试论概率论在积分中的应用.docx

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1、试论概率论在积分中的应用 【摘要】概率论是一门探讨随机现象统计规律的学科。概率论作为数学的一个分支和其它分支学科之间是相互交叉和渗透的。本文探讨概率论在计算积分和多重积分极限等方面的应用，并通过实例进行了分析，进一步说明概率论在解决积分问题中的独特性和简捷性。 【关键词】概率 积分 勒贝格限制收敛定理 辛钦大数定律 【中图分类号】O211【文献概率论是一门探讨随机现象统计规律的学科.概率论作为数学的一个分支和其它分支学科之间是相互交叉和渗透的.因为随机现象的普遍性，使得概率论具有极其广泛的应用.由于概率解法在其它方面的应用已成为数学探讨的一个很重要的内容之一，因此学习概率论的解法具有肯定的应用

2、价值。 本文通过一些实例的分析，探讨了概率论与积分两者之间的联系，进一步说明概率论在积分中的应用，一方面显示出概率论的方法与思想在解决积分问题中的独特性和简捷性，另一方面也体现了数学学科间的深刻联系。 1.预备学问 定义1 若随机变量X的概率密度为f=1/，a0，？兹00，其它 则称X听从参数为？兹的指数分布，简记为Xe.此时x的数学期望E为？兹，方差D为？兹2。 定义3 若随机变量的概率密度为： f=e，-0，？滓20，？籽0，有P=1 2.构造概率模型计算积分 指数分布、正态分布都是概率论与数理统计中的重要分布，用它们的性质计算积分不但可以使积分运算过程简洁，而且还能够解决微积分中原函数无

3、法用初等函数表示的积分运算。 例1 计算e-3xdx. 解： 假如用广义积分的分布积分法可干脆求解，但要用到两次分布积分法，并要求极限.由于这里的被积函数中含有因式e-3x，可看作是参数为？姿=3的指数分布概率密度函数的一部分，故利用指数分布随机变量Xe，得 e-3xdx =3e-3xdx =E=2E+E+ E=，D=，E=D+E= e-3xdx=2+=. 例2 e-dx的值。 解： 干脆计算是比较麻烦的。现利用随机变量的数学期望与方差公式以及分布函数的性质进行计算。 假如随机变量？孜听从正态分布N，则E=？滋，D=？滓2，于是 e-dx =eax2edx+bxedx+cedx =eax2dx

4、+bxdx+c =eaE+BE+C =ea+E）+bE+c =ea+b-+c =e+-+c. 以此结果可计算edx的值。将a=0，b=0，c=1，i=1，j=0，k=0代入可求出此积分结果为，这在数学积分中是一种很重要的积分。 运用概率积分的特性，引进正态随机变量不仅可以简化积分的运算，而且可求出数学分析中原函数无法用初等函数表示的积分。 3.构造概率模型求多重积分极限 求多重积分时，用一般的近似方法往往无法实现，因为，这时所需的运算次数是特别惊人的.通过构造独立同分布的随机变量运用辛钦大数定律与勒贝格限制收敛定理，可获得n重积分的近似值，从而解决一些分析中较难处理的多重积分问题。 例3 证明

5、 dxdxdxn=. 证： 构造如下概率模型：设随机变量？孜1，？孜2，？孜n相互独立且听从相同的匀称分布U0，1.则？孜1，？孜2，？孜n听从分布 f=1，当0x1，i=1，2，n0，其它. 而dxdxdxn-dxdxdxn =-dxdxdxn+-dxdxdxn 其中 A=x-？着，x-？着，0x1，i=1，2，n，？坌？着0 当0x1，i=1，2，n时，-有界，即存在常数M0，使-M 故-dxdxdxnMdxdxdxn MPx-？着+MPx-？着 又 E=， E= 由引理3可知 Px-？着=0，Px-？着=0 于是得 -dxdxdxn=0 另一方面，-dxdxdxn=dxdxdxn= dx

6、dxdxn 所以-dxdxdxn=0 因此由式可得dxdxdxn=. 注：可加以推广，得dxdxdxn=. 例4 证明ndxdxdxn=ln2. 证：作变换y=x，xndxdxdxn=dydydyn考虑独立同分布随机变量序列？孜n，n1，且？孜n-U0，1，令n=？孜i，？孜n=？孜i 因f=tany，gy是0，1上的连续函数，由引理1，得 ntanydy=-lncos x=ln2 ？孜nydy= 从而序列n/？孜n，n1依概率收敛，且n/？孜n 又当yE= =ln2/=ln2 故 ndxdxdxn dydydyn E=ln2. 类似还可以证明 ndxdxdxn=. 参考文献： 1徐向红.求无穷级数和以及多重积分极限的概率方法J.工科数学，2002，18 ：105-108. 2程其襄.实变函数与泛函分析基础M.北京：高等教化出版社.2003. 3熊丹.例谈概率论在积分计算中的奇妙引用J.科技信息.2022，9：142.标识码】A 【文章编号】2095-308903-0133-02 第6页 共6页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页