 步骤 5 根据式(2 4)更新图像kx； 步骤 6 根据式(2 6)更新图像ky； 步骤 7 根据式(2 7)，式(28)，式(29)分别更新变量1kh , 2kh , kh； 步骤 8 若max Iterk , 1kk，算法转至步骤2，否则输出结果； 输出：重构图像kx。 5 实验结果 为了验证本文算法的有效性，分别利用HIO算法、HIO+TV算法以及本文提出的PR_TV算法、PR_DTCWT算法、PR_ TV_DTC

26、WT算法进行仿真实验。实验采用Lena标准灰度图像作为测试图像，图像大小为512 512，测试图像和支撑如图2所示。实验平台为Intel Core i3-3220四核CPU，主频3.30 GHz，内存4 GB，软件平台为Matlab 2012 a。本文通过峰值信噪比( Peak Signal to Noise Ratio, PSNR)和结构相似度(Structural SIMilarity, SSIM)25两个指标来评价图像的重构质量，PSNR值和SSIM值越高，说明图像的重构质量越好。 第8期 练秋生等： 基于卡通-纹理模型的相位恢复算法 1995 图2 测试图像和支撑 本文对每个过采样率进

27、行16次独立实验，从16次实验结果中选取FR26最小的结果，FR计算公式为 1F1Rb Fxb(30) 式中，Fx为估计图像x的傅里叶变换，为比例因子。 表2中列出了过采样率5为2.35和2.29两种情况下，不同算法对Lena图像重构结果比较，其中过采样率定义为全部像素值与未知像素值数量的比值。从表2可以看出，PR_TV算法和PR_DTCWT算法的性能较HIO算法和HIO+TV算法有明显提高，PR_TV_DTCWT算法在PSNR值和SSIM值上均优于其他对比算法。图3给出无噪情况下，过采样率为2.29时，不同算法对Lena图像的重构结果。从图3可以看出，HIO算法与HIO+TV算法 表2 不同

28、过采样率下图像重构结果PSNR(dB)和SSIM比较 过采样率 (支撑大小) 算法 PSNR SSIM 2.35 ( 334 334 ) HIO HIO+TV PR_TV PR_DTCWT PR_TV_DTCWT 20.35 12.24 30.76 32.41 37.43 0.3549 0.2212 0.8016 0.8925 0.9446 2.29 ( 338 338 ) HIO HIO+TV PR_TV PR_DTCWT PR_TV_DTCWT 12.89 14.47 30.65 27.18 37.06 0.2121 0.2324 0.7981 0.8121 0.9406 图3 过采样率为

29、2.29时Lena图像的重构结果 1996 电 子 与 信 息 学 报 第38卷 均无法对图像进行有效重构，PR_TV算法重构效果明显优于前两种算法，具有了清晰的轮廓，但纹理信息大量丢失，PR_DTCWT算法与PR_TV算法相比，增加了大量纹理信息，但脸部有斜纹，PR_TV_DTCWT算法保留了更多的细节信息，边缘与纹理更清晰，较其他几种对比算法具有明显优势。实验结果表明了卡通-纹理模型应用于相位恢复算法的有效性。 为了体现各个算法的计算复杂度，表3给出了迭代次数为4000次时运行时间比较。从表3可以看出，HIO算法用时最少，PR_TV_D TCWT算法用时最多。HIO算法仅利用了集合投影，计

30、算复杂度最低。由于需要求解TV最小化问题，HIO+TV算法计算复杂度高于HIO算法。PR_TV算法和PR_DTCWT算法利用ADMM算法分别求解引入TV正则项和双树复数小波稀疏正则项的相位恢复问题，计算复杂度高于HIO+TV算法。PR_TV_ DTCWT算法通过卡通-纹理模型将TV和DTCWT进行结合，同样利用ADMM算法求解对应的优化问题，因此计算复杂度最高。虽然PR_ TV_DTCWT算法的计算复杂度相对较高，但在低采样率下，图像的重构质量明显优于其他几种算法。 为了探求不同噪声强度对本文算法重建结果的影响，本文在真实测量值上施加噪声强度为5%20%的高斯白噪声，其中噪声强度26定义为 1

31、N1RFx bFx(31) 式中，Fx为无噪图像x的傅里叶变换。 在过采样率为2.29时，表4给出了不同算法在不同噪声强度下重构图像的PSNR和SSIM。从表4可以看出，PR_TV_DTCWT算法在不同噪声强度下，重构结果均优于其他算法。在4种噪声强度下，重构图像的平均PSNR值比HIO算法、HIO+TV算法、PR_TV算法、PR_DTCWT算法分别提高了18.17 dB, 15.98 dB, 2.62 dB, 11.07 dB，平均SSIM值分别提高了0.6176, 0.5633, 0.0975, 0.2680。图4给出了噪声强度为10%时，不同算法对Lena图像的重构结果。从图4可以看出，

32、PR_TV_ DTCWT算法的视觉效果明显优于其他对比算法，HIO算法与HIO+TV算法均无法有效重构图像，PR_TV_DTCWT算法与PR_TV算法相比，纹理信息更丰富，与PR_DTCWT算法相比，重构结果更清晰，脸部无额外斜纹存在。 表3 不同算法运行时间比较(s) 算法 HIO HIO+TV PR_TV PR_DTCWT PR_TV_DTCWT 运行时间 249.55 554.44 739.38 903.51 1692.60 图4 过采样率为2.29，噪声强度为10%时Lena图像的重构结果 第8期 练秋生等： 基于卡通-纹理模型的相位恢复算法 1997 表4 不同噪声强度下图像重构结果

33、PSNR(dB)和SSIM比较 噪声强度( %) 算法 PSNR SSIM 5 HIO HIO+TV PR_TV PR_DTCWT PR_TV_DTCWT 15.55 19.37 30.22 24.90 34.73 0.2277 0.3395 0.7852 0.7199 0.9114 10 HIO HIO+TV PR_TV PR_DTCWT PR_TV_DTCWT 12.73 14.47 29.32 22.41 32.76 0.2188 0.2324 0.7542 0.6090 0.8707 15 HIO HIO+TV PR_TV PR_DTCWT PR_TV_DTCWT 12.46 12.5

34、9 28.33 22.28 30.67 0.1900 0.2577 0.7146 0.6625 0.8148 20 HIO HIO+TV PR_TV PR_DTCWT PR_TV_DTCWT 12.22 15.30 27.27 11.77 27.47 0.2062 0.2302 0.6691 0.2496 0.7162 平均 HIO HIO+TV PR_TV PR_DTCWT PR_TV_DTCWT 13.24 15.43 28.79 20.34 31.41 0.2107 0.2650 0.7308 0.5603 0.8283 6 结束语 本文针对全变差和双树复数小波的互补性，将卡通-纹理模型

35、引入到相位恢复问题中，并利用ADMM算法对所对应的优化问题进行了求解。仿真实验表明，PR_TV_DTCWT算法与HIO算法、HIO+TV算法、PR_TV算法以及PR_DTCWT算法相比，重构图像具有更清晰的边缘与纹理信息，重构质量具有明显优势。在真实测量值上施加不同噪声强度高斯白噪声的实验表明，PR_TV_ DTCWT算法对噪声鲁棒。如何将本文中模型应用到其他图像反问题是将来的研究方向。 参 考 文 献 1 SHECHTMAN Y, ELDAR Y C, COHEN O, et al. Phase retrieval with application to optical imaging: a

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